《物理光学》1章 光的电磁理论及课后习题答案

1、光的电磁波性质 平面电磁波,第一章 光的电磁理论,预备知识: 1、普通物理：电磁学 2、工程数学：矢量运算、场论基础,麦克斯韦(maxwell)在法拉第(faraday)、安培(anper)等人研究电磁场工作的基础上：于1864年总结出了一组描述电磁场变化规律的方程组，从而建立了经典电磁理论。 maxwell方程两种等效的表达形式： 积分形式适用于解释物理现象；微分形式适用于理论推导,1.1 光的电磁波性质,一、麦克斯韦方程组,一）积分形式的maxwell方程 d:电感应强度(电位移矢量) b:磁感应强度 e:电场强度 h:磁场强度,分别称为介电系数(或电容率)，磁导率,高斯定理电和磁,1）e

2、高斯(gauss)定理： 通过任意封闭曲面的电感通量等于曲面内所包含自由电荷的代数和,2）b高斯定律：通过任意封闭曲面的磁感通量为零，说明穿入与穿出任一封闭曲面的磁通量永远相等，即磁场没有起止点，磁力线是闭合曲线,法拉第电磁感应定律,随时间变化的磁场会产生感生电动势,a）交变的磁场产生涡旋电场； 法拉第(farady)电磁感应定律：变化电场中，沿任一封闭路径的感应电动势e等于路径所包面积上的磁感通量的变化率， 感应电动势：单位正电荷沿闭合回路移动一周时涡旋电场所作的功,安培环流定则,随时间变化的电场会产生涡旋磁场,磁场强度h沿任意闭合回路的环流等于穿过闭合回路所围曲面的全电流之和,b）变化的电

3、场也能够产生磁场： 传导电流意味着电荷的流动，而位移电流却意味着电场的变化，但是两者在产生磁场方面是等效的 电场中任一截面的位移电流强度等于通过该截面的电通量的时间变化率,交变电磁场的普遍规律： （.1） 这四个方程通常称为积分形式的麦克斯韦方程组,二)微分形式的maxwell方程 1、矢量运算与场论基础：矢量运算： 点积（内积）： 叉积（外积,axb,梯度：标量场f(x,y,z)在某点m(x,y,z)的梯度是一个矢量，它以f(x,y,z)在该点的偏导数，为其在“x,y,z”座标轴上的投影，记作： 微分算符(也称为哈密顿算符)，定义为,散度：矢量函数 (m)在坐标轴上的投影为p、q、r，它的散

4、度是一个标量函数，定义为微分算符与矢量f的数量积, 记作： 旋度: 矢量函数 (m)在坐标轴上的投影为p、q、r，它的旋度是一个矢量函数，定义为微分算符与矢量f的矢量积，即,矢量分析基本公式: 矢量积分定理： 高斯定理: 是空间区域上三重积分与其边界上曲面积分之间关系的定理。 斯托克斯：定理是关于曲面积分与其边界曲线积分之间关系的定理,2、微分形式maxwell方程 对方程组的第一式，如果闭合曲面积分域内包含的电荷是连续分布的,方程组第三四式,微分形式的 maxwell方程： (1.2,二、物质方程： 1、一般特性： 、 :电磁场基本物理量，代表介质中总的宏观电磁场； 、 ：与介质特性相关的辅

5、助场量,式中：、分别称为介电系数(或电容率)，磁导率和电导率。 线性光学： 、与光强无关； 在透明、无损介质中=0； 非铁磁性材料： r=1 2、非线性： 光强很强：非线性光学,1.31.5,物质方程,三、 电磁场的波动性,波动方程： 两个结论： 第一，任何随时间变化的磁场在周围空间产生电场，这种电场具有涡旋性，电场的方向由左手定则决定； 第二，任何随时间变化的电场在周围空间产生磁场，磁场是涡旋的，磁场的方向出右手定则决定。 电场和磁场相互激发形成电磁场,从maxwell方程到波动方程，证明电磁场的波动性 在无限大均匀介质中，常数，常数，并且不存在自由电荷和传导电流(0，j0)。 第三式的旋度

6、代入四式,同样： 电场和磁场以波动形式在空间传播，传播速度为v；解的形式取决于边界条件。 电磁波在传播介质中的绝对折射率真空光速/介质光速： 式中r，r分别为相对介电系数和相对磁导率。除了铁磁物质之外，对于大多数物质，r=l，因而上式变为,四、电磁波,1889年，赫兹在实验中得到了波长为60厘米的电磁波，观察了电磁波在金属镜面上的反射，折射，以及干涉现象。赫兹的实验不仅以无可质疑的事实证实了电磁波的存在，而且也证明了电磁波具有光波的性质。 根据真空中的介电常数和磁导率得出真空中的光速：2.99794x108m/s 实验结果计算出电磁波在真空中的速度为:3.1074x108ms， 测量的光速为：

7、3.14858x108ms,无线电、光、射线本质一样，只是波长不同,可见光：390nm780nm,1.2 平面电磁波,一、波动方程的平面波解 假设平面波沿直角座标系x、y、z的z方向传播，电磁场与x、y无关，电磁场只是z和t的函数。这样，电磁场的波动方程,令：= z-vt, =z+vt 代入上式得： f1和f2为z和t的两个任意矢量函数。f1表示沿z正向传播的波，f2表示以同一速度沿z负方向传播的波。因为我们讨论则是由辐射源(光源)向外的波的传播问题，所以只取第一项 ： 该波的最简单形式-简谐波,若波源是谐振动 沿波传播方向任取一点p p点振动的方程,二、平面波简谐波：余弦(或正弦)函数作为波

8、动方程的特解 式中：1）a和a分别是电振动和磁振动的振幅。 2）位相：余弦项的宗量，它决定平面波在传播轴上各点的振动的状态。 3）简谐波波长:任意时刻位相相差2两点间距 4）等相面（波面）：某时刻场中位相相同的点 波前,波阵面 = 等相面是一个平面故称平面波 5）时间角频率： 6）波矢量 沿等相面法线方向，亦为能量传播方向 其大小(通常称波数,t为时间周期 为空间周期,空间角频率k,时间角频率,平面电磁波各种波函数,平面电磁波具有时间周期性和空间周期性 时间无限延续，空间无限延伸的波动,平面波传播速度随介质而异；时间频率与介质无关；而空间频率波长随介质而异,平面电磁波的时间周期性和空间周期性,

9、最显著的特点是：时间周期性和空间周期性： 1、单色光波是一种时间无限延续、空间无限延伸的波动。 2、从光与物质的作用来看，磁场远比电场为弱。所以通常把电矢量e称为光矢量，把e的振动称为光振动,平面简谐波 = 单色波,三、一般坐标系下的波函数 1、沿空间方向k传播的平面波函数： 设k 的方向余弦（在x, y, z上的投影）为cos, cos, cos, 那么,x,y,2、设k的方向余弦为cos, cos, cos, 那么在x, y, z上的空间周期： 空间周期（k）：不同考察方向有不同空间周期: 在r方向上的空间周期： 3、空间频率,例：单色平面波频率为：6x1014hz，真空中沿xy面内传播；

10、某时刻波场的相位差2的等相位线如图，已知x方向等相位线间隔1m，求： 1、传播方向空间频率； 2、x，y方向空间频率值； 3、传播方向与x，y方向夹角。 解：1、 2、 3,四、复数形式的波动公式 欧拉公式： 运算结果取实部； 优点： 1、时间和空间因子分离； 2、简化运算 适用于线性系统,五、平面简谐波的复振幅 波函数 = 空间位相时间位相 复振幅： 场振动的振幅和位相随空间的变化。 时间位相：场振幅随时间变化。由于在空间各处随时间的变化规律相同所以可以在讨论时省略,波函数互为共轭复数,六、平面电磁波的性质,1、电磁波是横波 2、 相互垂直 3、 同相,一、球面波 1、波函数： 点光源，发出

11、以0点为中心的球面，即波阵面是球面，这种波称为球面波。球面波阵面上各点的位相相同。 通解： 单色光波 : p点的位相： p点的振动矢量,1.3 球面波和柱面波,单位时间内通过任一球面(波面)的能量相同-能量守恒。 2、球面波的复振幅 球面简谐波复数形式的波函数： 复振幅定义为：振幅和空间位相因子,球面波的振幅不再是常量，与离开波源的距离r成反比 球面波的等相面是r的常量的球面,球面简谐波复数形式的波函数,二、 柱面波： 柱面波是一个无限长的线光源发出的光波，它的波阵面具有柱面的形状。柱面波的波动公式可以写为： 复振幅,1.4.1 光源热光源、气体放电、激光 光是电磁波，光源发光是物体辐射电磁波

12、的过程。物体微观上可认为由大量分子、原子、电子所组成，可看成电荷体系，大部分物体发光属于原子发光类型。 普通光源：自发辐射，普遍光源的发光是物质各个原子或分子发光的总效果,1.4 光源和光辐射,1.4.4 实际光波 由于原子的剧烈运动，彼此间不断地碰撞，因而原子发光是断续的。在最好的条件下(如稀薄气体发光)，约为10-9秒的数量极。 1、原子发出的光波是由一段段有限长的称为波列的光波组成的； 2、实际光源发出的光波其光矢量的振动方向具有一切可能的振动方向。如果没有一个振动方向较之其他方向更占优势，这样的光为自然光,同一原子先后发出的光及同一瞬间不同原子发出的光的频率、振动方向、初相位、发光的时

13、间均是随机的,结论：一般而言热光源及普通光源发出的光为非相干光。且同一光源上不同点发出的光也是非相干光,理想的单色光 具有恒定单一波长的简谐波，它是无限伸展的。 实际原子的发光 是一个有限长的波列,所以不是严格的余弦函数,只能说是准单色光，即在某个中心频率（波长）附近有一定频率（波长）范围的光,例:普通单色光： 10-2 10 0a 激光 ：10-8 10-5 a,衡量单色性好坏的物理量是谱线宽度,1.4.3、辐射能 在电磁学里，电、磁场的能量密度为： 1、辐射强度矢量或坡印亭矢量 ：单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的电磁能量，方向是能量的流动方向,在物理光学中，通常把辐射强度的平均值称

14、为光强度，以i表示,例 光功率为100w的灯泡，在距离为10m处的波的强度时多少,解,1.5 电磁场的边值关系 * 1.6 光在介界面上的反射和折射 反射、折射定理 菲涅耳公式 反射折射产生的偏振,第一章 光的电磁理论,电磁场的边界关系 光波在介质的分界面上电磁场量之间的关系称为电磁场的边界条件。 1、法向分量 通过分界面时磁感强度的法线分量是连续的。 若没有自由电荷，电感强度的法线分量也是连续的,1.5 电磁场的边值关系,磁感强度：假想在分界面上作出一个扁平的小圆柱体,2、切向分量 电矢量e和h的切向分量是连续的。 矩形面积abcd，令其四边分别平行和垂直分界面,在两种介质的分界面上电磁场量

15、是不连续的，但在没有面电荷和面电流的情况下b和d的法向分量以及h和e的切向分量则是连续的,光在电介质分界面上的反射和折射，实质上是用介质的介电系数、磁导率和电导率表示大量分子的平均作用。 1、证明k1、k2、k1共面。 以e1、e1、和e2分别表示入射波、反射波和折射波的电矢量分量，它们的波动公式应为,1.6.1 反射定律和折射定律,1.6 光在两介质分界面上的反射和折射,对任何时刻t都成立，故有入射波、反射波和折射波的频率相同 ： 说明时间频率是固有特性，不随媒质改变,对整个界面上的位置矢量r都成立，所以： 所以（k1-k1）(k1-k2)与界面垂直，与法线平行，k1、k2、k1共面，同在入

16、射面内,2、反射定律： 设在介质1和2中的位相速度v1和v2。 因为： 所以,3、折射定律： 设在介质1和2中的位相速度v1和v2。 因为： 所以：或 -折射定律，或称斯涅耳(snell)定律,1.6.2、菲涅耳公式 关于反射波和折射波与入射波振幅和位相比值的关系式。把入射光分解为垂直于入射面的分量e1s(正向指向读者） 和平行于入射面分量e1p,1、s波的反射和透射系数 根据边值关系,所以,代入e的表达式，各指数项相等 并利用折射定律,垂直分量的透射系数: 以上是电矢量垂直入射面s波的菲涅尔公式,由此得出反射波和入射波的振幅之比(垂直分量的反射系数,2、p波的反射和透射系数 反射系数和透射系

17、数。 在正入射或入射角很小时：菲涅尔公式有简单形式,n1n2空气-玻璃界面,incidence angle, qi,reflection coefficient, r,1.0 .5 0 -.5 -1.0,rp,0 30 60 90,brewsters angle r|=0,nair 1 nglass 1.5 1、在 q = 90全反射 2 、半波损失 3 、全偏振发生在 “brewsters angle” (56.3,3、菲涅尔公式的讨论,tp,ts,玻璃空气界面,incidence angle, qi,reflection coefficient, r,1.0 .5 0 -.5 -1.0,r

18、,0 30 60 90,total internal reflection,brewsters angle,critical angle,critical angle,nglass 1.5 nair 1 全偏振发生在 “brewsters angle” 全反射发生在“临界角 qcrit arcsin(nt /ni,n1n2,2）光从光密介质入射到光疏介质（n1时）无半波损失，有全反现象,当 时，即垂直入射时， 都不为零，表示存在反射波和折射波,当 （ c为2=900时对应的1）时， 表示发生全反射现象,当有 都大于1，且随1的增大而增大,对于折射波,都是正值，表明折射波和入射波的相位总是相同，

19、其s波和p波的取向与规定的正向一致，光波通过界面时，折射波不发生相位改变,reflection coefficient, r,4、反射和折射所产生的偏振光,自然光入射，分解为s,p分量；由于rsrp；所以反射光振动存在优势方向，为部分偏振光； 偏振度,自然光投射到两种不同介质的分界面时，当入射角满足关系： rp=0，反射光中没有振动平行于入射面的分量，因而反射光是完全偏振光。这个结论通常称为布儒斯特定律，w这时的入射角称为起振角或布儒斯特角，记为b。 自然光入射时，s和p波的反射和折射系数一般不同，因此反射和折射光是部分偏振光，反射光的s成分大，折射光的p成分大。不管什么情况下，折射光都不会发

20、生全偏振现象,5、反射率和透射率 表示反射波、折射波与入射波的能量关系 单位时间投射到界面单位面积上的能量为w1，反、透射光的能量分别为w1、w1，不计吸收散射等能量损耗，则反射率r、透射率t，为,r 、t 为界面功率密度比, 而非强度比,考虑界面上一单位面积，设入射波、反射波和折射波的光强分别为 通过此面积的光能为,平面波的光强度:单位时间内通过垂直于传波方向的单位面积的能量,界面上反射波、透射波的能流与入射波能流之比为,假定 ，则,光波分别只有s和p分量时： 则一般光波,当入射波电矢量取任意方位角时,当不考虑介质的吸收和散射时，能量守恒,自然光：把光矢量分解为垂直于入射面和平行于入射面的两

21、个分量。 光在空气和玻璃分界面反射时rs, rp, rn随入射角变化的曲线。可见自然光在45的区域内反射率几乎不变，约等于正入射的值,自然光在 的区域内反射率几乎不变，约等于正入射的值。正入射时,在空气玻璃（n=1.52）界面反射的情况， 约4%的光能量被反射。 若包含6块透镜系统，反射面12面，若n=1.52，光在各面入射角很小，透过这一系统的光能量为,w1为入射光能量，由于反射而损失的能量占41,平面简谐电磁被在真空中沿正x方向传播，频率4x1014hz(兰光)，电场振幅为1414v/m。如果该电磁波的振动面与xy平面成45度角，试写出e和b的表达式。 已知电场振幅a, 显然在z,y方向的

22、分量为,线偏振光的偏振面和入射面间的夹角称为振动的方位角，设入射线偏振光的方位角为 。入射角为，求反射光的方位角。 （已知两介质的折射率为n1和n2：,根据折射定律,钠黄光（d双线）包含的波长1=5890埃，2=5896埃，设t=0时刻两列波的波峰在0点重合，问： 1、自0起，传播多远两列波的波峰还会重叠？ 2、经过多长时间以后，在0点还会出现波峰重叠现象？ 解：波峰再次重叠时，传播距离应为1，2的最小公倍数,1.7 全 反 射,第一章 光的电磁理论,1.7全 反 射,全反射现象的特点： 无透射能量损失 反射时有位相变化 存在隐失波,1.7.1、反射系数和相位 全反射时： 代入反射系数rs和r

23、p公式得： 复数表达为,复数的模表示反射波和入射波实振幅之比，幅角表示反射时的位相变化,因为：|rs|=1，所以 利用欧拉公式： 得： 同理,过程,1、入射角等于临界角，两个分量的位相差为零，如果这时入射光为线偏振光，则反射光也为线偏振光。 2、入射角大于临界角，且入射线偏振光的振动面与入射面的交角又非0或/2，这时反射光的两个分量有一定的位相差，反射光将变成椭圆偏振光,讨论： （一）反射比 在全反射区间， 所有光线全部返回介质一，光在界面上发生全反射时不损失能量。 入射角从布儒斯特角变化到临界角时，反射率在临界角附近发生急剧变化。可利用临界角高精度对焦。 （二）相位变化 在全反射条件下，两个

24、分量有不同的位相变化，两分量的位相差为,1.7.2、倏逝波 全反射时光波将透入第二介质很短的一层表面(深度约为光波波长，并沿界面流动约半个波长再返回第介质。-隐失波（倏逝波）。 透射光波函数： 在xz平面上： 代入全反射时的cos2和sin 2,透射波函数： 表示一个沿x方向传播的振幅在z方向按指数规律变化的波。 穿透深度定义为振幅衰减到1/e时的z0。 约为一个波长。 波长： 速度,倏逝波：全反射时全部光能都反回第一介质，光波将透入第二介质很短的一层表面(深度约为光波波长，并沿界面流动约半个波长再返回第一介质。第二介质表面的这个波称为倏逝被,第二介质中存在倏逝波，但是倏逝波沿z方向的平均能流

25、为0。（流入的等于流出的） 反射光束有一个侧向位移（半个波长,利用全反射时的能量特性，改变光的传播方向、传递能量。 利用倏逝波特性产生的受抑全反射效应能制成光调制器或光输出耦合器。 利用全反射时的位相变化，选取适当的折射率和入射角，可改变入射光的偏振状态,1.7.3 全反射的应用,利用全反射来改变光线的传播方向和使像倒转,潜望镜,传导光能，传递光学图象,激光可变输出耦合器,在斜面间的空气隙内的隐失波场的耦合作用下，光波可以从一块棱镜透射到另一块棱镜，透射量的多少与间隔有关,棱镜波导耦合器：可以用来将光信号方便有效地耦合进薄膜波导中，或者将在薄膜波导中传播的光信号引出波导,近场扫描光学显微镜（n

26、som）用于观察纳米尺度表面结构,1.9.1、光的吸收 一般吸收：吸收很少，并且在某一给定波段内几乎是不变的；可见光（石英） 选择吸收：吸收很多，并且随波长而剧烈地变化。红外光（3.55.0m） 任一物质对光的吸收都由这两种吸收组成,1.9光的吸收、色散和散射,如果： 则沿z轴传播的平面波： 光强：i0是z=0处的光强, 为物质的吸收系数,吸收定律- 布格定律 稀溶液中,有比尔定律,吸收系数,布格定律或朗伯定律,2、选择吸收,若物质对某些波长的光吸收特别强, 则物质有选择吸收 可见光入射后, 变为彩色,3. 吸收光谱,线状谱,带状谱,连续谱,发射谱,吸收谱,1）对可见光， 金属 、玻璃 各种物

27、质的吸收系数的差别是很大。 （2）大多数物质的吸收具有波长选择性。 （3）对于液体和固体，吸收带都比较宽，而对于气体则比较窄，通常只有103nm量级,光的色散效应是一种光在介质中传播时，其折射率随频率（或波长）而变化的现象。 正常色散:在物质透明区内，它随着光波长的增大折射率减小且色散曲线是单调下降的。 此现象由科希(cauchy)色散公式来描述,1.9.2、光的色散,正常色散曲线,正常色散,反常色散:反常色散：发生在物质吸收区内，它随光波长增加而折射率增加,经验公式为塞耳迈耳方程:,1.9.3 光的散射,当光通过光学不均匀的物质时，从侧向可以看到光的现象 分类,规律： 对于半径r0.3 m的

28、粒子，波长在1m附近，瑞利定律的误差1; 当粒子半径r0.3 m时，采用米氏定律,衰减系数,散射系数,1.瑞利散射： 散射光强与入射光波长的四次方成反比，即 为光源中强度按波长的分布函数 应用：红光散射弱、穿透力强,2. 米氏散射:() 的经验公式表示为： v为能见度（km），为传输波长（nm）。q与能见度有关，较传统的观点认为它们之间的关系如下,3.非线性散射-拉曼散射是研究分子结构的一种很重要的方法 在非弹性碰撞过程中，光子和分子有能量交换，光子转移一部分能量给分子或者从分子中吸收一部分能量，从而使其频率发生改变 散射光谱中，除有与入射光频率0 相同的谱线外，还有频率为0 1 ,0 2,

29、. 的强度较弱的谱线,第一章重点,平面波、球面波的性质和数学表达 坡印亭矢量和光强，二者之间的关系 菲涅尔方程及菲涅尔公式的物理意义、图形特点 反射率和透射率 布儒斯特角、全内反射,1.1 一个平面电磁波可以表示为求（1）该电磁波的频率、波长、振幅和原点初相位为多少？ （2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？ （3）与电场相联系的磁场b的表达式,解：（1） 所以电磁波的频率 波长 振幅 a=2v/m 原点初相位 （2）波的传播方向沿z方向传播，电矢量沿y方向振动。 （3）由 知，磁场沿-x方向振动，且 所以,1.2 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为 ，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3

30、）玻璃的折射率,解： 所以 （1）光的频率 （2）波长 （3）玻璃的折射率n=c/v=1/0.65=1.53,1.5 在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度 h=0.01mm，折射率n=1.5，若光波的波长=500nm，试计 算插入玻璃片前后光束光程和位相的变化,解：光程变化=nh-h=(n-1)h=510-6m 平面电磁波在介质中传播的的波函数为 位相的变化为,1.6 地球表面每平方米接收到来自太阳光的能量约为133kw，若把太阳光看作是波长600nm的单色光，试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度,1.7 在离无线电反射机10km远的处飞行的一架飞机，收到功率密度为10w/m2的

31、信号。试计算：（1）在飞机上来自此信号的电场强度大小；（2）相应的磁场强度大小；（3）发射机的总功率,解: 已知p0= 10w/m2 r=10km (1)由 得此信号的电场强度大小为 （2）由 知相应的磁场强度大小为2.910-10t （3）发射机的总功率p=p04r21.26104w,1.8 沿空间k方向传播的平面波可以表示为 试求k方向的单位矢量k0,解：由平面波的波函数可知 kx=kcos=2 ky=kcos=3 kz=kcos=4 k2=22+32+42=29 所以k方向的单位矢量,1.16 证明(1)rs=-rs (2) rp=-rp (3)tsts =ts (4) tptp =tp

32、,1.19 证明光波以布儒斯特角入射到两介质界面时，tp=1/n,其中n=n2/n1,证明,光波以布儒斯特角入射到两介质界面时,1.21 光束垂直入射到45直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。若入射光强度为i0,问从棱镜透出光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收,解： 光束垂直入射 透射率为t1=n2/(n+1)20.96 因为 sinc=1/1.52 c45 所以 光束在直角棱镜的斜面上发生全反射 r2=1 全反光束经直角棱镜的直角边垂直透射出 其透射率t3=t1 i=i0t1r2t3 0.92i0,1.27 一直圆柱形光纤，光纤纤芯的折射率为n1,包层的折射率为n2,并且n1n2.（1）证明：（2）若n1=1.62,n2=