重点增分专题六数列讲义理

1、重点增分专题六数列（1）咼考主要考查等差数列及等比数列的基本运算，两类数列求和方法（裂项相消法、错全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018等差数列的基本运算-T 4 S与an的关系、等比数列求 和-T 14等差数列的通项公式、前n项和公式及最值-T 17等比数列的通项公式、前n项和公式-T仃2017等差数列的通项公式、前n项和公式-T 4数学文化、等比数列的概念、前n项和公式-T 3等差数列的通项公 式、前n项和公式及 等比中项-T 9等差数列的通项公式、前n项和公式、裂项相消法求和-T 15等比数列的通项公式-T 142016等差数列的基本运算-T 3 等比数列的运算及二次函

2、数最值问题-T 15等差数列的通项公式、 前n项和公式、创新问题-T仃数列的递推关系及通项公式、前n项和公式-T仃A. 4B . 2位相减法）、两类综合（与函数综合、与不等式综合），主要突出数学思想的应用.（2）若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在 17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多.保分考点考点一等差、等比数列的基本运算练后讲评大稳定一一常规角度考双基1. 等差数列的基本运算（2018 全国卷I ）记S为等差数列an的前n项和，若3S =S + S, a1= 2,贝y a5=()A. 12C. 10B. 10D . 12解析：选B设等差数列an的公差

3、为d,由3S = S + S，得3（3a1 + 3d） = 2ai + d + 6d，即 3a1 + 2d = 0.将 a1 = 2 代入上式，解得d = 3,故 a5= a1+ (5 1) d= 2 + 4x( 3)=10.2. 等比数列的基本运算已知等比数列an的前n项和为$，若a1= 1, |10=孚，则数S532列an的公比q为（）C.2D.31 10 ai1 q1 q.5=1 + q ,S10 33S0a1 1 q解析：选C 因为忑=工2,所以qM 1.所以忑=1 q331所以1 + q =运所以q= 2.3. 等差与等比数列的综合运算已知等差数列an的前n项和为S,等比数列b的前n

4、 项和为 Tn, ai = 1, bi= 1, a2+ b2= 3.(1)若a3 + b3 = 7求bn的通项公式;若T3 = 13,求Sn.解：(1)设an的公差为d, bn的公比为q, 则 an= 1 + ( n 1)d, bn= qn 1.由 a2+ b2 = 3，得 d + q= 4,2由 a3+ b3 = 7,得 2d+ q = 8,联立，解得q= 2或q= 0(舍去), 因此bn的通项公式为bn= 2nT.2 2(2) T3= 1 + q+ q , 1 + q+ q = 13,解得q= 3或q= 4,由 a2+ b2 = 3，得 d = 4 q,.d= 1 或 d= 8.由 Sn=

5、 na1+ 尹(n 1)d,1 232得 Sn=尹2门或 S= 4n 5n.解题方略等差（比）数列基本运算的解题思路（1）设基本量：首项 a1和公差d（公比q）.（2）列、解方程（组）:把条件转化为关于a1和d（或q）的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少运算量.小创新一一变换角度考迁移1. 与平面向量交汇设数列an满足a2 + a4= 10,点B（ n, an）对任意的n N，都有向 量Pn+: = （1,2），则数列an的前n项和S=解析：Pn(n,an) , Pn+ 1(门+ 1 ,dn + l),- P1P1+ 1 = (1 , an+1 an) = (1,2),an + 1 a

6、n = 2 ,二数列an是公差d为2的等差数列.又由 a2+ a4= 2ai + 4d= 2ai + 4x2= 10,解得 ai= 1, S = n+nX 2= n2.答案：n2Si2. 定义数列中的创新设某数列的前n项和为S,若M为常数，则称该数列为“和谐数S2n列”.若一个首项为 1,公差为d（dM0）的等差数列an为和谐数列”，则该等差数列的 公差d=1 1 1=k(k为常数)，且 a1 = 1,得 n + -n(n 1)d= k |2n+X2n 力一1 d j,即2+(n 1)d = 4k+ 2k(2 n 1)d,整理得，(4k 1)d n+ (2 k 1)(2 d) = 0 ,对任意

7、正整数n, 上式恒成立， F k1I 2k 1d= 2,=0,门得丫 12-d = 0, |k= 4,数列an的公差为2.答案：23.借助数学文化考查（2017 全国卷n ）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有A.C.解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为a11 27381,公比 q= 2，依题意，得 S= 381，解得 a1= 3.1 2an，则前7项的和S =考点二等差数列、等比数列的性质保分考点练后讲评2323

8、16 r .x+6x+ 2 = 0的根，则厂的 a9大稳定一一常规角度考双基1.等比数列项的性质在等比数列an中，a3, a15是方程值为（）B.边A-呼cJ2D .-迈或 72解析：选B设等比数列an的公比为q,因为a3, a15是方程x2+ 6x+ 2 = 0的根，所以a3 a15= a9=2,a3+ a15 = 6,所以a30,a150,贝Ua9=v2,所以=a9=寸2,a9a9丫故选B.2.等差数列前n项和的性质设S是等差数列an的前n项和，若 Sm0,且&= 3S,设S2=入Ss,则入=()1A. 31B. 2C. 2解析：选C因为S是等差数列an的前n项和,若 Sm0,且 S3=

9、3S, S2=入 Ss,所以由等差数列的性质得：S4, Ss S4, S12 S成等差数列,所以 2(88 S4)= S4+ (S2 S),所以 2(3S S) = S+ (入-3 84 3S),解得入=2.3.等差数列前n项和的最值在等差数列an中，已知ai= 13,3 a? = 11a6，则数列an的前n项和S的最大值为解析：设an的公差为d.法一：由 3a2= 11a6，得 3(13 + d) = 11(13 + 5d),解得d= 2,所以 an= 13+(n 1) X ( 2) = 2n+ 15.由严0an+1W 0,2n+ 150,得 J n+15an+1,所以数列an是递减数列,

10、N都有anan+1,则实数 入的取值范围是117解得2入ch +1 ；若2入1,则当n6时，数列an为递减数列，当n6时，数列an为递减数列，又对任意的nN都有anan+1,所以a6a5，即入g 入X5+ 1,解得入vi? 所以入vg综上，实数入的取值范围为, 12解题方略等差、等比数列性质问题的求解策略抓关系抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解用性质数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题小创新一一变换角度考迁移1.数列与对数式交汇在等差数列an中，公差dM0,若Ig ai, Ig a2, Iga4也成等差数

11、列，且a5= 10,则an的前5项和()A. 40B . 35C. 30D . 25解析：选C因为Ig a1, lg a2, lg a4成等差数列，所以2lg a2= Ig a1 + Ig=lg a1a4? a2 = a1a4? d2= atd，因为 d*0,所以 &= d,又 a5= a1 + 4d= 10,所以2a4? Iga2ai = 2, d=2, 85= 5a1 + 5|4d= 30.选 C.2.数列与函数性质交汇已知函数f(X)是R上的单调递增函数且为奇函数，数列an2 入 0,所以 0入1 ,入 0,贝y f(a1)+ f(a3)+ f (a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C

12、.恒为0D.可以为正数也可以为负数解析：选A因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0) = 0,又f(x)是R上的增函数,所以当 x0 时，有 f(x)f(0) = 0，当 x0时，有 f(x)0，所以 f (a3)0._一a*! + a5因为数列an是等差数列，所以一2 = a30? a1+ a50? a1 a5? f(a1)f( a5),又 f ( a5)=f (a5)，所以 f (ai) + f (a5)0，故 f (ai) + f (a3) + f (a5) = f (ai) + f (a5) + f (a3)0.*n3.数列与三角函数交汇已知数列an满足an+ 2 an+1= an

13、+1 an, n N,且a5 = ，若函数 f (x) = sin 2xX+ 2COS2 2,记yn= f (an)，则数列yn的前9项和为()A. 0C. 9解析：选C由已知可得，数列 an为等差数列，f (x) = sin 2x + cos x + 1,二f上2丿=1. V f ( n x) = sin(2 n 2x) + cos( n x) + 1 = sin 2 x cos x + 1 , f ( n x) + f ( x)=2,. a1+ a9= a2+ a8= 2a5= n , f (aj + f(ao) = 2x4+ 1 = 9，即数列yn的前 9项和为9.4.数列与不等式交汇数

14、列an是首项a1= m,公差为2的等差数列，数列bn满足2bn=(n+ 1)an，若对任意n N都有bnb5成立，则m的取值范围是 .解析：由题意得，an= mi 2( n 1),从而 bn=字an=字m+ 2(n 1).又对任意n N都有bn b5成立，结合数列bn的函数特性可知 b4匕5 ,匕6匕5 ,5故 72mT+O解得22W me 18.答案:22,18考点三等差比数列的判断与证明 讲练考点典例设S为数列an的前n项和，对任意的n N ,都有S= 2 an,数列 bn满足. 一 .bn 1 .一 一 _b = 2a1, bn =( nA2, n N).1 十 bn 1(1)求证：数列

15、an是等比数列，并求an的通项公式;；件等差数列还是等比数列，并求数列 bn的通项公式.判断数列b解(1)当 n= 1 时，a1 = S = 2 a1,解得 a1= 1 ；当 n2 时，an= S S-1 = an-1 an,an 1*即=z(n2, n N).an-12所以数列an是首项为1,公比为2的等比数列,故数列an的通项公式为an= G)-1 因为a1 = 1，所以b1= 2ai = 2.bn-111因为bn=占，所以丘=b； + 1,1 1即 bn- b=1(心2).所以数列 *首项为12,2n- 1公差为1的等差数列.1 1所以bn = 2+ (n-1) 1=2解： 因为数列an

16、的前n项和为S,且S= 2an 3n（n N）.所以 n= 1 时，由 ai= Si= 2ai 3x 1,解得 ai= 3,n= 2 时，由 S2= 2a2 3X 2,得 a2= 9,n= 3 时，由 S3= 2a3 3x 3,得 a3= 21.因为S= 2an 3n,所以 Sn+1= 2ai+1 3( n+ 1),两式相减，得 an+1 = 2an+ 3,把 bn= an + 3 及 bn+1= an+1+ 3，代入式,得 bn+1 = 2bn( n N)，且 b1 = 6,所以数列bn是以6为首项，2为公比的等比数列,所以 bn= 6X2 2 “所以 an= bn 3 = 6X2 3= 3

17、(2 1).考点四 数列求和 增分考点深度精研析母题一一高考年年“神”相似典例 已知数列an满足a1+ 4a2 + 4* 2a3 + 4飞=4(n N).（1）求数列an的通项公式; n4 an 设bn = 2n+7，求数列bb+1的前n项和Tn.1(1)当 n= 1 时，a1 = 4.因为2n 2n 1 na1 + 4a2 + 4 a3 + + 4 an-1 + 4 an= 4,所以a1 + 4a2 + 42a3 + + 4n2an1 = n( n2)，1一得 4nTan = 4（n2）,所以 an= 4( n2).1由于a1=4,(2)由(1)得,n.4 an1bn =,2ri+ 12ri

18、+1所以 bnbn+1 = 1 f 11 、2 ri+ i2ri+3 = 2 bn + 1 2n + 3 丿,练子题高考年年“形”不同1. 在本例条件下，若设bn aniogfan,求数列bn的前n项和Tn. b = 2nbn -n,41解：T an yn,42n石，12464Tn ?+?+?+2n厂,两式相减得,3 22224Tn 4+?+7+r+22n厂厂2X n I4丿2n 厂2n3X4 46n+ 83 3X4 n1,86ri+ 89- 9X4n.2.在本例条件下,若数列七的前n项和为S,记bn詈5 N），求数列bn的前n项和Tn.c 4 n 4 s 3X4 -3,则 bn Sn 4X4

19、2n 4X4n,an 33二 Tn = bl + b2 + bn3(4 2 + 44+ 42n) 3(4 +42+ 4n)334=-X316 1-42n4 4 1 4nX1 1631 464X445 42n_ 世 X4n + 兰9453.在本例条件下，设bn =anan + an + 1+1，求数列 bn的前n项和Tn.1解：an=苹bn=OA=F4n+14f 1/. Tn = bl + b2 + b3 + bn=34+ 1 42 + 1 + 42 + 1 43+ 1401)4=3G 4n +1+ 1 丿=15 3 4n+1 + 3.解题方略1. 分组求和中分组的策略根据等差、等比数列分组.(

20、2)根据正号、负号分组.2. 裂项相消求和的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.3. 错位相减法求和的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘( an bn)型数列求和.步骤:求和时先乘以数列bn的公比; 将两个和式错位相减; 整理结果形式.多练强化1.已知等差数列an的前n项和为S,且a1= 1, &= a5.令bn= ( 1)nan,则数列bn的前2n项和Tan为()A. nB. 2n解析：选B设等差数列an的公差为d,由S3= a5,得3a2= a5,.3(1 + d) = 1 + 4d, 解得 d= 2,. an= 2n

21、1,. bn= ( 1 1(2 n 1) , . T2n= 1 3 + 5 7+ (4 n 3) (4 n1) = 2n,选 B.2. （2017 天津高考）已知an为等差数列，前 n项和为S（n N）, bn是首项为2的 等比数列，且公比大于 0, b2 + b3 = 12, b3= a4 2ai, Si = 11 be（1）求an和bn的通项公式；求数列a2nb2n1的前n项和（门 N）.解：（1）设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. 由已知 b2+ b3= 12，得 b1（q + q2） = 12,2而 b1= 2,所以 q+ q 6= 0.又因为q0，解得q= 2.所以b

22、n= 2.由 b3= a4 2a1，可得 3d a1 = 8.由 S11= 11 b4,可得 a1 + 5d= 16.由，解得a1 = 1, d= 3,所以an= 3n 2.所以数列an的通项公式为an= 3n 2,数列bn的通项公式为bn = 2n.(2)由(1)知 a2n= 6n 2, b2n 1 = 2X4 n1,则 a2nb2n 1= (3门1) XA：设数列 a2nb2n 1的前n项和为Tn,故 Tn= 2X 4+ 5X4 2 + 8X4 3 + (3n 1) X4 n,4Tn= 2X4 2 + 5X4 3 + 8X4 4 + (3 n 4) X4 n + (3 n 1) X4 n+1,n+1上述两式相减，得 3Tn= 2X 4+ 3X4 2+ 3X4 3 + 3X4 n (3 n 1) X4 n+1 = 12X 1-4n=(3n 2) X4n+1 8.十3n 一 2、/, n+ 18故 Tn= 丁 X4 + 3.3n一 28所以数列 a2nb2n 1的前n项和为一3 X4n+ 1 + -333. 已知等差数列an的前n项和为S, n N*，且a2= 3, $= 25.（1）求数列an的通项公式; 若数列bn满足bn= . 1 ，