计算流体力学-对流方程-有限差分法-Lax格式-迎风格式-FTCS格式

1、有限差分法数值求解一维伯格斯方程作者：潭花林1. 引言本文利用有限差分法计算了一维伯格斯方程的初边值问题。采用FTCS格式，并深入讨论了它的相容性、收敛性与稳定。有限差分法在计算流体力学、数值传热学中都有众多的应用，而且可以用于高维情形。所有问题都是采用matlab编程计算。本文只是一个简单的一维问题的算例。关键词:计算流体力学，有限差分法，一维对流方程2. 题目用计算机求对流方程的初值问题 的数值解（由于对流方程的计算结果只依赖与上游，只需要给出上有的边界条件就可以了）。（1）分别用C格式，Lax格式，FTCS格式在 ，两种情况下计算。（2）计算范围为，取，计算80个时间步长。（3）写出计算

2、报告，内容为（I）计算课题（II）计算框图（III）计算程序（IV）计算结果，时的，图（V）体会3. 计算原理3.1. 迎风格式内点采用如下差分格式 初值为 边界条件为 稳定性：差分格式的稳定性：误差方程与差分方程相同设误差为，则 放大因子所以为使，应有对于本问题，初值和边界条件并不影响稳定性和收敛性问题。根据Lax等价定理，对于适定的处置问题，只要差分格式相容，稳定的就是收敛的。3.2. Lax格式内点采用如下差分格式 初值为 边界条件为 稳定性：差分格式的稳定性：误差方程与差分方程相同设误差为，则 放大因子所以为使，应有对于本问题，初值和边界条件并不影响稳定性和收敛性问题。根据Lax等价定

3、理，对于适定的处置问题，只要差分格式相容，稳定的就是收敛的。3.3. FTCS格式内点采用如下差分格式 初值为 边界条件为 稳定性：差分格式的稳定性：误差方程与差分方程相同设误差为，则 放大因子所以所以该格式是完全不稳定的。4. 计算结果及其讨论4.1. 时，结果是收敛的4.1.1. 时刻，三种格式的处理是相同的，处理结果如图 1所示，这是由于还没有开始数值计算。图 14.1.2. 时刻，计算结果如图 2所示，Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的，而FTCS格式却出现了很大的数值震荡。图 24.1.3. 时刻，计算结果如图 3所示，Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的，并且结果已经接近稳态

4、。而FTCS格式却数值震荡更大了，在几百的量级。图 34.1.4. 时刻，三种格式的处理是相同的，处理结果如图 4所示，Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的，并且结果已经接近稳态。而FTCS格式却数值震荡更大了，在十万的量级。图 44.2. 时，结果是不收敛的4.2.1. 时刻，计算结果如图 5所示，三种格式的处理是相同的，这是由于还没有开始数值计算。图 54.2.2. 时刻，计算结果如图 6所示，三种格式都出现了不同程度的数值震荡，在之前的稳定性分析中，已经指出，时，即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的，只有几的量级。图 64.2.3. 时刻，计算结果如图 7所示，三种格式都出现了不同程

5、度的数值震荡，在之前的稳定性分析中，已经指出，时，即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的，震荡量级到了几百。图 74.2.4. 时刻，计算结果如图 8所示，三种格式都出现了不同程度的数值震荡，在之前的稳定性分析中，已经指出，时，即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的，震荡量级到几千万。图 85. 体会在数值计算中，由于计算量很大，不可能通过微分方程的推导就获得解析解，编写程序已经是不可或缺的了。使用Matlab编写程序，虽然计算速度会比C、C+、Fortran等语言慢一些，但是却易于调试。本文中的程序只用了两次就调试成功。差分格式虽然看起来都差不多，但是稳定性的各自不同。FTCS格式虽然具有二阶的精度，但是不收敛，精度再高也没有用。数值震荡在一开始或许并不大，但是随着计算的进行，震荡的量级就不容小觑了。对于显示格式，都是条件稳定的，需要足够小才可以保证稳定条件。本文中的一维方程稳定性条件还不是很苛刻。但是如果问题是二维的，甚至是三维的，需要更小，计算量就会很大。6. 致读者文章中多处用到Mathtype输入公式，如果下载，可能会看到乱码，也无法复制。由于是原创性工作，下载需要财富值，敬请谅解。本文的matlab程序已经上传到