利用洛必达法则来处理全国高考中的恒成立问题

1、 - 1 - 利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题 河南省偃师高中高洪海 2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 一洛必达法则 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ?lim0xafx?及?lim0xagx?；(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且g(x)0；(3)? ?limxafxlgx?，聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 那么? ?limxafxgx?=? ?limxafxlgx?。法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下

2、列条件：(1)?lim0xfx?及?lim0xgx?；(2)0A?f，f(x) 和g(x)在?,A?与?,A?上可导，且g(x)0；(3)? ?limxfxlgx?，残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 那么? ?limxfxgx?=? ?limxfxlgx?。法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ?limxafx?及?limxagx?；(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且g(x)0；(3)? ?limxafxlgx?，酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 那么? ?limxafxgx?=? ?limxafxlgx?。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1

3、将上面公式中的xa，x换成x+，x-，xa?，xa?洛必达法则也成立。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 2洛必达法则可处理00 ，?，0?，1?，0?，00，?型。 3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00 ，?，0?，1?，0?，00，?型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 二高考题处理 1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax?。 （1） 若0a?，求()fx的单调区间； （2） 若当0x?时()0fx?，求a的取值

4、范围 原解：（1）0a?时，()1xfxex?，()1xfxe?. 当(,0)x?时，()0fx?；当(0,)x?时，()0fx?.故()fx在(,0)?单调减少，在(0,)?单调增加 （II）()12xfxeax? 由（I）知1xex?，当且仅当0x?时等号成立.故 ()2(12)fxxaxax?， 从而当120a? ，即12a?时，()0 (0)fxx?，而(0)0f?， 于是当0x?时，()0fx?. 由1(0)xexx?可得1(0)xexx?.从而当12a?时， ()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea?， 故当(0,ln2)xa?时，()0fx?，而(0)0f?，于是当

5、(0,ln2)xa?时，()0fx?. - 2 - 综合得a的取值范围为1,2? 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当0x?时，()0fx?，对任意实数a,均在()0fx?； 当0x?时，()0fx? 等价于21xxaex? 令? ?21xxgxex?(x0), 则322()xxxxgxeex?，令?220xxhxxxxee?，则?1xxhxxee?，?0xhxxe?， 知?hx?在?0,?上为增函数，?00hxh?；知?hx在?0,?上为增函数，?00hxh?；?0gx?，g(x)在?0,?上为增函数。 由洛必达法则知，200011222limliml

6、imxxxxxxxxeeex?，故12a? 综上，知a的取值范围为1,2?。 2（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()yfx?在点(1,(1)f处的切线方程为230xy?。 （）求a、b的值； （）如果当0x?，且1x? 时，ln()1xkfxxx?，求k的取值范围。 原解： （）221(ln)()(1)xxbxfxxx? 由于直线230xy?的斜率为12?，且过点(1,1) ，故(1)1,1(1),2ff?即 1,1,22bab?解得1a?，1b?。 （）由（）知ln1f()1xxxx?，所以 22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx?。 考虑函数()2lnh

7、xx? ?2(1)(1)kxx?(0)x? ，则22(1)(1)2()kxxhxx?。 （i）设0k?， 由222(1)(1)()kxxhxx?知，当1x?时，()0hx?，h（x）递减。而(1)0h?故当(0,1)x?时，()0hx? ，可得21()01hxx?； 当x?（1，+?）时，h（x）0 从而当x0,且x?1时，f（x）- （1ln?xx +xk）0，即f（x） 1ln?xx +xk. （ii）设0k0,故h（x）0, - 3 - 而h（1）=0，故当x?（1 ，k?11）时，h（x）0 ，可得211x?h（x）0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）0 ，可得211x

8、? h（x）0,与题设矛盾。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 综合得，k的取值范围为（-?，0 原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II）由题设可得，当0,1xx?时， k?1h?=0 ?hx在?0,?上为增函数 Q?1h=0 ?当(0,1)x?时，?0hx?，当x?（1，+?）时，?0hx? ?当(0,1)x?时，?0gx?，当x?（1，+?）时，?0gx? ?gx在?0,1上为减函数，在?1,?上为增函数 Q由洛必达法则知? ?2111ln1ln12121210221limlimlimxxxxxxgxxx? ?0k?，即k的取值范围为（-?，0 规律总结：对恒成立问

9、题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 从高考题看含参不等式恒成立问题的解题策略 海口一中操冬生 已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和

10、提炼，供大家参考。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 一分离参数，转化为求函数的最值 对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 例1（2010年全国卷1理）已知函数()(1)ln1fxxxx? （）若2()1xfxxax?，求a的取值范围 （）证明:(1)()0xfx? 解析： （）11()ln1lnxfxxxxx?Q(0)x?()ln1xfxxx?，由2()1xfxxax? - 4 - 得lnaxx?，令()lngxxx?，于是，问题化为求函数()gx的最大值。1()1gxx?Q，当01x?时，()0gx?；当1x?时

11、，()0gx?。?当1x?时，()gx有最大值，max()(1)1gxg?1a? （）略。 评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()fxga?恒成立?max()()fxga?；（2）()()fxga?恒成立?max()()fxga?；（3）()()fxga?恒成立?min()()fxga?。（4）()()fxga?恒成立?min()()fxga?。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 二分离参数，转化为求函数的确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：铙誅卧泻

12、噦圣骋贶頂廡。 函数()yfx?()xD?的上确界为min(),MfxMxD?，记作M上；函数()yfx?()xD?的下确界为max(),MfxMxD?，记作M下。于是，有如下结论：（1）若()fx无最大值，而有上确界，这时要使()()fxga?恒成立，只需M上()ga?。（2）若()fx无最小值，而有下确界M下，这时要使()()fxga?恒成立，只需M下()ga?。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 例2（2010年湖南卷理）已知函数2()fxxbxc?，(,)bcR?对任意的xR?，恒有()()fxfx? （）证明：当0x?时，2()()fxxc? （）若对满足题设条件的任意b，c，不等式22()()

13、()fcfbMcb?恒成立，求M的最小值。 解析：（）略。 （）由()()fxfx?即2(2)0xbxcb?恒成立，得2(2)4()0bcb? 从而2212144bbcb? ，等号当且仅当214b?，即2b?时成立 （1）当cb? 时，22()()2fcfbcbMcbbc?，令btc?，则11t? ，则2121cbbct? 因为函数1()21gtt?（11t? ）的最大值不存在，但易知其上确界为3232M? （2）当cb?2?时，()()8fcfb?或0，220cb? ，从而223()()()2fcfbcb?恒成立 综合（1）（2）得M的最小值为32 例3（2010年全国卷理）设函数2()1x

14、fxexax? （）若0a?，求()fx的单调区间。 （）若0x?时，()0fx?，求a的取值范围。 解析：（）由()0fx?对所有的0x?成立，可得 （1）当0x?时，aR?； （2）当0x? 时，21xexax? ，设21()xexgxx?，问题转化为求()gx 的最小值或下确界。22422()xxxexexxgxx?，令22()22xxhxxexexx?，因为2()222xxhxxeex?，0x?，又()hx的二阶导数2()222xxxhxxexee?，()hx的三阶导数(3)2()(4)0xhxexx?，所以()hx是增函数，故()(0)0hxh?，所以()hx增函数，故()(0)0h

15、xh?，所以()hx是增函数，故()(0)0hxh?，从而()0gx?，于是()gx在(0,)?上单调递增，故()gx无最小值，此时，由于(0)g无意义，但运用极限知识可得0()lim()xgxgx?。由洛必达法则可得 ：20000111lim()limlimlim222xxxxxxxexeegxxx?故0x? 时，1()2gx?。因而12a?，综合（1）（2） - 5 - 知a 取值范围为1,2?。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求0lim()xgx?超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该

16、探求这类问题的另一种更为一般地思考途径。坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 三从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3，我们可以把含参不等式整理成(,)0fxa?或(,)0fxa?的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解题过程中常常要用到如下结论：蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 （1）如果(,)fxa有最小值()ga，则(,)0fxa?恒成立?()0ga?，(,)0fxa?恒成立?()0ga?； （2）如果(,)fxa有最大值()ga，则(,)0fxa?恒成立?()0ga?，(,)0fxa?恒成立?()0ga?。

17、例4（2010年天津文）已知函数323()12fxaxx?()xR?其中0a? （）若1a?，求曲线()yfx?在点(2(2)f处的切线方程， （）若在区间11,22?上，()0fx?恒成立，求a的取值范围 解析：（）略。 （）2()33fxaxx?Q，令()0fx?，解得0x? 或1xa? （1）若02a? ，则112a?，于是当102x?时，()0fx?；当102x?时，()0fx?。所以当0x?时，()fx 有极大值。于是11,22x?时，()0fx? 等价于1()021()02ff?解得02a? （2）若2a? ，则112a? ，于是当102x?时，()0fx?；当10xa?时，()0

18、fx?， 当112xa?时，()0fx?。所以，当0x?时，()fx 有最大值，当1xa?时，()fx 有最小值。于是11,22x?时，()0fx? 等价于1()021()0ffa? 解得252a? 或52a?，因此，25a? 综合（1）（2）得05a? 例5：内容同例3 解析：（）略 （）()12xfxeax?，由方程()0fx?不能求出极值点。显然，用例4的解法是行不通的，但我们注意到(0)0f?，故问题转化为()(0)fxf?在0x?时恒成立，即函数()fx在?0,?为不减函数，于是可通过求导判断()fx的单调性，再求出使()(0)fxf?成立的条件。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 由（）有1x

19、ex?，当且仅当0x?时成立，故()122(12)xfxeaxxaxax?，而当120a? ，即12a?时()0fx?(0)x? ()fx?是?0,?上的不减函数，()(0)0fxf? 当12a?时，由1xex?0x?可得1xex? ()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea? - 6 - 故当(0,ln2)xa?时，()0fx?，而(0)0f?，于是当(0,ln2)xa?时 ()0fx?综合得 12a? 评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住(0)0f?这一重要的解题信息，将问题转化为 () (0)fxf? 在0x?时恒成立，通过研究函数() fx在

20、0,)? 上是不减函数应满足的条件，进而求出a的范围。隐含条件(0)0f ?对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 从以上高考题的解法可知：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、 最值（极 值）等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。 洛必达法则 一.微分学中值定理 拉格朗日中值

21、定理 如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c， 使即 成立。 这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。 罗尔定理 若在闭区间a,b上连续，在开区间 (a,b)内可导，且，那末在(a,b) 内至少有一点c，使成立。 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理柯西中值定理柯西中值定理 如果 函数，在闭区间a，b上连续，在开区间(a ，b)内可导，且0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。 在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(xf、)(xF都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限)()(limxFxf可能存在，也可能不

22、存在通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或?型。例如，xxxsinlim0?就是00型的未定式；而极限xxxlnlim?就是?型的未定式我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用商的极限等于极限的商这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则.本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。 一、00型未定式 定理1 设函数)(xf、)(xF

23、满足下列条件： （1）0)( lim0?xfxx，0)(lim0?x Fxx； （2）)(xf与)( xF在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(?xF； （3）)()(lim0xFxfxx?存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim0xFxfxx?存在时，)()(lim0xFxfxx?也存在且等于)()(lim0xFxfxx?；当)()(lim0xFxfxx?为无穷大)()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx? - 7 - 时，)()(lim0xFxfxx?也是无穷大 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（HL?ospita

24、l）法则.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 例1 计算极限0e1limxxx?. 解该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得 0e1limxxx? ?0elim11xx?. 例2 计算极限0sinlimsinxaxbx? 解该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得 00sincoslimlimsincosxxaxaaxabxbbxb? 注若(),()fxgx?仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即 ()()()limlimlim()()()xaxaxafxfxfxgxgxgx?L 例3 计算极限33221216lim248xxxxxx? 解由洛必达法则，得 33221216lim248xxxxxx? ?222312lim344xxxx? ?263lim642xxx? 例4 计算极限arctan2lim1xxx? 解arctan2lim1xxx? ?2211lim1xxx? ?22lim11xxx? 二、?型未定式 定理2设函数)(xf、)(xF满足下列条件： （1）?)(lim0xfxx，?)(lim0xFxx； （2）)(xf与)(xF在0x的某一去心邻域内可导，且0)(?xF； （3 ）)()(lim0xFxfxx?存在（或为无穷大），则 注：上述关于0xx? 时未定式? 型的洛必达法则，对于?x