微积分在初等数学中的应用

1、左 右x微积分在初等数学中的应用微积分已进入了中学教材，为学生提供了新的解题工具，特别是在解决函数的单调性、极值、最值等方面，处理起来程序化，非常方便、简捷。另外，在处理初等数学的其他问题方面也提供了新 的解题思路和方法，下面举例说明。一证明不等式（要分 4 种小题型）1 只含一个字母（不妨设为 ）的不等式：“ ， x i令h ( x ) =左 -右， x i ，求 h（x ）在区间 i 上的最小值 h (x)（x 可在区间0 0i 的端点处），有 h（x ） h (x0)0 即可2 含有多个字母的不等式：证法一：将一个字母看作变量，其它字母看作常数（参数），然后按上述“ 1 只含一个字母的不

2、等式”的证明方法证明。例 1 g(x)xlnx 0aba+b证明：0g(a)+g(b)2g( )（b a）ln22a+x证：设 f(x)g(a)+g(x)2g( )2a+xf(x)g (x)2g( )2（2004 全国 ）lnxlna+x2令f(x)0，得xa0xa时，f(x)0，故f(x)在（0，a）上单减； xa时，f(x)0，故f(x)在（a，）上单增； xa时，f(x)有极小值为f(a)0，又 0ab f(b)f(a)0a+b即g(a)+g(b)2g( )02再证右端，令 g(x) g(a)+g(x) 2g(a+x2) （ x a ）ln2a+xg (x)lnxln ln2=lnxln

3、（a+x ）2x0时，g (x)0，故g(x)在（0，）上单减； 又 0ab，g(b)g(a)0即 0g(a)+g(b)2g(a+b2)（ba）ln2证法二：找出两个字母，不妨设为x , x1 2，然后将不等式变形为f ( x ) f ( x ) 或 f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2形式，然后用f ( x )的单调性证明。例2：i，m，n n*，1imn 求证： (1+m)n(1+n)m（2001 年全国高考）证：不等式等价于1x设 y (1+x)(1+m)（ x 3 ）1m (1+n)1n1lny ln（ 1+ x ）x1 1 1 y ln (1+x) y x 2 x(1+x)

4、=-(1+x)ln(1+x)+xx 2 (1+x)q x 3,ln (1+x)11yy 0 y 0y在 3，+ 为减函数。 q 3 m (1+n)1n(1+m)n(1+n)m（3）用导数的几何意义证明不等式例 3 ： 已 知 ： 函 数 f (x)= x x (0,1,)xx1, 2 1 22x - x+ 的c 定 义 域 为 （ 0 ， 1 ），求证f (x)-f(x 12) x -x12证明：q x x1 2f (x)-f(x)原不等式等价于 1 2x -x1 2q f (x)=2x-1x (0,1)-1 2 x -1 11即-1 f (x)1f (x)1由拉格朗日定理，对x , x (0

5、,1)xx1 2 1 2存在x (0,1)使f (x 0 0)=f (x)-f(x)1 2x -x1 21f (x)-f(x)1 2x -x1 21 f (x)-f(x12) x -x12成立说明：形如f (x)-f(x) ( 或 0 （或 0），则 曲 线y = f ( x), x i是凹（或凸）的定理： y = f (x)在区间 i 上为上凸函数，且x , x x i 1 2 n则：f(x1)+f(x2)+f(x)nn fx +x + +x 1 2 n n 当且仅当x =x = =x 1 2 n等号成立，若为下凸函数则不等好相反。例 4：证明（均值不等式）a , a , a 都为正实数则

6、1 2 na +a +a 1 2nnn a +a +a 1 2n当且仅当a =a = =a 1 2 n等号成立证明；设f (x)=lnxx (0,+)则f (x)=1xf(x)=-0，故f(x)0无负根。(2)当x2，f(x)0，f（x）在（2，）为增函数，f(2)140，f（x）在2，）内无根。由f(0)2，f(1)1，f（x）0在（0，1）内至少有一根，f(1)1，f(2)14，f（x）0在（1，2）内至少有一根，假设f（x）0在（0，1）内有两根x ，x ，则在（x ，x ）内必有1 2 1 2一点c使 f (x)0，但在区间（0，1）上f (x)0，故矛盾。所以，在（0，1）内有且只有

7、一根，同理，在（1，2）内有且只有有一根。四解析几何中的应用1曲线上的点到顶点的距离1 3例9：求y x 2的图像上离（- ,0）最近的点。2 23解；设p（x,y）为抛物线上任意一点，与（- ,0）距离平方设为d(x)23 1d（x）（x+ ）2（ x2 22）2d（x）2x+3+x3=（x+1）(x2-x+3）令d（x）0，得x1;当 x1时，d（x）0，当 x1时，d（x）0，x1是d(x)的极小值点，无其他极值点。1 1 1 3d(-1) （1, ）是y x 2的图像上离（- ,0）最近的点。 2 4 2 20 00nnnn2、求圆锥曲线的切线y2 x 2例10：设p(x ,y )是双曲线 1上一点，求过p 点的切线方程。b 2 a 2解；考虑上半支双曲线的方程为by aa2+x2， ybxa a 2 +x2则p(x ,y )处的切线斜率为 y 0 0xx0bx0a a 2 +x02 切线方程为yy 0bx0a a 2 +x0（xx ） 02即b 2 x 0（ xx ） a 2 y0y y x x0 0 1b 2 a 2当p在下半支时，也可得到同样的方程。同理