十三圆锥曲线(答案

1、三、圆锥曲线（逐题详解）第I部分22X y1.【20XX年重庆卷】设F1, F2分别为双曲线 字-書=1（aA0,bA0）的左、右焦a b点，双曲线上存在一点P 使得 |P F1 | + | PF2 卜 3b,| PF1 | ”| PF2 卜-ab,则该双4曲线的离心率为（A. 4 B.3【答案】BC.)9D.34【解析】于(IP 印 + | PF2|)2-(| PRI-1 PF2|)2=4| PF1|”|PF2| ,所 以2 2 ,9b 4a =9ab 分解因式得(3b-4a)(3b+a) = 0= 4a =3b= a = 3A,b = 4a,c =5扎所以离心率e=E =5，选择Ba 33

2、2.【20XX年福建卷】设P, Q分别为圆222X 2X + (y - 6) =2 和椭圆 16 +y =1 上)7+V2的点，贝U P, Q两点间的最大距离是（C.A. 5B.（晅阿典 I【答案】D【解析】设椭圆上的点为（X, y），贝U圆X2+ （y-6） 2=2的圆心为（0, 6）,半径为 椭圆上的点与圆心的距离为启+（y_6）2 =J-g （诡）2 + 50 WW2，二P, Q两点间的最大距离是 = .故选：D2y2 =1（a：b0）的左、右焦点为F1、b23.【20XX年全国大纲卷】已知椭圆C: X2 +aJ3F2 离心率为3,过F2的直线l交C于AB两点,若也AFiB的周长为473

3、 ,2C .乞+12则C的方程为（2 2D .乙+也=1124【答案】AARFi=2X2aX2c6. 【20XX年四川卷】已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且【解析】 AFiB的周长为 仏，二4a=，二ap，离心率为， 2 c=i，.b* $ - J近，二椭圆C的方程为丐+t=i .故选：A 24.【20XX年全国大纲卷】已知双曲线 C的离心率为2,焦点为Fi、F2，点A在C上，若 |FiA|=2|F2A|，贝U COSNAF2F1 =(iiy/242A.丄 B .丄 C . D .4343【解析】双曲线C的离心率为2,二ed二2，即c=2a，a点 A在双曲线上，贝U |FiA

4、| - |F2A|=2a，又 |FiA|=2|F2A|，解得 |FiA|=4a，|F2A|=2a，|F iF2|=2c，则由余弦定理得 cos/位于x轴的两侧，0A0B=2 （其中0为坐标原点），则也ABO与MFO面积之 和的最小值是【答案】B【解析】方法1：设直线AB的方程为:1X =ty +m，点 A(Xi, yj，B(x2,曲，又 F( ,0)，直线4AB与x轴的交点M (0,m)(不妨假设yi 0 )由 r7ty+m2 _ty_m = 0，所以 yy m Ly =x rfQ又OA ”OB =2=為2+%丫2 =2= (y1y2) +%丫2 -2 = 0因为点A，B在该抛物线上且位于x轴

5、的两侧，所以y,y,= -2，故m = 2于是 S缈o+S鉀=卜2心172)+24細1 =8%+2 二2j|y1=322 48y1V 8y1当且仅当-y- y-时取“8 丫1 3所以 MBO与 MFO面积之和的最小值是3方法2：解析：据题意得F(?0)设则叫壬片也=忙，二片角二2或片$2=1 -因为 A卫位于工轴两侧所以.所以y岛=-2两面和之和为2:-+1+冷1 =2+97耳8 -S3 -【考点定位】1拋物线；2、三诸形的面和；3、重要不等式,2 27. 【20XX年天津卷】已知双曲线 笃-占=1(a0, bA0)的一条渐近线平行于直a b线I : y =2x+10，双曲线的一个焦点在直线I

6、上，则双曲线的方程为 2 2 2 23x 3y, r 3x 3y ,-1 D.亠=125 100100 252 20 Ji C.2052 2 A丄=1 B.520【答案】A【解析】由题意知,双曲线的渐近线为y ?， a二2双曲线的左焦点(-c，0)在直线I上,0= 2c + 10，.c = 5.又a?+ b = C，. a = 5， b= 20，双曲线的2 2 方程为x 乞=12 2x-my =3m(m0)的一个焦方程为5208. 【20XX年全国新课标I】已知F是双曲线C :点，则点F到C的一条渐近线的距离为A. y/3B .3C . %/3mD.3m【答案】:A【解析】：由C : x2my

7、2=3m(m0)，2得=1， c2 =3m +3,c= j3m + 3 3m 3设Hs/33,0 ）, 一条渐近线y =虐J3mx，即X -= 0，则点F到C的一条渐近线的距离d =逬疋1 =胎，选A.G+m29.【20XX年全国新课标I】已知抛物线C : y= 8x的焦点为F ,准线为I , P是1上一点,A.72【答案】:CQ是直线PF与C的一个交点，若FP =4FQ，则IQF 1 =5B. 5 C.3 D .22P Q 3QMPQ3“=-，又-=_， QMPF 44PF4=3，由抛物【解析】:过Q作QML直线L于M FP =4FQ定义知QF =QM =310.【20XX年全国新课标n】设

8、F为抛物线c：y2=3x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，0为坐标原点，则 OAB的面积为（）A.呼 B.9/3C 63 D 98.32.4【答案】 D设点A、B分别在第一和第四象限，AF =2m, BF =2n,则由抛物线的 定义和直角三角形知识可得，【解析】2m = 2 + J3m,2n = 2 J3n，解得 m = (2 + /3), n = (2 - J3), 44221 39”.m+n = 6.”. SaOAB = ( + n)=.故选 D.2 44211.【20XX年广东卷)】若实数 k满足0k0,25-k a0，二曲线252 2+丄9-k2 2=1 与亠+2_=1

9、25-k 9均是双曲线，且 C =a2 + = 25 + (9-k) =(25-k)+9 ,即焦距相等.故选D.第II部分1.【20XX年上海卷】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆2 2牛+L=1的右焦点重合,95则该抛物线的准线方程为【答案】x = -2【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程x = -22.【20XX年上海卷】已知曲线C:x=-j4-y2，直线l:x = 6.若对于点A(m , 0)，一T存在C上的点P和丨上的Q使得AP + AQ = 0，则m的取值范围为【答案】m可2,3【解析】：根据题意，A是PQ中点，即m=4二心，_2“p 兰 0, 2 2 Pmq2

10、,33.【20XX年江西卷(理15)1过点M(1,1)2 21 xy作斜率为-丄的直线与椭圆C : P = 1(a b 0)相交于A,B，若M是线2 ab段AB的中点，则椭圆C的离心率为【答案】琴设A(X1, y1 )B(X2,y2 )2 2则笃+y2_=1a2 b22 2X2 昇2 /a2 b2【解析】二(x1-x2p+x2)Jy1-y2i(y1+y2)2a2丄2二 =0a b二 a2 =2b2/. e =2b2=04.【20XX年北京卷】设双曲线2C经过点（2,2），且与x2=1具有相同渐近线,则C的方程为2 2【答案】312丄y= 2x;渐近线方程为【解析】与.X2 = 1具有相同渐近线

11、的双曲线方程可设为24 - X =m (m 0),双曲线C经过点（2, 2）, m拿 01一432 2 即双曲线方程为冷一x2=- 3，即专-士pl，对应的渐近线方程为 y= 2x，故答2 2案为：yfr, y= 2x5.【20XX年安徽卷】设Fi,F2分别是椭圆E:x22+ %=1(0cbv1)的左、右焦点, b过点Fi的直线交椭圆E于A,B两点，若I AFi|=3FiB，AF2丄X轴，则椭圆E的方程为得25c2 +b2 =9，将c2十b2代入得b2寻宀乎6.【20XX年湖南卷】如图 4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为 a,b(avb).原点0为AD的中点，抛物线y AN I +

12、1 BN 戶【答案】12【解析】如图：MN的中点为Q, IQF为血，iQi#悶I，则-=a= 2px(p 0)经过C、F 两点,【解析】72+1.2【答案】7.【20XX年辽宁卷(理15)】已知椭圆点M与 C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A，B,线段MN的中点在 C上，则 Q在椭圆C上， |QFi|+|QF2|=2a=6，二 |AN|+|BN|=12 .第III部分1.【20XX年重庆卷（理21）】如下图，设椭圆笃+每=1（ab0）的左右焦点a b分别为Fi,F2，点D在椭圆上，DFi丄F1F2 ,|DFi| DF1F2 的y*面积为返.2（1）求该椭圆的标准方程;（2）是否存在

13、圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.FiDF2OA X与解：（1）设D（_c,y），代入椭圆方程中求出y丄，故a由已知：F1F2 =2逅 DF1 丄 F1F2 tDF1 =22乎，联立解出DFib2=，而 F1F2 = 2ca即 2c=2,=d,a2a 2=b2 +c2，联立解出 a=72, b = c=1x所以椭圆的标准方程为才+宀1（2）由于所求圆的圆心C在y轴上，故圆和椭圆的两个交点 A,B关于y轴对称,从而经过点A,B所作的切线也关于y轴对称，如下图所示。当切线互相垂直时，设两条切线交于点 P，则CAPB恰

14、好形成一个边长为r正方 形。其中r表示圆的半径，由几何关系BF2因为=BP - PF2= r-72，BFiV|bP|pf,所以 r -72 +Jr2 +2 =2= r4血T，故所求圆的半径y2 = Jr+2，F2P2.【20XX年福建卷】已知双曲线E:2-=1 (a0, b0)的两条渐近线分别为 I 1： y=2x, I2: y=- 2x .(1)求双曲线E的离心率；解：(1)因为双曲线E的渐近线分别为I 1： y=2x, I2： y=- 2x，所以上=2. a/ 2 _2所以宜二_=2 .故 c=da，从而双曲线E的离心率e5.aa3.【20XX年湖南卷(理21)1 (本小题满分13分)2+

15、当=1 (a bA0)的左、右焦点为F1 ,F2，bx2如图7, O为坐标原点，椭圆C1 : -y a22离心率为0 ；双曲线C2 :务-当=1a b的左、右焦点为F3,F4，离心率为e2.已知爲知e1e2 =2（1）求 G、，且 IF2F4 M-1.C2的方程;解：(1 )Ja2 -b2a4, 43 4a -b =-a4F4（J3b,0）73b-b 斗 F2F4 |=1，a2 =2 .故G、C2的方程分别是2 2X .2. x 2.+ y =1， -y =1.【20XX年辽宁卷】F2（b,0）用7因为802/ 2 , . 2 时a +ba，即a224.x2 +y2 =4的切线与x轴正半轴，y

16、轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面22积最小时，切点为P (如图)，双曲线G：与-每=1过点P且离心率为 亦.a b(1)求Ci的方程;(I)设切点坐标为(X0,y0)(X0 0,% 0)，则切线斜率为-血，切线方程为 y。y-yo =-鱼(X-Xo)，即XoX +yoy=4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成 yo的三角形面积为S J 上上=丄.由xo2 +yo2 = 4二2xoyo知当且仅当2 xo yoXoyoxo=yo=72时xoyo有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为(72,72)，由题意知2a2 b2解得 a2 =1,b2 =2，故 G 方程为 x2 -Z = 1.la2 +

17、b2 =3a225.【20XX年全国大纲卷】已知抛物线 C: y2=2px(p o)的焦点为F,直线y = 4 与y轴的交点为P，与 C的交点为Q,且|QF|=5 |P Q|.4(1)求C的方程;(2)过F的直线I与C相交于A B两点，若AB的垂直平分线1与C相较于MN两点，且A、MB N四点在同一圆上，求I的方程.解：(1)设 Q(xo,4)，代入 y2 =2px 得xo= P聖+xp聖+82 P 2 p= 5x8.解得 p = 一2 或 p = 2 4 Py2 =4x所以pq| =旦，|qfp由题设得B+8；：2 P所以C的方程为(2)依题意知I与坐标轴不垂直，故可设I的方程为X = my

18、 +1( m工o)2 2代入 y =4x得 y -4my-4=o设 A(xi,yi)， B(X2,y2)，则 yry4m， yiy -4故 AB 的中点为 D(2m2 +1,2m). |ab| = Jm2 +11y2 - %| =伽2 +1)又l的斜率为-m，所以l的方程为x=-丄y+2m2+3m将上式代入y2 =4x，并整理得y2+y -4(2m2+3) =om设 M(X3,y3)， N(X4,y4)，则 ys + y4 =-土，丫3丫4 = -4(2m2+3)m故MN的中点为E(电+2m2 +3,-2)mm.MN I =+1|y4 -y3 =4(m2 +l#2m2 +1m2由于MN垂直平分

19、AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于1= |BE| =-|MN从而 1 AB 2 * 4 + DE4AE1 =一 MN42 2 2 2 2 4(m2 +1)2 +(2m +)2m m2，即2 2 2 2+ 2)24(m +1) (2m +1)m2化简得m2 -1 =0，解得m =1或m = -1所求直线l的方程为：X _ y _1 = 0或X中y _1 = 0 .6.【20XX年天津卷】)2 2设椭圆爲+与=1(a Ab 0)的左、右焦点分别为F1、 a b为 B.已知 | AB|F1F2 |.2求椭圆的离心率；F2，右顶点为A，上顶点解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(C, 0) 由

20、| AB| =当 F1F2I，可得 a2+ b2= 3c2.12,所以椭圆的离心率e=22.7.【20XX年全国新课标I】已知点A ( 0,-2 )，椭圆2 2X y飞 + 吉=1(ab A 0)的a b离心率为f，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为誉，O为坐标原点.(I )求E的方程;(n)设过点A的直线I与E相交于P,Q两点，当AOPQ的面积最大时，求I的 方程.【解析】:(I)设F (c,0 )由条件知-，得c = 43.6分C 3（n）依题意当丨丄X轴不合题意，故设直线I : y = kx 2，设P（x1,y1 ）, Qx2, y2）2将 y =kx-2 代入 J + y2 =1，得(1

21、+4k2 )x2 16kx+12 =0 ,1+4k2当 =16(4k2 3)0 ,即 k23 时，xi2 =8k2J4k 34从而P Q =水2 +1Xl -X24*2 +lU74k2 -31 + 4k2又点O到直线PQ的距离丿，所以也0PC的面积4j4k2 -31 +4k2t2+4 t 沪t设 J4k2 -3 =t，则 t A 0 , S少Q = -4当且仅当t=2 , k = 也等号成立，且满足也0，所以当iOPQ勺面积最大时,212分I 的方程为：yWx-Z 或 y-x-Z.2 22 28.【20XX年广东卷】已知椭圆C:+% =1（ab0）的一个焦点为（75,0），离 a b心率为一，3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（X0,y0）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求 点P的轨迹方程。【解析】（1）可知 c=75，又理，二 a =3，b2=a2-c2=4，a 32 2椭圆C的标准方程为X +y =1 ；94（2）设两切线为l1, l2， 当