课题：含有绝对值的不等式(2

1、课 题：含有绝对值的不等式（2） 教学目的：1.进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；2培养学生的化归（或转化）的数学思想*3提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力4培养创新意识，提高学生的数学素质*教学重点：不等式性质、定理的综合运用教学难点：常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上一节课，我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质，并认识到证明 不等式的方法的多样性与灵活性，这一节，我们将综合运用绝对值的性质、不 等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证明不等式 .定理：|a I -|b 国 a +b|兰|a I +|b|

2、注意：1。左边可以“加强”同样成立，即|a|b(兰 |a + bF|a|+|b|22*这个不等式俗称“二角不等式”一二角形中两边之和大于第二边，两边之差 小于第三边3a,b同号时右边取“ =”，a,b异号时左边取“=”推论1：丨ai七2 +an丨 0,R0)2 .2r +R求证：| ac+ bd |w证明：（综合法） a、| ac+ bd |w2b、C、d都是实数，2丄 2.2,22,.2,2,.2,a +c , b +d a +b +c +dI ac | + | bd | +一2 2/ a2+ b2= r 2c2+ d2= R2,r2 + R2I ac+ bd |w 2设f (x) = x2

3、+px+ q,求证：| f (1) I、| f|、| f|中至少有一个不小于 12说明:此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明.证明:1 1 1(反证法)假设原命题不成立，则|f(1)| - ,|f(2)| -，|v -,|f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)| |f(1)+f(3) 2f(2)|=2这与矛盾，故假设不成立，求证为真.例3求证：上巴吐士吐.1 + |a |+ |b| 1+|a+b|证法一：(分析法)要证明中问 2中1 + |a|+|b|1 + |a+b|只需证(|a|+|b|)(1+|a+b|)|a+b| (1+|a|+|b|)只需证 |a|+|b|

4、+(|a|+|b|) |a+b|a+b|+(|a|+|b|)|a+b|只需证 |a|+|b| |a+b|显然上式成立 所以原不等式成立, 证法二：(利用函数的单调性)构造函数 f(x)=L (x 0)1 +x f(x)= =11+x 1+x函数f(x)在0,+ )是增函数*f(|a+b |)= a+b1+|a +b|而 ai+|b| |a+b|,. f(|a|+|b|)f(|a+b |)|a|+|b|a +b|1+|a|+|b| i+|a +b|例 4 已知 x? +y2 =1,求证：一 Ji a? y -ax 兰 Ji +a2说明：根据已知条件X2+ y2=i的形式特点，可以进行三角代换，即

5、设X = cosot, y =sinot，转化为三角形式的不等式解：设 X = cosa, y = sin a ,则| y -ax|=|sin a -a co贸 |= Jl+a2 |sin(a -S) | (其中 tan 0 =a)/ |sin(a 0 )|w 1 J1 +a2 | sin(a -0) | J1 +a2 | y -ax |兰 Jl +a2-J1 + a2 y -ax J1 +a2课堂练习：若|x a I m,| y a | n,则下列不等式一定成立的是(DB I x y | 2n C | x y | nm D I x y | ，使得 | f(X1) f(X2)| 1.A* I

6、Xy | 2m2.已知函数f(x)= 2x+1，对任意的正数 个充分非必要条件是(C ) n+ m成立的一ggA | X1 X2 | B | X1 X2 | C * | X1 X2 |202；(2)| x+2|+| x+1|+| x-1|+|x-2| 6;(3)2| x+2|+| x+1| 1(当且仅当x=-2时，“=”号成立 卜 证明:(1)| x+1|+| x-1| |( x+1)-( x-1)|=2 +(2)| x+1|+| x-1| |( x+1)-( x-1)|=2 .当且仅当(x+1)( x-1) W 0,即-1 W X W 1时“=”成立；又 | x+2|+| x-2| |( x

7、+2)-( x-2)|=4,当且仅当(x+2)( x-2) w 0,即-2 w x w 2时“=”号成立* | x+2|+| x+1|+| x-1|+| x-2| 6,_1 c X 丈1当且仅当J -即-1 w x w 1时“=”号成立，2x |( x+2)-( x+1)|=1,当且仅当(x+2)( x+1) w 0,即-2 w x w -1时“=”号成立； 又|x+2| 0,当且仅当x=-2时，“=”号成立， 2| x+2|+| x+1| 1,当x=-2时，“=”号成立+4已知f (x)=+ X2 ,当| a|丰| b|时，求证:(1) | a+b| f(a)- f(b)| *证明：(1)|

8、a+b| w |a|+| b| 斤盲 + JT盲=|f(可+f(b)| (2) 由(1)得：| a+b| |a +b|J1 +a2 中 J1 +b2(1 + a2)-(1 +b2) /va2 + J1 + b=Jl + a2 - Jl +b2二 f (a) - f (b)5求证:a2 -b2n A |a|-|b|( az b)lal2 . 2a -b2 .2a -b证明：当 | a| | b| 时,| a|-| b| |a|-| b|;当 | a| b| 时，又 az 0,从而 | a|0,有 | b|-1ab2=-p -| b|a- (| b| 0)2.221 2.2a-bAa-lb =|

9、al-b |a|-| b|.综上所述有：a2-b2 |a|-| b|( a b).6若 |x|1,| y|1,| z|1,求证：I x+y+z+xyz *1 + xy + yz + zx证明：所证不等式I x+y+z+xyz|1+ xy+yz+zx|2 2(x+y+z+xyz) (1 + xy+yz+zx)(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)( xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1)0:(x+1)( y+1)( z+1): :(x-1)( y-1)( z-1) : 0 (x2-1)(由于 |x|1,| 于是(x2-1)(2 2y-1)( z-1)0y|1,| z|1，y2-1)( z2-1)0从而 x21, y21, z21,成立,所以原不等式成立,7已知a, b R求证:a +b1 +ia+b 1+a证