向量的模、夹角、数量积

1、题型一：模的计算: 题型二：向量夹角的计算题型四：三角形的面积问题 题型五：三角形四心鬼A K-（代数法：选择合适的基本，求最值会与不等式有关。几何法：画出几何背景，求最值与向量三角不等式有关）1、代数法（平方法）已知向量Q, b夹角为45：且6 = 1* |2a下=切则b2、几何法(画图) 已知平面向fi03与乔的夹角0 coM2oq,且|R| = | 乔1=3,若 OP =-ol+-,贝 Ij3 3|0P|的取值范围是.舟、函斗+今丿 ae( iya X Hf7X!i64 9存/I即戕方J已知 3 Q - 4 6 + 52 = 0,且 El = I b （a+对等于（）A-4-售C. 0

2、吩（疔艸讼&厂召 耳升仏t氓7十=2tf 9 讥丫=|C I = 1,则=? 7二仏十迹+作了左 a T2 二 P：?禺2二了乙卡耳餵）胡馆坷.讼扌成已知向量匸広为平面向S,若a + X与7的夹角为彳TTaIJ(/ + b与b的夹角为可，则t| =()竺Mpe 可 e 衣 、耳 1 n ” c D设向ffi瓷7满足I苛=1, ；?与的夹角为 i5（r,则I b|的取值范围是（）A-BC尹00丿 LOOD. (l,+oo)t歹纫。泌aIpe用7=4少乙/6舟F/津包/?二亦* a dA发&At 00 耐 I 刃昨二 Jgp址pA.B.CD.已知向量扌=(cos 0,sin 0), b =-1),

3、则pl - 7|的最大值，最|值分别是()4v 04皿16 , 04, 0模长与轨圆问题 LT_k_、设向量a , b、c满足I Q I = j b I = 1 、_L _/2D. 2 已知平面向量,7,Ta=I b的夹角为#，则|7|的最大值为()3 釘“齐Z满足=1, b = -1且 a c b cT, 一亠八A. gB. 22C. y/10D. 4(9 *0八1 S 0，于7 二吩。妙 =- % 釘朋”=2峠I-N丘 gf=与 勻加刖*乔2dv*h 银 *二 Q4已知方、6是平面内两个互相垂直的单位向S,若的最向量 C 满足（c - I 一 b I =0贝!J大值是0A. 1B. 2C.

4、 dD. 2洛I主初农仏勿希?. 2汕、7? =f X. VJ.久fW忆卜J甲+萨7；1“k 1/fO：0寸奇0I川WI./f nj；二reliZW八” 若a, 6,7为单位向虽，且 6=0,（2 I 60 贝!1t + b -1的最大值为（）A. 述-1B. 1C.抑十I s 9O亦魚n、卫cWM除场斜C. 2址2二 二3 Y艺心2 若向量a, b,c均为单位向量，且W. = i,(W W).(7一计o则+ 7 -；I的最大值为E幷C讥QT 0拧W/=闭十2几必*丸2了：S牛_沱C法it、a42肩二1茨以憊jL专诲:促拆si .：国+!?可L 小sQ ?旳刃阴Im亠计S t) 44?/_LI

5、讣=1讣m十ft b =6则n与h的夹角为A7Li3 *今_T已知向量a =(2,x) , b =(3,2)，若a与6的夹角为锐角，则实数的取值范围是.A -3 F心申TTT若向量 a = (A:, 3), b = (1,4), c = (2,1),已知 2-3b与W的夹角为钝角，则*的取值范围是斗4齢4初独才也紂肚几抵咛方k:认一般图形特殊化，特殊图形坐标化设四边形ABCD为平行四边形,IAB三GJIb|三4,A= _ 若点 M, W 满足 RM =3MC、DN =2NC则 乔.而=()A. 20B” 15G 9諾3 - 4 fi寸赭琳化D. 60 tjiLL C X A e_誠二花二扌祸f

6、-揶 .乔 v3 专 在ABC 中，ZA = 900,427= 1,AC= 2.设点F,Q满足ap = Xab,7q= 1-A)AC.AeR.若 灵方=一2,则人=0c,3D. 2不二C入S丿入,。八：-入斗+4入=7B 贰、 N如图，在矩形ABCD中ME=yNBC=2,点为BC的中点，点F在边CD上，若扁抒=”2则 蛊丽的值是 在直角 ABC 中上 BCA = 9(rCA=C*=l,P 为 AB边上的点AP = AAB,若方 乔彳万1 两,则 人的最小值是()A. 12 - 庖 2 v22辺B.C.D,补30 加*二舊肾a_/P 二2C *第亠Eg八耳-2、； K I.C是单位向量，且a -

7、 6=0,则W( b 的最小值为0A.B.C.D-2 2-11一0乩扛来花S住亚主一铤毎歹?- C5tf，2J(1? C W 芒尸 /- 炉 丿.寺伽|卡宀丫/广、园?八&勿-期用L 亠卜4*1 m少化.；d吆为i-jl次3厶Q .锯eg垃-s-帥乞怎仪M CfK2召仪矗f纽ISJ李力感0八5?爵S空/一 J二卜Q 如图，已知：L4CI = BC= 4, ZACE = 90*, M 为 BC 的中点，D为以AC为直径的圆上一动点,则P a 551 a”*fA二（屮-、認二-浊。- 8 -8Cc 十牛-5十7齐右9彳） 5+fji般图形特殊化，再建系如图，已知朋C的边BC的垂直平分线交于点/ P

8、,交 BC 于点 Q岸 I 乔U 3,1 二 5刚牛E)（詡+走）（扁-7）的佰为一.彳 B卜七SQ二2钞cA JI-爲二啊心申A詡 =g 內de讥M ）= J仏饥 齡小咸腐;逐遜f勾昭科用0#*0 如图，F为?!OB所在平面上一点,向aR = 乔=7,且P在线段AB的垂直平分线上, 向量乔=2.若的值为0535232A.B.C.D.T -b以X廊7二升7X?十巧二i侮飞）.；芒 cZ二&和八副潯QQ二2広m+帚胡_ rf爲10 二 0 ：C巧0220仇号遶C4報修丿衣 已知向量肓与立的夹角为120-,且AB = 3,|Ic| = 2.若壽=AAB + 且詡_左,则实数人=0总册-离目0靭爛

9、瑟；向峑 耳入=li4|沪鸟. 例2 在边长为1的正三角形ABC中，丽二为阪，元=yj00*+r = l,则丽-屈的最大值为、昴腐Q叼（二如,）JN iW s二 g* 韦丿 二勺S -丿-X + i 也7在ABC中，D在BC边上，ADAB , 丽=0而，AD = l ,则乔万=A二褊讣皿-鬲）疋荷=jr矿审如图已知4ABC中，点加在线段AC,点P在线豐心且满足需=霍=二若屈冲,I詬1=3, /B4C = 9(r ,则 Ip .BC 的值为9A-二3B.C.D.-223【解答3昴二谆益+鲁立*）（忌工）22 2 2 1 * =4C -3-41?=x322x22 + Ax3x2xccs9rt939

10、_23 故选A.2y 丁 QS*7二升TX?巧二i侮飞）二&和 十副感Q 二土启T+审諳_ r八、洌X融乙 ?举Gt-tf 心 H z =y r 保入 1 *匚访J 4d龙汽.宀（_J M电玄彳荷i二建二冷曙乞矶，加7） 声京二网佻彥疔歹、 二侈濟務戈二損够）曲护f斛瓷才”.需拖用热M临子T 设向量！, 5,6= 1 - 62 SB.丄25D,1是夹角为罟的单位向屋，若d=3t则向量7在巧方向的投影为0I刃妙观N 浇f玄滋J I y （用代数法）设6 =4 ；若a在占方向上的投影为2,且b在弋方向上的投影为1 ,则才与卞的夹角等于fiO H 比3心3M或丝33（用代数法）IemiShtS s（

11、h2）,n-2,-iL/x3.4）.则向a方在而方向上的投影为（ j j迈 B.亚 G迈 D.迹2 2 2 2（2、0 色Ab： CP/叶r- 冋 在平行四边形ABCD中MP丄5D,垂足为巴2= 则=.i DHypw言二34卩I - 閘僚蛙他俺人僱$後徳T侯恋鳶呎二送t2已知点M(1,U), 4, B是椭圆冷+沪=1上的动点，且 MA- = O,则応方的取值是()2 1 B. 1,92 93，,33，A.CD卩2賦勺毎就二孟诡r 3気卅朋 _二屎T克卅卩网戊、5?肘二如如产(9 1如图,A是半径为5的圆0上的一个定点，单位向量 扁在月点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点 夕 _,且点P与点A

12、不重合，则AP - AB的取值范围是A. (-5,5)B. -5,5C(-2,2V 2 2D. 0,5O0訂多叭私寤的 P为茹鼠eH月如图)0为ZUBC的外心,AH=4,AC = 2,/HAC为 钝角，M是边Z7C的中点，则幻*/6的值()A. 2vB. 12C. 6D_ 5二帀255十左屈丿石？. n 乙 xj 二 2 :庖A二菱形ABCD的边长为2,/! = -,M为DC的中点，3a0 M若N为菱形内任意一点（含边界），则詬丽的最 大值为.C （亦列爲=亦疋?f二才方：i衣為朮2亠二6沦X必2 - 7下2林他叫I赢2辭,=检歹影九乡C论牛、力侠作住人/ 矗施时2设向量 a, b 满足 Ia

13、 + b | = vW, |a T 7a b =p如图，是边长为2v3的等边 三角形，Pig以C为圆心，1为半径 的圆上的任意一点，则方詡的取 值范围是 .虫4靜甲=廉戶=pD - bJ二 PD乞 3已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ADC内一点，则pl- (p3+PC)的最小值是()14-3 3-2 2e P二2 W而二 zqv-尹可阳0帕离多 3一 7如图。在 ABC中，D是BC的中点，、F是AD 上的两个三等分点，兀？ 03 = 4,乔 0 = -1,则 祝的值是()A. 4B. 8C律D 1AR I) C4篩彳尹存斤严丁 丄丄9 益LgWo咸g = Mr 2?9电S Q哀GO

14、鼻、十*-歹设45G Pq是边AB上一定点,满足P（）B = - AB.4且对于边AB上任一点P,恒有而走2瓦孑-瓦3 则（）A. Z4BC = 90B. Z7MC = 90C. ABACf碱译乡p/.p?Po一讨？ R DJ 谿D AC=BCb D Cd Ep丄斤&二耳 轨率、騙少用9 C力-eg?蚤 已知4B为圆C： j：2 +y2 _2y= 0的直径，点P为直纟戋y=z-l上任意一点，贝y |PAi + |PB|的最小值为.闭:、 仆、（枷仅十纟侈讹）jpe沖化（矗十帰右褂=4产-2 （代汀）-平十21呱f八盼俘%肌已知P是0:龙2 +沪I上动点，线段AB是QC:（X 3） 2 + （y

15、 - 4） 2 = 1 的一条动直径（4, B 是直径的两端点）,则方而的取值范围是.二F八IIpcJ bMirji 在平面直角坐杭系xOy中，已知4为椭圆工2“2 = Lt的动点、MN 为圆（X 1）2 + / = 1 的 y 0一条直径,则I希乔I的最大值为.*矗我二A韻广 必少T吋 在MBC中，点M是ec的中点，角A = 120。，乔.疋 =-2,则I习71的最小值为23二工禄=2&MUC阿二 Rpm U4忒二说1川网岸) 4沐=弋*丘71 /刃，/刃 補总二R卜亿卜2)/ 牛、皿I已知圆O的半径为1,PA. PB为该圆的两条切线A.B.C.D.,A、B为两切点，那么刃丙的最小值为0 -

16、4 + S-3 + g-4 + 203 +裕龜二t尹7 -卄彳S还T 边长为2的正三角形ABC内(包括三边)有点 P丙说=、求抒.乔的取值范围D441审讦冷艮/*仆2 良 pg 2Ac/jp=6x*1-a?“ oMA0(P侈从- Be 5,；作 4心凶9为4(二(0月作0阳汝C八他DE上亠 材二“作处払弓.二A羽町(P “处财龙咛和仔1?处比3人才t脸扱希./曲井胚二-.O朋伽a专L J护尿亠盘射克吕词?-41 如图，在平面四边形ABCD中，AB丄BC, AD丄CD,ZBAD=120% AB=AD=1.g点E为边CD上的动点，则 方BE的最小值为（）A空B16 磅D.3*b 二 E*-S乌Xh

17、 首帥审小焙0檢勺推和：A a。、0匚屮）少內（屯）0 5叮蒂至二” 4J諮诟二皿4藩分疏题型四：三角形的面积问题八肝h2. b* Sfi4如上A_ 3. M 矽细;门4 S=仃务-茶力/做Z忽A小星V只在此微信售卖平面方祐.较三点不共线设 鬲=丽=&则 5B的面积等于（）丄JT 2 T 2_-,a b -(a*byB,-2b +(abrIXA b8CirtO =S Acf iI可也SWM/ I計ne=匕莎屁3 2. （2013王寂文）已知点J（l.-n . （3,0） . C（24）.若平面区域D由所有满足4=尢 + （15久52）5“51）的点P组成则D的面积为0 二I，入02 r $0龙

18、糾0彳讥CD匚下當 %ftf5PC n 2気如云血摘J二*1 如=2 -jj . E, 3.左申面j&角坐标系中，O为坐标原点.设P頑-(L2), 08-(2 -1).若 = xao.vOflSisxsvs2.则P点所有可能的位所构成的区域面积为jP7”加 TA+S Q Mg)向狂P花也矩叭 0).若 AABP 的面积为 8,则ABC的面积为.让/.平卄F二加孕W I二 生 _ 二卫7降护为、GD姒Ck亠/卩 勻竺二 .X倍刁细C7 *CAAtxra/tXWins毕设P、ABC所在平面内的两点，且AP =-Jb+-a , 帀 =2 扁+丄加则5 533ABP的面积与ABQ的面积之比为（）A.丄

19、5b.25c.-4D.-33-阿賽阿国+卡廉砂 A平ppr牛図金A 切L希*二j赢斗扌!4 -扇n软扇亠回甘CQC 4）6 0站Y布4扌旋二孑3=髮=命。S a如图，设P, Q旳ABC内的两点，且11 1 3 AP=-AB-AC , AQ=-AB-AC ,则 qO54ABP的面积与4BQ的面积之比为（）A. 127B. -IC. -9D. 13题型五：三角形四心J痂应入羽” 5沁怦.耘过“牝込匚诰 癮 十. 3、订就比如恳和训兰iM （由恥。 垂二十矗）步劇皤J嗇未A代届S&尿/巴/3石巫1十_必氏南幻乩阀处匹漏岡衣 、丁爪耘十曲仙血I阳畀腐日詔卜网 S 叨厶加二幼Q*垂 *L*的内心（其中a. bs c交X 0三玄里