利用导数求最值

1、 利用导数求最值 导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。 一、函数的最大值与最小值 在闭区间ba,上连续，在（ba,）内可导，)(xf在ba,上求最大值与最小值的步骤：先求 )(xf在（ba,）内的极值；再将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 求可导函数极值的步骤： 首先：求导数)(xf；再求导数

2、)(xf=0的根；最后：检查)(xf在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(xf在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(xf在这个根处取极小值。 二、利用导数求最值 例1、设0?x ，求32)1(32)1(211ln?xxxx的最小值。 解：设32)1(32)1(211ln)(?xxxxxf，则 2222)1(2)1()1(1)1(2)1(11)(?xxxxxxxxxf ?2222212)1()1(21)1()1(211)1(xxxxxxxxxx .12)1(23xxx? 令0)(?xf，由0?x，解得1?x。列表： x （0，1） 1 ),1(? )(xf? 0 )(xf 最小值 由

3、表可知，当1?x时，)(xf有最小值1。 评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。当函数f（x）为连续函数且在?ba,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f（x）有极大（小）值， 则可以判定f（x）在该点处取得最大（小）值，这里（a，b）也可以是无穷区间。 练习1：已知a 0，函数f（x） （x2 2ax）ex，当x为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论； 三、利用导数求最值的运用 （一）求函数的值域 例2 、求函数xxxxf?4325)(的值域 解：由? ?0 403xx 得)(

4、xf的定义域为43?x。 因为0421315)4()32()5()(?xxxxxx fy，所以)(xf在?4,3?上 单调递增，故当3?x时 ，4,715?xy最小时，7220?最大y。所以值域为?7220,715?。 评注：求函数的值域转化为求)(xf在闭区间?4, 3?上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。 练习2：已知x ，y为正实数，且满足关系式04222?yxx，求xy的最大值。 （二）利用最值求参数的值（或范围） 例3、设132? a ，函数)11(23)(23?xbaxxxf的最大值为1，最小值为26?，求a，b的值。 解：)(333)(2axxa

5、xxxf?，当x变化时，)(),(xfxf变化情况列表如下： x 1 （1，0） 0 （0，a） a （a，1） 1 )(xf + 0 0 + )(xf ba?231 b ba?23 ba?231 当x=0时，f（x）取极大值b，而)()0(aff?，)1()1(ff?，故需比较f（0）与f（1）的大小。 0123)1()0(?aff，f（x）最大值为f（0）=b=1。 又0)2()1(21)23(21)()1(23?aaaaaff。 )1()(min?fxf ，2623123?aba ，1,36?ba。 评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列

6、表解题一目了然，从而确定出a，b的值。 （三）利用最值研究恒成立问题 例4、设函数,5x2x21x)x(f23?若对于任意2,1x?都有m)x(f?成立，求实数m的取值范围。 解： ,2xx3)x(f2?令,0)x(f?得32x?或1x?。 当32x?或1x?时，,0)x(f?)x(fy?在)32,(? 和),1(? 上为增函数， 在)1,32( ?上为减函数，)x(f 在32x?处有极大值，在1x?处有极小值。 极大值为27225)32(f?, 而7)2(f?, )x(f在2,1 ?上的最大值为7。 若对于任意x2,1 ?都有m)x(f?成立, 得m的范围 7m?。 评注：利用最值可以研究一

7、类恒成立问题，一般地，f(x)a对xR恒成立? f(x)的最小值a成立；f(x)a对xR恒成立?f(x)的最大值a成立。 练习2：已知函数32()fxxaxbxc? 在23x?与x1时都取得极值。求a、b的值；若对21,2,()xfxc?p恒成立，求c的取值范围。 四、利用最值证明不等式 例5、已知)0()(3?adcxaxxf是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。（1）求 f(x)的单调区间和极大值；（2）对任意)1,1(,21?xx，求证：不等式4)()(21?xfxf恒成立。 解：（1）f(x)是奇函数，Rx?， f(0)=0, d=0 因此caxxfcxaxxf?233)(

8、,)( 由条件f(1)=-2为f(x)的极值，f,(1)=0， ?032caca，解之得：a=1，c=-3 则33)(,3)(23?xxfxxxf， 令0)(?xf，得1?x f(x)的单调减区间是-1，1，f(x)的单调增区间是?，和11， 当x=-1时，f(x)有极大值2。 （2）证明：由（1）知f(x)在-1，1上是减函数，且f(x)在-1，1上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2 对任意)1,1(,21?xx， 恒有4)1()1()()(21?ffxfxf 评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；

9、某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。 附练习答案： 1、解：（1）对函数f（x）求导数，得f（x）（x22ax）ex+（2x2a）exx2+2（1-a）x-2aex。令f（x）0，得x2+2（1-a） x-2aex0， 从而x2+2（1a）x 2a0。解得 2111aax? 22 11aa x?，其中x1x2。 当x变化时，f（x），f（x ）的变化如下表： x （ ，x1 ） x1 （ x1 ， x2） x2 （x2 ，+） f （x） + 0 0 + f （x） 极大值 极小值x ?23,0 23 2,23? 2 y/ + 0 当f（x）在xx1处取到极大值，在xx2处取到极小值. 当a0时，x11，x2 0，f（x）在（x1，x2）为减函数，在（x2，+）为增函数. 而当x0时，f（x）x（x2a）ex0；当x0时，f（x）0. 所以当211aax?时，f（x）取得最小值。 2、解：由题意，)20(2212?xxxxxy，设f（x）)20(2212?xxxx。 当20?x时，222)23()(xxxxxf?，令0)(?xf，得23?x或x=0（舍去）。 当x在?2,0内变化时，y/，y有如下变化情况：y极大0 由上表可