自考线性代数特征值与特征向量PPT精选文档

1、1,第五章 特征值与特征向量,2,5.1 方阵的特征值与特征向量,3,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ,4,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量,5,例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量,

2、6,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | AlE | = 0,7,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlE | = 0 特征多项式| AlE ,8,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 +

3、 + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A,9,例1】求矩阵 的特征值和特征向量 【解】A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系,k p1（k 0）就是对应的特征向量,10,例2】求矩阵 的特征值和特征向量 A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系,k p2（k 0）就是对应的特征向量,11,例3】求矩阵 的特征值和特征向量 【解】 所以 A 的特征值为 l1 = 1，l2

4、 = l3 = 2,12,例4】求矩阵 的特征值和特征向量 当 l1 = 1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0 解得基础解系,k p1（k 0）就是对应的特征向量,13,例5】求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A2E) x = 0 解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量,14,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + +

5、 ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组,15,例6：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值 结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p,16,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）

6、 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A,17,若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值,18,例7】设3 阶方阵 A 的特征值为1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 【解】 A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A

7、1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1) 2 = 2 设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量令 则,19,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关 例：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征 向量依次为 p1 和 p2， 证明 p1 + p2不是 A 的特征向量,20,当|2En-A|=0时，根据特征值的定义知道，2就是A的特征值。当|En+A|=0时，因为|-En-A|= (-1)n|En

8、+A|= 0,所以-1是A的特征值,例8,21,练习87,设A为n阶矩阵，且已知 ，则A必有一个特征值为（） AB CD,A,22,练习88,已知 ，求其特征值与特征向量,23,特征值 ， 对于 ，解齐次线性方程组： 基础解系为 ，对应的全部特征向量为 （ 是任意非零常数,解,24,对于 ，解齐次线性方程组： 基础解系为 ，对应的全部特征向量为 （ 是任意非零常数,25,练习89,设A为n阶矩阵，k为正整数，且Ak=O，证明A的特征值均为0,证明】设是矩阵A的特征值，且存在向量0，使得 A=由此可得Ak=k又因Ak=O，故Ak=0从而k=0，而0，所以k=0，即=0因此A的特征值均为0,26,

9、练习90,设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=,6,A|=123=6,27,5.2 方阵的相似变换,28,定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P 1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵,29,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同 证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP

10、P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |AlE | |P | = |AlE ,30,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似,31,证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B ，则P 1AkP = Bk . 设j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c

11、0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E = j (B),32,定理：设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, , ln )，则l1, l2, , ln 就 是 L 的 n 个特征值 证明： 故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 个特征值,33,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B

12、的 多项式 j (B) 相似,34,若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则 从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A). 若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵,35,可逆矩阵 P ，满足 P 1AP = L （对角阵,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n,A 的 特征值,对应的 特征向量,其中,定理4： n 阶矩阵 A 和对角阵相似 当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量,推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角阵相似,36,设 ，求 ， 为任意正整数,

13、例9,解】先求出A的特征值和特征向量,属于特征值 的特征向量满足 ，可取特征向量,属于特征值 的特征向量满足 ，可取特征向量,37,将这两个线性无关的特征向量拼成可逆矩阵则有矩阵等式,其中 是以A的特征值为对角元的对角矩阵,据此就可以求出,38,练习91,与矩阵 相似的对角矩阵为 _,解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似A的特征值为1和3，与A相似的对角矩阵为,39,练习92,与矩阵A= 相似的是（ ） A B CD,解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似,A,40,练习93,设三阶方阵A的特征值分别为 ，且B与A相似，则 _,16,解】定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似

14、，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同,41,练习94,已知矩阵A与对角矩阵D= 相似，则 （ ） AA BDCED E,解】存在 ，使，,C,42,练习95,19已知3阶矩阵 的特征值为 ，且矩阵 与 相似，则 _,解】定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同 的特征值为,4,43,5.3 向量内积和正交矩阵,44,向量的内积,定义：设有n 维向量 令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ， 则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积 说明： 内积是两个向量之间的一种运算

15、，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时，x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y,45,定义：设有 n 维向量 令 则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积,向量的内积,46,练习96,设向量 ， ， 则向量 ， 的内积=_,10,解:内积为,47,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0

16、（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,48,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x,49,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y

17、, z,50,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0,51,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x,

18、 y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,52,回顾：线段的长度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1, x2,O,P,O,若令 x = (x1, x2)T，则,若令 x = (x1, x2, x3)T，则,x, x = x12 + x22 + + xn2 0,53,向量的长度,定义：令 称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 | x | = 1时，称

19、x 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： | l x | = | l | | x ,54,向量的长度,定义：令 称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 | x | = 1时，称 x 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x 0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： | l x | = | l | | x | 三角不等式： | x + y | | x | + | y ,55,56,向量的正交性,施

20、瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y = | x | | y | 当 x 0 且 y 0 时， 定义：当 x 0 且 y 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角,57,当 x, y = 0，称向量 x 和 y 正交 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交,58,定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组 定理：若 n 维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, , ar 线性无关 证明：设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量），那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a

21、2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2 从而 k1 = 0 同理可证，k2 = k3 = = kr =0 综上所述， a1, a2, , ar 线性无关,59,例10】已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交 分析：显然a1a2 【解】设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3 ， a2a3 ，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x

22、1 2 x2 + x3 = 0,60,得 从而有基础解系 ，令,61,练习97,下列向量中与 正交的向量是（） A B C D,D,解:内积为零的两个向量正交,62,练习98,已知向量 与向量 正交，则 _,2,解:内积为零的两个向量正交,63,练习99,已知向量 正交，则 _,解:内积为零的两个向量正交,64,练习100,已知向量 与向量 正交，则 _,1,解:内积为零的两个向量正交,65,练习101,已知向量 与向量 正交，则 ( ) A2 B0 C2 D4,D,解:内积为零的两个向量正交,66,定义： n 维向量e1, e2, , er 是向量空间 中的向量， 满足 e1, e2, ,

23、er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, , er 两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量， 则称 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基 例： 是 R4 的一个规范正交基,67,也是 R4 的一个规范正交基,是 R4 的一个基，但不是规范正交基,68,设 e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + + lrer 于是 特别地，若 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基，则 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, , ar 向量空间 V 中的一

24、个规范正交基 e1, e2, , er,69,求规范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,规范正交基,70,b1,c2,a2,b2,返回,令 c2 为 a2 在 b1 上的投影，则 c2 = l b1 ， 若令 b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，则 b1b2 下面确定l 的值因为 所以 ，从而,a2b1,71,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基

25、，那么令,72,于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r,73,第二步：单位化 设 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令 因为 从而 e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个规范正交基,74,例11】设 ，试用施密特正 交化过程把这组向量规范正交化 【解】第一步正交化，取,75,例12】设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化 【解】第二步单位化，令,76,练习102,利用施密特正交化方法，

26、将下列向量组化为正交的单位向量组,77,解:正交化，得正交的向量组,单位化，得正交的单位向量组,78,练习103,将 ， ， 标准正交化,79,解:正交化，得正交的向量组,80,再将它们单位化可以求得,81,例13】已知 ，试求非零向量a2, a3 ，使a1, a2, a3 两两正交. 【解】若a1a2 ， a1a3 ，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3 应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为 把基础解系正交化即为所求,以保证 a2a3 成立,82,定义

27、：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵,即 A1 = AT,于是 从而可得 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基,83,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基. 因为ATA = E 与AAT = E 等价，所以,84,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A

28、为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的行向量组构成Rn 的规范正交基,85,例14：正交矩阵,R4 的一个规范正交基,86,正交矩阵具有下列性质： 若 A 是正交阵，则 A1 也是正交阵，且|A| = 1 或1 若 A 和B是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换 经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保 持不变），这就是正交变换的优良特性,87

29、,练习104,设A为n阶正交矩阵，则行列式 （） A-2 B-1 C1 D2,C,解:A为正交矩阵，则,88,练习105,下列矩阵是正交矩阵的是（ ） AB CD,A,89,解:A为正交矩阵，则,90,表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数,n 个变量 与 m 个变量 之间的 关系式,91,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,返回,92,5.4 实对称矩阵的相似标准形,93,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关,94

30、,可逆矩阵 P ，满足 P 1AP = L （对角阵,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n,A 的 特征值,对应的 特征向量,其中,Ali E) pi = 0,矩阵 P 的 列向量组 线性无关,95,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关（P.120定理2） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n

31、 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例6,96,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关（P.120定理2） 定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1, p2 是对应的特 征向量，如果 l1 l2 ，则 p1, p2 正交（P.124定理6） 证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1

32、 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是对称阵） l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0 因为l1 l2 ，则 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交,97,定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7,定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量

33、 （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化,98,定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化,推论：设 A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，则 矩阵 A lE 的秩等于 n k， 恰有 k 个线性无

34、关的特征向量与特征值 l 对应,99,例15】设 ，求正交阵 P，使P1AP = L对角阵. 【解】因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化 求得 A 的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1,100,当 l1 = 2 时， 解方程组 (A + 2E) x = 0 ，得基础解系 当 l2 = l3 = 1 时， 解方程组 (AE) x = 0 ，得 令 ，则,101,当 l1 = 2时，对应的特征向量为 ； 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 . 显然，必有x1x2 ， x1x3 ，但x2x3 未必成立 于是把 x2, x3 正交化： 此时x1h2 ， x1h3 ，h2h3,102,单位化： 当 l1 = 2时，对应的特征向量为 ； 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为,1