全国初中数学竞赛试题及答案

1、2013 年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为a，b， c，d 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）a 2b+ 3c 0ab+bc+ ca）1 非零 数 a， b， c， 足则22 2 的 （2a 3b+ 4c0a +b +c1（ b） 0（ c）1（d ）1（ a ） 222已知 a， b， c 是 常数，关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个非零 根x1， x2， 下列关于 x的一元二次方程中，以11）2，2 两个 根的是（x1x2（ a ）

2、 c2x2+( b2 2ac)x+a2=0（ b） c2x2 (b2 2ac)x+a2=022222222（ c） c x +(b 2ac)xa =0（ d） c x (b 2ac)x a =03如 ， 在 rt abc 中，已知 o 是斜 ab 的中点， cd ab，垂足 d，de oc，垂足 e，若 ad ，db ， cd 的 度都是有理数， 段od， oe， de ， ac 的 度中，不一定是有理数的 （）（ a ） od（ b） oe（ c） de（ d）ac4如 ，已知 abc 的面 24，点 d 在 段 ac 上，点 f 在 段 bc 的延 上， 且 bc=4cf，dcfe是平行四

3、 形， 中阴影部分的面 （）（ a ） 3（ b） 4（ c） 6（d ）83x3y+3 x2y2+xy3+45，5 于任意 数x，y， z，定 运算“ * ” ： xy = (x+1) 3+( y+1) 360且 x y z=（ xy） z ， 2013 2012 32 的 （）607（ b） 1821（ c） 5463（d ）16389（ a） 9679679679676 a= 3 3 ，b 是 a2 的小数部分， (b+2) 3 的 _ 7如 ，点d ，e 分 是 abc 的 ac，ab 上的点，直 bd 与 ce 交于点 f，已知 cdf ， bfe ， bcf 的面 分 3， 4，5

4、， 四 形 aefd 的面 是 _ 8已知正整数a， b， c 足 a+b2 2c 2=0， 3a2 8b+c=0 ， abc 的最大 _ 22的两根 9 数 a， b，c， d 足：一元二次方程 x +cx+d=0 的两根 a，b，一元二次方程 x +ax+b=0c， d， 所有 足条件的数 （a， b， c， d） _ 10小明某天在文具店做志愿者 笔， 笔每支售4 元， 珠笔每支售7 元开始 他有 笔和 珠笔共 350 支，当天 然笔没有 完，但是他的 售收入恰好是2013元， 他至少 出了 _支 珠笔aacdeeedadobbc fbc（第 3 题 )（第 4 题 )（第 7题 )三、

5、解答题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）11如 ，抛物 y=ax2+bx 3， 点 e， 抛物 与x 交于a， b 两点，与 y 交于点c，且ob=oc=3oa，直 y=1x2+1 与 y 交于点 d ，求 dbc cbe y3dxaobce二、填空题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分）12 abc 的外心，垂心分 o，h，若b， c，h ，o共 ， 于所有的abc，求 bac所有可14如果将正整数m 放在正整数m 左 ，所得到的新数可被7 整除，那么称m 为m 的“魔 数” （例能的度数如，把86 放在415 的左 ，得到的数86415 能被7 整除，所以称86 为415 的

6、魔 数）求正整数n的最小 ，使得存在互不相同的正整数a1， a2， an， 足 任意一个正整数m，在a1， a2，an 中都至少有一个 m 的魔 数13 a，c是素数， x=b+c ， ，当2， ，a， b ，c能否bay=c+a bz=a+b cz =yxy=2构成三角形的三 ？ 明你的 2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1【答案】 a【解答】由已知得abc (2 a3 b4 c)( a 2b3c)，0故 (ab c)20 于是1222abbcca1 ab bc ca2 (abc )，所以 a2b2c222【答案】 b【解答】由于 ax2bxc0 是关于 x 的一元二次方程，

7、 则 a0 因为 x1 x2b ，x1x2c ，aa且 x1x2 0 ，所以 c0 ，且11 (x1x2 )22 x1 x2 b22a c 1 1a2，x12x22x12 x22c2，c2x12 x22于 是 根 据 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 以1，1为 两 个 实 根 的 一 元 二 次 方 程 是x12x222b22acxa22x2(b22ac) x20 xc20，即 cac3【答案】 d【解答】 因 ad， db ，cd 的长度都是有理数，所以，oa oboc adbd 是有理数于是，od oa ad 是有理数2由 rt doe rtcod ，知 oeod 2dc do都是

8、有， deococ（第 3 题）（第 3题答题）理数，而 ac adab 不一定是有理数4【答案】 c【解答】 因为 dcfe 是平行四边形，所以 de /cf ，且 ef/dc 连接 ce ，因为 de/cf，即 de/bf，所以 s deb = s dec，因此原来阴影部分的面积等于ace 的面积连接 af ，因为 ef/cd，即 ef/ac，所以 sace = s acf因为bc4cf，所以 sabcacf故阴影部分的面积为6= 4s5【答案】 c【解答】 设201320124m ，则（第 4 题）2013 201243 m 33m33 3m29m27459，m33m23m16460于是

9、201320123292393239222923455463 1033360967二、填空题6【答案】 9【解答】 由于 1 a2 a23 ，故 b a223( 3 9) 39 9 2 ，因此 (b 2)32047【答案】13【解答】 如图，连接af，则有：s aef4 = s aefs bfebfs bcf5，s afds afdfds cdf3s afd3s afds cdfcfs bcf5，s aefs aeffes bef4解得 s aef108， s afd961313（第 7 题答题）所以，四边形 aefd 的面积是 204 138【答案】 2013【解答】 由已知 ab22c2

10、0， 3a28bc0 消去 c，并整理得b826a2a 66 由a为正整数及6a2a66，可得 1 a3若 a1 ，则 b2598，无正整数解；若 a2 ，则 b2408，无正整数解；若 a3 ，则 b29，于是可解得 b11， b5 8（ i）若 b11，则 c61 ，从而可得 abc 311612013；（ ii）若 b5 ，则 c13，从而可得 abc3513195 综上知 abc 的最大值为 2013 9 【答案】 (1， 2，1，2) ， (t，0， t，0) （ t 为任意实数）（第 4 题答题）abc，【解答】 由韦达定理得abd，cda，cdb由上式，可知 bacd 若 b d

11、 0 ，则 ad1， cb1，进而 b da c2 bdbc 3 2 ， ce 2 ， be 2 5 因为 bc 2 ce2 be2，所以， bce 为直角三角形，bce 90因此 tancbe = ce =1 又 tan dbo= od1，则 dbocbe cb3ob3所以，dbccbedbcdboobc45 若 b d0 ，则 ca ，有(a，bcd) (t，0t，0) （ t 为任意实数） 经检验，数组 (1， 2，1， 2)与 (t，0， t，0)（ t 为任意实数）满足条件10【答案】 2074x7 y 2013，【解答】 设 x， y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则y 3

12、50，x所以 x2013 7 y(503y142 y)，4于是 y1 是整数又20134( x y)3y4 350 3y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值为 207，此时 x141 12设 abc 的外心，垂心分别为 o， h ，若 b，c ，h ，o所有可能的度数【解答】 分三种情况讨论（ i）若 abc 为锐角三角形因为bhc180a，boc2a ，所以由bhcboc ，可得 180a2a ，于是共圆，对于所有的abc ，求baca60 三、解答题如图，抛物线yax2bx3，顶点为，该抛物线与x轴交于，11eab 两点，与 y 轴交于点 c，且 ob oc 3oa直线 y1 x1与

13、y 轴交3于点 d求 dbc cbe【解答】 将 x 0分别代入 y1 x1， yax2bx3 知， d(0，31) ，c(0， 3 )，所以 b(3， 0)， a(1， 0)直线 y1 x1过点 b（第 11 题）3将点 c(0， 3 )的坐标代入 ya( x1)( x3) ，得 a1抛物线 yx22x3 的顶点为 e (1，4 )于是由勾股定理得（第 12 题答题（ i）（第 12 题答题（ ii ）（ ii）若 abc 为钝角三角形当 a90 时，因为bhc180a， boc2 180a ，所以由bhcboc180，可得 3180a180 ，于是 a 120 。当a90 时，不妨假设b9

14、0 ，因为bhca，boc2a ，所以由bhcboc180 ，可得 3a180 ，于是a60 （ iii ）若 abc 为直角三角形当 a 90 时，因为 o 为边 bc 的中点， b， c， h ， o 不可能共圆，所以a 不可能等于90 ；当a90 时，不妨假设b90 ，此时点 b 与 h 重合，于是总有 b， c， h ， o 共圆，因此a可以是满足0a90 的所有角综上可得，a 所有可能取到的度数为所有锐角及120 （第 11 题答题）13 a ， b ， c 是素数， xbca， ycab， zabc，当 z2y,xy2 ， a ， b ， c 能否构成三角形的三 ？ 明你的 【解答

15、】 不能依 意，得 a1 ( yz)， b1 ( x z)，c1 ( xy) 222因 y z2 ，所以 a1 ( yz)1 ( z2z)z( z1)222又由于 z 整数， a 素数，所以z 2 或3 ， a3当 z2 ， yz24， x(y2)216 而， b9 ， c10 ，与 b ， c 是素数矛盾；当 z3 ， abc0，所以 a ， b ， c 不能构成三角形的三 14如果将正整数m 放在正整数m 左 ，所得到的新数可被7 整除，那么称m 为 m 的“魔 数”（例如，把86 放在 415 的左 ，得到的数86415 能被 7 整除，所以称86 为 415 的魔 数）求正整数n的最小 ， 使得存在互不相同的正整数a1，a2， ，an ， 足 任意一个正整数m，在 a1，a2， ，an中都至少有一个 m 的魔 数【解答】 若n 6，取m1， 2， 7，根据抽 原理知，必有a1， a2，an 中的一个正整数m 是 i，j (1 i7的公共的魔 数，即