【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

1、三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一 知识点总结1）O是 ABC 的重心OAOBOC 0;S BOCS AOCS AOB1S ABC若 O是 ABC 的重心，则3故 OAOBOC0 ;uuuruuuruuuruuurG为 ABC的重心.PG1 (PAPBPC )32）O是 ABC 的垂心OAOBOB OCOC OA;若 O是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心，则 S BOC：SAOC：S AOBtan A：tan B tan C故 tan A

2、OAtan BOBtan COC 03）O是 ABC 的外心222|OA | |OB | |OC |(或OAOBOC )若 O是 ABC 的外心：S AOC：S AOBsin：AOC：sin2A : sin2B : sin 2C则S BOCBOC sinsin AOB故 sin 2A OAsin 2BOBsin 2C OC04）O是内心ABC 的充要条件是ABACBABC)CACB0OA () OB(| BA|BC |OC ()|AB |AC|CA |CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB ,BC,CA的单位向量为 e1 , e2 ,e3 ，则刚才ABC 内心的充要条件可以写成：O

3、A ( e1e 3 )OB( e 1e2 )OC ( e2 e 3 ) 0O是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOAbOBcOC0若 O是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： SAOBa： b： cA故aOAbOBcOC0或 sin A OAsin BOBsin C OC 0 ;e1uuuruuuruuur uuuruuuruuurrPABC 的内心 ;|AB|PC|BC |PA|CA | PB0uuuruuur向量 (ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分uuuruuur|AB|AC|B线所在直线 ) ；O 是e2C二 范例( 一) 将平面向量与

4、三角形内心结合考查例 1O是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满P足OP OA( ABAC )，0,则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（）ABAC（A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心ABuuuruuuruuur解析：因为是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为e1和 e2 ，又ABOP OA AP ，则原式可化为 AP(e1e2 ) ，由菱形的基本性质知 AP平分BAC ，那么在 ABC中， AP平分BAC ，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先 AB 是什么？没见过！想想，一个非零AB向量除以它的模不就

5、是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。( 二 ) 将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2H 是 ABC所在平面内任一点，HA HBHB HCHCHA点 H 是 ABC的垂心 .由HA HBHBHCHB (HCHA)0HBAC0HBAC,同理 HCAB ， HABC . 故 H 是 ABC的垂心 .（反之亦然（证略）例 3.( 湖南 )P 是 ABC所在平面上一点，若PA PBPBPCPCPA ，则 P 是 ABC的（ D）A外心B内心C重心D垂心

6、解析:由 PA PBPBPC得PA PBPB PC0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0则 PBCA,同理 PABC, PCAB所以 P为ABC的垂心 .故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算， 及“数量积为零， 则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识 . 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。222222变式： 若 H 为 ABC所在平面内一点，且 HABCHBCA HCAB则点 H是 ABC的垂心2222证明:HAHBCABC(HAHB ) ? BA(CACB) ? BA得(HAHBCACB) ?BA0即(HC

7、HC)?BA0AHBC图 6ABHC同理ACHB，BCHA故 H 是 ABC的垂心( 三 ) 将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 G是 ABC所在平面内一点， GA GB GC =0 证明 作图如右，图中 GB GC GE连结 BE和 CE，则 CE=GB， BE=GC BGCE为平行四边形为 BC边上的中线 .点 G是 ABC的重心 . D是 BC的中点， AD将 GBGCGE 代入 GAGBGC =0，得 GAEG =0GAGE2GD ，故 G是 ABC的重心 . （反之亦然（证略）例 P 是 ABC所在平面内任一点.G是 ABC的重心1(PAPBPC) .5PG3证明PGP

8、AAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG ) (PAPBPC )A G是 ABC的重心 GAGBGC =0AGBGCG =0，即 3PGPA PBPCO由此可得 PG1(PAPBPC) . （反之亦然（证略）BEC3uuuruuuruuurr例 6 若 O 为 ABC 内一点，OAOBOC0 ，则O 是 ABC 的（）DA内心uuuruuurruuurB 外心C垂心D重心uuuruuuruuurOB、 OC 为相邻两边构作平行四边形，则解析：由 OAOBOC0得 OBOCOA ，如图以uuuruuuruuuruuur1 uuur2 OE ，同理可证其它两边上的这个性质，OBOCOD ，由平行

9、四边形性质知 OEOD ，OA所以是重心，选 D。2点评：本题需要扎实的平面几何知识， 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为2 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形1的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。uuuruuuruuur0 变式：已知 D，E， F 分别为 ABC 的边 BC， AC，AB 的中点则 ADBECF证明：AD3GA2BE3 GB2CF3GC2ADBECF3 (GAGBGC )2GAGBGC 0uuuruuuruuur0 ADBECF变式引申： 如图 4，平行四边形 ABCD 的中心为 O ， P 为

10、该平面上任意一点，uuur1uuuruuuruuuruuur则 PO( PAPBPCPD) 4uuur1 uuuruuuruuur1 uuuruuur证明： Q PO( PAPC)，PO(PBPD) ，22uuur1 uuuruuuruuuruuurPO(PAPBPCPD) 4点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则 （2）uuuruuuruuuruuur0若 P 与 O 重合，则上式变 OAOBOCOD( 四) 将平面向量与三角形外心结合考查uuuruuuruuur）例 7若O 为 ABC内一点， OAOBOC ，则O 是 ABC 的（A内心B 外

11、心C 垂心D 重心解析：由向量模的定义知O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心，选 B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。( 五 ) 将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 +OP2 + OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1 ，求证P1P2P3 是正三角形 . （数学第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题）证明由已知 OP1 +OP2 =- OP3，两边平方得 OP1 OP2 =1 ，2同理 OP2 OP3 = OP3 OP1=1 ，2| P1

12、P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |=3 ，从而 P1 P2P3 是正三角形 .反之，若点 O是正三角形 P1P2P3 的中心，则显然有 OP1 +OP2+ OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |.即 O是 ABC所在平面内一点，OP1 +OP2 +OP3 =0 且| OP1 |=|1P2P3的中心 .OP2 |=| OP3 |点 O是正 P例 9在ABC中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。C(x【证明】：以 A 为原点，AB所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。 设 A(0,

13、0) 、B（x1,0 ）、,y ) ，D、E、F 分别为 AB、 BC、AC的中点，则有：22D（ x 1 ,0) 、 E ( x 1x 2 , y 2 )、 F ( x 2 , y 2 )y2222 2由题设可设 Q（ x1, y 4 ) , G ( x1C(x 2,y2), y 3 )、 H (x 2x 2 , y 2 )233uuuuruuurAH，(x 2 , y 4 ) QFuuurBC(x 2 x1 , y 2 )uuuuruuurQ AHBCuuuuruuurAH ?BCx 2 ( x 2y 4x 2 (x 2x 1 )y 2uuuruuuurQ QFACuuuruuuur( x

14、 2QF ?ACx 22y 3x 2 ( x 2x 1 )2 y 2x2x1,y 2y 3 )FH(22E2GQxx 1)y 2 y 40ADB(x1 ,0x 1 ) y 2( y 2y 3 ) 022y 22uuuurx 1 , y 42x 2x 1 ,3x 2 ( x 2x 1 )y 2 )QH(x 2y 3 )（222y 22uuur( x 2x 1x 1 , y 23 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 ( x 2x 1 )y 2 )QGy323632y 22( 2x 2x 1 ,3x 2 (x 2x 1 )y 2 )1 ( 2x 22x 1 ,3x 2 ( x 2x 1 )y

15、2 )66y2632y 221 uuuur= QHuuuur 3 uuur即 QH =3QG ，故 Q、G、H 三点共线，且 QG：GH=1： 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例 10若O、H分别是 ABC的外心和垂心 .求证OHOA OB OC.证明若 ABC的垂心为 H，外心为 O，如图 .连BO并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD. ADAB ，CD BC . 又垂心为 H，

16、 AH BC ，CHAB ， AHCD，CH AD，四边形 AHCD为平行四边形， AH DC DO OC，故 OH OA AH OA OB OC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（ 1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线” ；（ 2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 . 例 11 设 O、 G、 H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心 .求证OG1 OH3证明按重心定理G是 ABC的重心 OG1 (OA OB OC)3按

17、垂心定理OHOA OBOC由此可得OG1OH .3三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用例 1 ：（ 2003年全国高考题）O 是平面上一定点，A、 B、 C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP OAABAC) ，0,，则动点 P 的轨迹一定通过ABC的（）(ABAC（ A）外心（ B）内心AFEC（ C）重心（ D）垂心TB事实上如图设AEAB , AFAC 都是单位向量ABAC易知四边形AETF是菱形故选答案B例 2：（ 2005 年北京市东城区高三模拟题）O 为 ABC所在平面内一点，如果OA OBOB OCOC OA ，则 O必为 ABC的（）（ A）外心（ B）内心（C）

18、重心（ D）垂心事实上 OA OBOB OC(OAOC) OB0CA OB0OBCA故选答案D例 3：已知 O为三角形ABC所在平面内一点，且满足2BC22CA222OAOBOCAB ，则点 O是三角形 ABC的（）（ A）外心（ B）内心（C）重心（ D）垂心事实上由条件可推出OA OBOB OCOC OA故选答案 D例 4：设 O 是平面上一定点，A、 B、 C 是平面上不共线的三点，动点 P满足 OP OA(ABAC0,，则动点 P 的轨迹一定通过ABC的（）) ，AB cosBAC cosC（ A）外心（ B）内心（C）重心（ D）垂心事实上(ABAC( BCBC) 0故选答案 D)?

19、BCAB cosB AC cosC例 5： 2005年全国（I）卷第15题 “ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为 H ，uuuruuuruuuruuurOHm(OA OBOC ) ，则实数 m =_”先解决该题：uuuruuurDCBC作直经 BD ，连 DA ，DC , 有 OBOD ，DA AB ，AHBC，CHAB，故 CH / DA， AH / DCuuuruuur故 AHCD 是平行四边形，进而 AHDC ，又uuuruuuruuuruuuruuurDCOC ODOCOBuuuruuuruuuruuuruuur OHOAAHOADC图 3uuuruuuruuuruuur1

20、故 OHOAOBOC ，所以 m评注：外心的向量表示可以完善为：若 O 为uuuruuuruuuruuurABC 的外心， H 为垂心，则 OHOAOBOC 。其逆命题也成立。例 6已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 +OP3 =0， | OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1 ，求证： P1P2P3 是正三角形 . （数学第一册（下） ，复习参考题五B组第 6 题）证明：由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ，两边平方得OP1 OP2 =1 ，2同理OP2 OP3 = OP3 OP1 =1 ， | P1 P2 |=| P2 P3 |=| P3

21、P1 |= 3 ，从而 P1P2P3 是正三角形 .2反之，若点O 是正三角形 P1P2P3 的中心，则显然有OP1 + OP2 + OP3 =0 且 | OP1 |=|OP2 |=| OP3 | ，即 O 是 ABC所在平面内一点，OP1 + OP2 + OP3 =0 且 | OP1 |=|OP2 |=|OP3 |点 O是正 P1P2P3 的中心 .四、练习uuur1 1 uuur1 uuuruuur1已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， O是三角形 ABC的重心，动点 P 满足 OP =3( 2 OA +2 OB+2OC ),则点P 一定为三角形 ABC的(BA AB边中线的中点)非重

22、心C 重心D AB边的中点B AB边中线的三等分点(.uuuruuuruuuur) .分析：取 AB边的中点 M，则 OAOB2OM ，uuur1 1 uuur1 uuuruuuruuuruuuuruuuur由OP= (OA +OB +2OC ) 可得 3OP3OM 2MC ，3 22uuur2 uuuur MPMC ，即点 P 为三角形中 AB边上的中线的一个三等分点，且点 P 不过重心。3及一点 满足关系式： uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2ABC在同一个平面上有ABC，则为2OA+ BC=OB+CA OC AB的( D)A. 外心B. 内心C重心D

23、垂心uuuruuuruuurr3已知 ABC的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足： PAPBPC0，则 P为 ABC的( C )A. 外心B. 内心C重心D垂心已知 O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：4uuuruuuruuuruuurOPOA( ABAC ) ，则 P 的轨迹一定通过 ABC的( C )A. 外心B. 内心C. 重心D垂心5已知 ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且满足：角形的(D)A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuurPA? PCPA? PBPB ?PC0 ，则 P 点为三6已知 ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点uuuruuuruuur，则 P 点为三角P 满足： a PAb PBc ? PC 0形的(B)A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur 2uuur 2uuuruuurP 点一定通过 ABC的B在三角形 ABC中，动点 P满足： CACB2 AB ?CP，则)7(A. 外心B. 内心C.重心D. 垂心uuuruuuruuuruuur