推理与证明(2010.2.22).ppt

1、高中课程新学案,推理与证明,山东省临沂一中高三数学组,推理,推理与证明,合情推理,证明,演绎推理,类比推理,归纳推理,三段论,数学归纳法,分析法,反证法,综合法,直接证明,间接证明,由因导果,猜想,大前提、小前提、结论,验初值、证递推、结论,反设、归谬、定论,执果索因,从具体问 题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,归纳推理,类比推理,1.合情推理主要包括_和_,合情推理的过程,1)归纳推理：由某类事物的_具有某些特征,推出该类事物的_都具有这些特征的推理,或者由_概括出_的推理, 称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由_到_、由个别到_的推理. 归纳推理的基本模式:_

2、,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,部分,整体,一般,结论:_,dM，d也具有某属性,a, b, cM且a, b, c具有某属性,2)类比推理：由_具有某些类似特征和其中_的某些已知特征，推出_也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比),简言之，类比推理是由_的推理,两类对象,一类对象,另一类对象,特殊到特殊,a, b, c, d与a, b, c, d相似或相同,类比推理的基本模式:A:具有属性a, b, c, d,B:_,具有属性a, b, c,结论:B具有属性d,从_的原理出发,推出某个_的结论,我们把这种推理称为演绎推理. 简言之，演绎推理是由_到_的推理,一般性,一般,特殊,特

3、殊情况下,2.演绎推理,1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断,2)“三段论”可以表示为 大前提：M是P； 小前提：S是M； 结论：S是P,3)数学问题的证明主要通过演绎推理来进行,3.综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为,综合法推证过程,由因导果,4.分析法,一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把

4、要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止.这种证明的方法叫做分析法(analytical method,分析法又叫逆推证法或执果索因法,用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为,QP1,P1 P2,P2 P3,得到一个明显 成立的条件,1)用反证法证明命题的一般步骤是什么,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设归谬存真,2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些,5.反证法是一种常用的间接证明方法,3)适宜使用反证法的情况: 结论以否定形式出现； 结论以“至多-,” ,“至少-” 形式出现；

5、唯一性、存在性问题; 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题,正难则反,1)归纳法 由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法,一般结论,完全,不完全,6数学归纳法,2)数学归纳法,设Pn是一个与正整数n相关的命题集合，如果证明起始命题P1(或P0)成立；在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立,数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法,归纳奠基)证明当n取第一个值_时,命题成立. (归纳递推)假设_(kn0, kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立. 只要完成

6、这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,先归纳推理(依据特殊情形)猜想出一般结论,再用数学归纳法证明猜想结论的正确性.一般地,数学研究与发现往往包括两个要素-发现结论与证明结论(两者通常交织在一起),发现结论往往通过合情推理,结论的正确性需要通过逻辑证明来确认,4) “归纳猜想证明” 问题的证法,3)数学归纳法证题的步骤,7.数学归纳法的应用,1）恒等式,3）不等式,6）三角方面,2）整除性,5）几何方面,4）计算、猜想、证明,对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数 学 命 题, 我们常采用数学归纳法来证明它们的正确性,1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,它适用于与正整数

7、有关的数学命题的证明,2)两个步骤,一个结论,缺一不可,否则结论不能成立,3)在证明递推时,必须使用归纳假设,必须进行恒等变形,递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉,例1(2010山东)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)() Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x,由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数 因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数， 故g(x)g(x,D,题型一,归纳推理,题后拓展】归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物

8、发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠,所以命题成立,4】考察下列一组不等式： 23+53225+252, 24+54235+253, 25+552352+2253,. 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是_,题型二,类比推理,1类比可以是形式上的类比，用于发现新的结论；也可以是方法上的类比，用于寻找求解途径 2常见的类比有平面空间；等差数列等比数列；实数复数；向量数量积实数积等类比是一种合情推理，结论不一定为真，需验

9、证或证明 3类比推理能有效地考查考生分析问题和解决问题的能力，是高考中常考题型因此，在平时学习中要加强训练,1】(2009浙江)设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4, S8S4, S12S8, S16S12成等差数列.类比以上结论,有：设等比数列bn的前n项积为Tn, 则,此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力,成等比数列,题型二,类比推理,7,B,C,C,14】凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1, x2, xn, 有,已知函数 y=sin x在区间(0,)上是凸

10、函数, 则在ABC中, sinA+sinB+sinC的最大值为_,解: f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数， 且A、B、C(0,假设当n=k时不等式成立, 即,成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时,不等式也成立,由可得， 时不等式成立,1】对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”,推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和_”( ) A.为定值 B.为变数 C.有时为定值，有时为变数 D.为与正四面体无关的常数,A,2】推理“矩形是平行四边形，正方形是平行四边形，正方形是矩形” 中的小前提是( ) A. B. C. D.,C,反馈演练,例29 将参加夏令营的6

11、00名学生编号为：001，002，600. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为 A. 26 , 16 , 8 B. 25 , 17 , 8 C. 25 , 16 , 9 D. 24 , 17 , 9,依题意，间隔为600 50=12，故抽到的号码为12k+3(k=0,1,2, ,49). 解不等式12k+3300，得0 k 24.7，故第营区应抽取25人. 同理，通过解不等式，第营区应抽取17人；第营区应抽取8人，正确选项为

12、B,例30 某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q( pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 (1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2) 求p，q的 值； (3) 求数学期望E,设“事件 Ai表示“该生第 i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3 .由题意可知 (1) “该生至少有一门课程取得优异成绩”与“=0 ”是对立事件，故该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是,有志者，事竟成！ Where there is a will, There is a way,用微笑面对高考,用知识酿造未来,37,欢迎各位专家批评指正,我们有这样的经验，也有这样的决心：能够帮助每一位渴望成功的考生在未来的高考实现自己的理想！同时也要清醒的认识到高考是考生自己的事情，备考指导教师的主要任务就是整合资源、有针对性地帮助考生有效地提高成绩。我们既不能包办代替，也不能放弃自己教练的职责。希望老师们以强烈的责任感、饱满的热情、科学有效的备考方法带领考生投入到高考总复习之中，进入备考的新境界：愉快不轻松、高效不盲目。数学是一门遗憾的艺术，只有做到