轴对称、等腰三角形、等边三角形

1、【知识点梳理】1、轴对称图形:一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、轴对称:两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:；轴对称(1) 区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。(2) 联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。1.轴对称的性质:B(1)成轴对称的两个图形全等。(2)对称轴与连结“对应点的线段”

2、垂直。(3)对应点到对称轴的距离相等。(4)对应点的连线互相平行。图11)线段的垂直平分线：(1) 定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。如图2, CA=CB ,直线m丄AB于C,直线m是线段AB的垂A訂直平分线。-TB(2) 性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。如图3, CA=CB ,直线m丄AB于C,点P是直线m上的点。 PA=PB。B(3) 判定。与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。女口图 3,v PA=PB,直线m是线段AB的垂直平分线,点P在直线m上。6等腰三角形:(1) 定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰。

3、第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角。腰与底的夹角叫做底角。说明：顶角=180 - 2底角底角=18 -顶角=90顶角2 2可见，底角只能是锐角。(2) 性质。等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”等边对等角。如图5,在 ABC中 AB=AC图4,只有一条。C三线合一。(3) 判定。有两条边相等的三角形是等腰三角形。如图5,在 ABC中, AB=AC ABC是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。如图5,在 ABC中V/ B=/ C ABC是等腰三角形。7、等边三角形:(1)定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边

4、三角形是特殊的等 腰三角形。(2)性质。,有三条。图6等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”等边三角形的三个内角都等于60。三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。如图6,在 ABC中VAB=AC=BC ./ A= / B=/ C=60o(3) 判定。三条边都相等的三角形是等边三角形。如图6,在 ABC中VAB=AC=BC ABC是等边三角形。三个内角都相等的三角形是等边三角形。如图6,在 ABC中V/ A= / B=/ C:. ABC是等边三角形。Ar/ C=60 有一个内角是60的等腰三角形是等边三角如图6,在 ABC中 AB=AC (或 AB=BC,AC=BC

5、)/A=60(/ B=60， ABC是等边三角形。（4）重要结论。在 Rt中，30角所对直角边等于斜边的一半。如图7, 在 RtAABC 中,/ C=90，/ A=30 1 -BC= AB2或 AB=2BC8、平面直角坐标系中的轴对称:（a，b）揺才右 勿 E （a，4）横不变，纵反向（a，b）横关丁纵不变（Tb）横反向，纵不变说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见11 (1)。9、对称轴的画法:在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得 线段的垂直平分线。注意：有的轴对称图形只有一条对称

6、轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。成轴对称的两个图形只有一条对称轴。10、常见的轴对称图形:（1）英文字母。A B D E H I K M O T U V W X Y数字。中文。日，目，木，土，十，圭，凸，0Y 3山，甲，由，田 合，全 j 图形。Z =飞/8、熱 J只，支,甘，等等。【有关考点】考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识轴对称图形：如果个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够轴对称图形的有（)，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做轴对称：对于个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做【典例】1.下列

7、几何图形中， 线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称(1) 经过轴对称变换得到的图形与原图形的(2) 经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于完全一样的对称点.(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴关于坐标轴对称点P (x, y)关于x轴对称的点的坐标是(x, -y )点P (x, y)关于y轴对称的点的坐标是(-x ,关于原点对称点P (x, y)关于原点对称的点的坐标是(-x ,关于坐标轴夹角平分线对称点P(x, y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线-y)y=x对称的点的坐标是(y,点P (x,

8、y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是(-y , -x)关于平行于坐标轴的直线对称点P (X, y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x, y);点P (X, y )关于直线y=n对称的点的坐标是(x, 2n-y ); 考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形Q若AP=PQ求证/ APQ是多少度图（2）考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线上的点到相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是角平分线上的点到相等【典例

9、】1、如图， ABC中,/ A=90 , BD为/ABC平分线，DELBC E是 BC的中点,求/ C的度数。【典例】1、如图，Rt ABC / C=90 , / B=30 ,BC=8, D为 AB中点,P为BC上一动点，连接AP DP，则AP+DP勺最小值是第1题图2、已知等边ABC E在BC的延长线上，CF平分/ DCE P为射线BC上一点, 为CF上一点，连接AP PQ2、如图， ABC中, AB=AC PB=PC连AP并延长交BC于D,求证:AD垂直平分BC厘米，则i EBC的周长为（）3、如图,DE是A ABC中 AC边的垂直平分线，若 BC=8厘米，AB=10A.16厘米 B.18

10、 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米4、如图，/ BAC=30 , P 是/BAC平分线上一点，PM / AC PD! ACPD=28 ,贝U AM=5、如图，在 Rt ABC中,/ ACB = 90，/ BAC的平分线交 BC 于 D.作CGL AB于G,交AD于E.过D点作DF! AB于F.下列结论:/CED/ CDE S出EC : S必eg =AC : AG ；/ ADF=2/ ECDSed =Sfb :CE=DF.其中正确结论的序号是（）A . B . C .D.【课后练习】、选择题i .下列命题中：两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；等腰三角形 的对称轴是底边上的中线；等边三角

11、形一边上的高就是这边的垂直平分线;一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（ ）个C. 3个30 勺直角三角形；长方形;）个2.下列图形中：平行四边形；有一个角是等腰三角形.其中是轴对称图形有（C. 3个3.已知/ AOB = 30点P在/ AOB的内部,Pi与P关于OA对称,P2与P关于OB对称，则 Pi OP2是A .含30角的直角三角形;三角形；B.顶角是30的等腰C .等边三角形D.等腰直角三角形.4.如图：等边三角形ABC中,BD = CE, AD与BE相交于点P,则C/ APE的度数是B. 55A . 45D. 75C . 605.等腰梯形两底长为4cm

12、和i0cm，面积为2icm2，则 这个梯形较小 的底角是（）度.A . 45B . 30C . 60D . 906 .已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则A . PA+PB QA+QBB . PA+PBv QA+QBD . PA+PB= QA+QBD.不能确定7.已知 ABC与 AiBiCi关于直线MN对称，且BC与BiCi交与直线MN上一点O,A .点O是BC的中点B.点O是BiCi的中点C .线段OA与OAi关于直线MN对D.以上都不对8 如图：已知/ AOP= / BOP=15 , PC/ OA,PD 丄 OA,若 PC=4，贝U PD= (A9./ AOB的平分线

13、上一点P到OA的距离为5, Q是OB上任一点，则A. PQ5B . PQ5C. PQv5D. PQC510.等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm.则该等腰三角形的底长为D . 5cmA. 3cm 或 5cm B . 3cm 或 7cm C . 3cm.填空题11 .线段轴是对称图形，它有条对称轴.12 .等腰 ABC 中，若/ A=30 ,则/ B= 13 .在 RtAABC 中，/ C=90 , AD 平分/ BAC 交 BC 于 D，若 CD=4，则点 D到AB的距离是14 .等腰 ABC中，AB=AC=10，/ A=30 ,则腰AB上的高等于15 .女口图：等腰梯形 ABCD

14、中，AD / BC，AB=6，AD=5，BC=8,且 AB / DE，则 DEC的周长是 16 .等腰梯形的腰长为2, 上、下底之和为10且有一底角为60则它的两底长分别为 17 .若 D 为厶 ABC 的边 BC 上一点，且 AD=BD , AB=AC=CD ,则/ BAC=18.A ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交 BC于点E、F,若/ BAC=115， 则/ EAF=.三.解答题19.如图：已知/ AOB和C、D两点，求作一点 P,使PC=PD，且 P到/AOB 两边的距离相等.20.如图：AD为 ABC的高，/ B=2/ C,用轴对称图形说明：CD=AB+BD .21.有一本书折

15、了其中一页的一角，如图：测得DAD=30cm,BE=20cm，/ BEG=60，求折痕 EF 的长.DFC22.如图： ABC中，AB=AC=5 , AB的垂直平分线若BC=4，求 BCD的周长.若BCD的周长为8,求BC的长；23 .等边 ABC中，点 卩在 ABC内，点Q在 ABC夕卜，且/ ABP= / ACQ ,BP=CQ，问 APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.A考点五、等腰三角形的特征和识别等腰三角形的两个相等（简写成“等腰三角形的 互相重合（简称为“ 特别的：（1）等腰三角形是（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相

16、等（简称为”）特别的:有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.C【典型例题】 例1、如图：在 ABC中，AB=AC ADL BC, DE丄AB于点E, DF丄AC于点F。试说明DE=DFC例2、如图,E在 ABC勺AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F,DF=EFBD=CE求证： ABC是等腰三角形.【巩固练习】1、如图， ABC中, AB=AC=8 D在 BC上，过 D作 DE / AB交 AC于 E,DF/ AC交AB

17、于F,则四边形AFDE的周长为2、如图， ABC中, BD CD分别平分/ ABC与/ ACB EF过 D且 EF/ BC,若 AB = 7 , BC = 8 , AC = 6，贝AEF周长为()BA. 15 B . 14 C. 13 D. 184、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40。，则它的一个底角的度数、 ABC中, DF是AB的垂直平分线，交BC于D, EG是AC的垂直平分线，交BC于 E,若/ DAE=20，则/ BAC等于 &从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在 ABC中,/ ACB=90，点 D E在直

18、线 AB上，且 AD=AC BE=BC贝DCE =考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各相等，各相等并且每一个角都等于三个角相等的三角形是三角形有一个角是60的三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线【典例】例1、如图，等边三角形ABC中, D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD DML BC 垂足为 M。例2.如图，点P是等边 ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE PF、PG等边 ABC的高为AD 求证：PE+PF+Pd ADC【巩固练习】1、填空等边三角形的各相等，各相等并且每一个角都等于三个角相等的三角形是三角形有一个角是60的三角形是等边三角形特

19、别的：等边三角形的中线、高线、角平分线2.下列推理中，错误的是【A.V/ A=/ B=/ABC是等边三角形B.V AB= AC,且/ B=/ABC是等边三角形C.V/ A= 60,/ B= 60,A ABC是等边三角形D.V AB= AC，/ B= 60,.A ABC是等边三角形3.已知 ABC是等边三角形，分别在 AC BC上取点E、F,且AE= CF, BE AF交于点D,则/ BDF=4.如图，D E、F分别是等边 ABC各边上的点，且 AD= BE= CF,则 DEF?勺形状是【A.等边三角形B .腰和底边不相等的等腰三角形 C .直角三角形D .不等边三角形5.如图B、C、D在一直线上， ABC ADE是等边三角形，若 CE= 15cm CD=6cm 贝u AO6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE AD与BE交于点0, AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q,连接PQ以下六个结论：AD= BE;PQ/ AE;A吐BQ;DE= DP;】个/ A0B= 6