解直角三角形(1

1、解直角三角形一、选择题1.（2014?湖南衡阳，第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形1.5，则坝底AD的长度为（26米ABCD，坝顶宽10）28米C. 30 米 D. 46考点：分析：解答：解直角三角形的应用 先根据坡比求得AE解：坝高12米，斜坡AB的坡度i=1: 1.5,-坡度坡角问题.的长，已知CB=10m，即可求得AD . AE=1.5BE=18 米，/ BC=10 米， AD=2AE+BC=2 X18+10=46 米,点评：掌握情况，2.A . 9m此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的 将相关的知识点相结合更利于解题.B . 6mC. JlmD.

2、3 mAB的坡比是1； 43 （坡比是坡面的 ）（2014?丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（考点 解直角三角形的应用 -坡度坡角 问题.分析：在Rt ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度 BC的值，通过解直角三角形即 可求出斜面AB的长.解答：解：在 Rt ABC 中，BC=5 米，tanA=1 ： 玄 AC=BC 诜anA=W3米，二 AB= 37=6 米.故选B.熟练运用勾股定理是解点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力, 答本题的关键.P的北偏东30方向，距离灯塔P的南偏东45方向上的

3、BAC. 80海里D . 4O76海里3. （ 2014?四川绵阳，第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔 80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 处，这时，海轮所在的 B处与灯塔P的距离为（ ）考点：解直角三角形的应用-方向角问题.分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案.解答：解：过点P作PC丄AB于点C由题意可得出：/A=30 / B=45 AP=80海里，故 CP=AP=40 （海里），贝U PB= , 40 =40讥（海里）.5in45点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关 键.4.二、填空题23175或2Vs

4、-晶（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）.解直角三角形.分类讨论.分两种情况：过点 B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和1. （2014?黑龙江龙东，第 8 题 3 分） ABC 中，AB=4，BC=3，/ BAC=30 贝 ABC 的 面积为考点：专题：分析： 高，再求面积即可.解答：解：当/ B为钝角时，如图1，过点B作BD丄AC ,/ BAC=30 BD=AB ,/ AB=4 , BD=2 , AD=2 诉, BC=3 , cdW ,-SABC =AC ?BD= X （ 2届晶）X2=2V+V;当/ C为钝角时，如图2,过点B作BD丄AC ,交AC延长线于点 D

5、,/ BAC=30 BD=AB ,/ AB=4 , BD=2 ,/ BC=3 , CD朋, AD=2 75, AC=2 - Vb，-abc=AC?BD= x（ 25 -品 X?=2V5 -Vs.c用直尺和圆规作 ABC，使BC=a, AC=b，/ B=35 b间满足的关系式是sin35或 b% .考点：作图一复杂作图；切线的性质;解直角三角形点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半.2.（2014?浙江绍兴，第14题5分）若这样的三角形只能作一个，则a,分析：首先画BC=a，再以B为顶点，作/ ABC=35 然后再以点

6、C为圆心b为半径交AB于点A，然后连接AC即可，当AC丄BC时，当b為时三角形只能作一个.解答：解：如图所示:若这样的三角形只能作一个，则a, b间满足的关系式是：当AC丄BC时，即sin35 当b為时.故答案为：sin35 或b為.点评：匕题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法.3. （ 2014?江西，第13题3分）如图，是将菱形 ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90, 180,270后形成的图形。若/BAD =60, ,AB=2,则图中阴影部分的面积为 B0lie/（第13逖）【答案】12-23 .【考点】菱形的性质，勾股定理，旋转的性质.【分析】性质可知连接AC

7、 BD AO BQ AC与BD交于点E,求出菱形对角线 AC长，根据旋转的AOL CO在Rt AOC中，根据勾股定理求出 A0=CO=AC寸匸尹=/6，从而求出Rt AOC的面积，再减去 ACD的面积得阴影部分 AQCD面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。【解答】 解：连接BD AC,相交于点E,连接AQ CQ因为四边形 ABCD是菱形， AC 丄 BD, AB= AD= 2。/ BAD= 60 ABD是 等边三角形，BD= AB= 2,/ BAE= - / BAD= 30, AE= - AC BE=DE=1 BD=1,2 2 2在 Rt ABE 中，AE= J AB2 - BE2 M2

8、 -I2 J , AC= 2 j3。菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90, 180, 270,/ AOC= - X 360= 90,即卩 AOICQ AO= CO2-=46。4在 Rt AOC中, AO=COAC2 _ 恢3) 疗Yp &ao=1aO- CO=i X 76 X 76 =3, &adc=1aC DE=丄 X 23 X 1 =73,2 2 2 2 S 阴影=Saaoc Saad(=4X( 3)= 12 4y/3所以图中阴影部分的面积为12 4 J3。4.三、解答题1. （ 2014?海南，第22题9分）如图，一艘核潜艇在海面 DF下600米A点处测得俯角为30 正前方的海底

9、C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行 1464米到B点处测得正前方 C点 处的俯角为45求海底C点处距离海面 DF的深度（结果精确到个位，参考数据：V21.414 , V5-.732, V-.236）p_=輕FI考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.分析：首先作 CE丄AB 于 E,依题意，AB=1000 , / EAC=30 , / CBE=45 ,设 CD=x ,则BE=x，进而利用正切函数的定义求出x即可.解答：解：作CE丄AB于E ,依题意，AB=1464 , / EAC=30 , / CBE=45 ,设 CE=x ,则 BE=x ,人出O CEX V3Rt ACE 中，tan3

10、0 =i464+x=3，整理得出：3x=1464U5+5x ,解得：x=732 （需+1） -2000 米， C 点深度=x+600=2600 米.答：海底C点处距离海面 DF的深度约为2600米.面F工E也6:、七解题时首先正确理解俯角的定点评：此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用, 义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题.2. （2014?莱芜，第20题9分）如图，一堤坝的坡角/ ABC=62 坡面长度AB=25米（图 为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面， 使得坡面的坡角/ ADB=50 则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数

11、据：sin62 出88, cos62 07, tan50 核0）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：过A点作AE丄CD于E.在Rt ABE中，根据三角函数可得 AE , BE，在Rt ADE 中，根据三角函数可得 DE，再根据DB=DC - BE即可求解.解答：解：过A点作AE丄CD于E.在 Rt ABE 中，/ ABE=62 AE=AB ?sin62=25 0.88=22 米，BE=AB ?cos62=25 0.47=11.75 米，在 Rt ADE 中，/ ADB=50 DE=18 米,tan50 DB=DC - BE58 米.故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米.D点评：考查了

12、解直角三角形的应用-坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点.3.（2014?青岛，第20题8分）如图，小明想测山高和索道的长度.测得仰角/ B=31 再往山的方向（水平方向）前进顶，测得仰角/ ACE=39 （1 ）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；AC的长（结果精确到 0.1m）.tan31 严sin31 严tan392, sin391180m至索道口他在B处仰望山顶A , C处，沿索道方向仰望山（2）求索道（参考数据:鲁）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 分析：（1）过点A作AD丄BE于D,设山AD分别表示出BD和CD的长度，然后根据

13、的高度为xm，在 BD - CD=80m，列出方程，求出 x的值;（2）在Rt ACD中，利用sin / ACD=3E!，代入数值求出 AC的长度.AC解答：解：（1）过点A作AD丄BE于D,设山AD的高度为xm,在 Rt ABD 中，Rt ABD 和 Rt ACD 中/ ADB=90 tan31 越,BD Bg -,在 Rt ACD 中，/ ADC=90 tan39越,CD CD= d 浮 X，11/ BC=BD - CD, X - x=80 ,9解得：x=180.即山的高度为180米；(2)在 Rt ACD 中，/ ADC=90 Sin39 普，AD 180 AC=一=；r切2.9 ( m

14、).血39“J_答：索道 AC长约为282.9米.点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三 角函数的知识表示出相关线段的长度.4. （ 2014?山西，第21题7分）如图，点 段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知度AA BB CC分别为110米、310米、A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高710米，钢缆AB的坡度i1=1 : 2，钢缆BC的坡A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆 AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）C考点： 专题： 分析：求出AE、解答：解直角三角形的应用-

15、坡度坡角问题.应用题.过点A作AE丄CC于点E,交BB于点F,过点 CE,利用勾股定理求解 AC即可.解：过点 A作AE丄CC于点E,交BB于点F,AABF ,B作BD丄CC于点D,分另ij则厶AFB、 BDC、 AEC都是直角三角形，四边形 BF=BB - BF=BB - AA=310 - 110=200,CD=CC - CD=CC - BB=710 - 310=400, ii=1 : 2, i2=1 : 1 , AF=2BF=400 , BD=CD=400 , 又 EF=BD=400 , DE=BF=200 , AE=AF+EF=800 , CE=CD+DE=600 ,过点B作BD丄CC于

16、点D, BBCD和BFED都是矩形，度i2=1： 1,景区因改造缆车线路，需要从5在 Rt AEC 中，AC+cP+6OO=1000 （米）.答：钢缆AC的长度是1000 米.点评：本题考查了解直角三角形的应用,及勾股定理的表达式，难度一般.5. ( 2014?乐山，第21题10分)如图，在梯形解答本题的关键是理解坡度坡角的定义,ABCD 中，AD / BC, / ADC=90 , / B=30 CE丄AB,垂足为点 E.若AD=1 , AB=3,求CE的长.考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形.分析：利用锐角三角函数关系得出 BH的长，进而得出 BC的长，即可得出 CE的长.解答：

17、解：过点A作AH丄BC于H，则AD=HC=1 ,在 ABH中，/B=30 , AB=2V,即 BH=ABcos30 BC=BH+BC=4/ CE丄 AB , CE=BC=2 .30。所对的边等于斜边的一点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中半等知识，得出 BH的长是解题关键.6. (2014?丽水，第22题10分)如图，已知等边 ABC , AB=12，以AB为直径的半圆与 BC边交于点 D，过点D作DF丄AC,垂足为F，过点F作FG丄AB，垂足为 G,连结GD .(1)求证：DF是O O的切线；(2 )求FG的长；(3)求 tan/ FGD 的值.考点：切线的判定；等边三角

18、形的性质；解直角三角形.分析：(1)连结0D，根据等边三角形的性质得/C=/ A= / B=60,而OD=OC，所以根据切线的判定/ ODB=60 / C,于是可判断 0D / AC,又 DF 丄 AC，贝U 0D 丄 DF ,定理可得DF是O 0的切线；中，由/ C=60 所以AF=AC -(2) 先证明 0D为 ABC的中位线，得到 BD=CD=6 .在Rt CDF得/ CDF=30 根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3 ,CF=9，然后在Rt AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；(3) 过D作DH丄AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG / DH ,根据平行

19、线的性质可得/ FGD= / GDH 解Rt BDH，得BH=BD=3 ,DH= VBH=3.解 Rt AFG，得 AG=AF=，贝U GH=AB - AG - BH=，于是根据正切函数的定义得到 tan/GDH=，贝U tan/ FGD可求.DH 2解答：(1)证明：连结0D，如图， ABC为等边三角形，/ C=/ A= / B=60 而 0D=0B , 0DB是等边三角形，/0DB=60 / 0DB= / C, 0D / AC ,/ DF 丄 AC , 0D 丄 DF , DF是O 0的切线；(2)解： 0D / AC ,点0为AB的中点, 0D为ABC的中位线， BD=CD=6 .在 R

20、t CDF 中，/ C=60 / CDF=30 CF=CD=3 , AF=AC - CF=12 - 3=9 ,在 Rt AFG 中，/ A=60 , FG=AF 冶inA=9 迈=J ；2 2(3)解：过D作DH丄AB于H ./ FG 丄 AB , DH 丄 AB , FG / DH ,/ FGD= / GDH .在 Rt BDH 中，/ B=60 ,/ BDH=30 BH=BD=3 , DH=VBH=3V . 在 Rt AFG 中，/ AFG=30 , AG=AF=,/ GH=AB - AG - BH=12 - 3=,_9 tan/ GDH=鱼=1,DH 3V3 2 tan/ FGD=tan

21、 / GDH=.2点评：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这 点(即为半径)，再证垂直即可.也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知 识.AB的高度CD的顶点C点的俯角/ EAC为30测得7. ( 2014?黑龙江哈尔滨,第24题6分)如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物 为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物建筑物CD的底部D点的俯角/ EAD为45 (1 )求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；(2 )求建筑物CD的高度(结果保留根号).第1题图考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：(1)根据题意得：BD / AE，从而得到/ 两建筑物

22、底部之间水平距离 BD的长度为BAD= / ADB=45 利用 BD=AB=60，求得 60米；(2)延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形 ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60 , 在Rt AFC中利用/ FAC=30。求得CF，然后即可求得 CD的长.解答：解：(1)根据题意得：BD / AE ,/ ADB= / EAD=45 / ABD=90 / BAD= / ADB=45 BD=AB=60 ,两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60 米;(2)延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形 ABDF为正方形, AF=BD=DF=60 ,在 Rt AFC 中，/ FAC=30 CF=

23、AF?tan/ FAC=60 还=20,3又 FD=60, CD=60 - 23,建筑物CD的高度为(60 - 20？)米.点评：考查解直角三角形的应用；得到以 AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破 点.8 （2014?湖北黄冈，第23题7分）如图，在南北方向的海岸线 MN上，有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船 C的求救信号.已知 A、B两船相距100 （忑+1 ）海里，船C在船A的北 偏东60方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点 D，测得船C正好在观测点D的南偏东75。方向上.请保留根号）.（1）分别求出A与C, A与D之间的距离AC和AD （如果运算结果有根号,（2）已

24、知距观测点 D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据:近1.411.73考点：解直角三角形的应用-方向角问题.分析：（1）作 CE 丄 AB,设 AE=x 海里，贝U BE=CE=Vx 海里.根据 AB=AE+BE=x+Vx=100(V3+1),求得x的值后即可求得 AC的长；过点D作DF丄AC于点F,同理求出AD的长;(2)作DF丄AC于点F,根据AD的长和/ DAF的度数求线段 DF的长后与100比较即可得到答案.解答：解：(1)如图，作CE丄AB,由题意得：/ ABC =45 / BAC=60设AE=x海里,在 RtA AEC

25、中，CE=AE?tan60=Ux;在 RtA BCE 中，BE=CE=Vx. AE+BE=x+Vx=100 （忑+1）,解得：x=100.AC=2x=200.在ACD 中，/ DAC=60 / ADC=75 则/ ACD=45 .过点D作DF丄AC于点F,设 AF=y,则 DF=CF=V5y, AC=y+Vy=200,解得：y=100 （ 民1）, AD=2y=200 3 - 1）.答：A与C之间的距离 AC为200海里，A与D之间的距离 AD为200 (勺-1)海里.（2）由（1）可知，DF=VAF=VX100 （灵1） . 127 127 100,所以巡逻船 A沿直线AC航线，在去营救的途

26、中没有触暗礁危险.点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答.9. （2014?湖北荆门,第20题10分）钓鱼岛自古以来就是中国的领土如图，我国甲、乙两 艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的处和正东方向的 B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得A处北偏东59方向、位于B处北偏西44方向若甲、乙两船分别沿 其平均速度分别是 20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到（参考数据：cos59 02, sin46 0.72）CAC处位于AC , BC方向航行，C处. 钓鱼岛第3

27、题图解直角三角形的应用-方向角问题.作CD丄AB于点D，由题意得：/ ACD=59 / DCB=44Rt ACD中，和在Rt BCD中，用a表示出AC和BC,然后除以速度即可求得时考点：分析：分别在间，比较即可确定答案解答： 解：如图，作 CD丄AB于点D,由题意得：/ ACD=59 , / DCB=44 ,设CD的长为a海里，在 Rt ACD 中，Q =cos/ACD ,AC，设CD的长为a海里, AC=CD = a .92a；cos-ZACD 0. 52在 Rt BCD 中，Q =cos/ BCD , BC BC=5=3 .39a；cmZBCD 0. 72其平均速度分别是 20海里/小时，

28、18海里/小时, 1.92a 吃0=0.096a.1.39a8=0.077a,/ a 0, 0.096a 0.077a,乙先到达.北*C詩北a,使得运算更C处测得 钓鱼岛点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数加方便，难度中等.10. （2014?四川成都，第16题6分）如图，在一次数学课外实践活动，小文在点 树的顶端A的仰角为37 BC=20m，求树的高度 AB .（参考数据：sin37 .60, cos37 0.80, tan37 0.75）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：通过解直角 ABC可以求得AB的长度.解答: 解: 如, 在直角 ABC 中,/

29、B=90 / C=37 BC=20m， tan C=,BC贝U AB=BC ?tanC=20xtan37 20）X）.75=15 （m）.答：树的高度AB为15m.点评：题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题.解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作 高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意， 把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.11. （2014?四川广安，第23题8分）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进 行了整改，如图，已知斜坡 AB长60“米，坡角（即/ BAC

30、）为45 BC丄AC ,现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE （下面两个小题结果都保留根号）.（1） 若修建的斜坡BE的坡比为75： 1,求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物 GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部 H的 仰角（即/ HDM ）为30点B、C、A、G, H在同一个平面内，点 C、A、G在同一条直 线上，且HG丄CG,问建筑物 GH高为多少米？考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：（l）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台 DE的长；

31、（2）首先设GH=x米，在RtA DMH中由三角函数的定义，即可求得GH的长.解答：解：(1)v FM / CG ,/ BDF= / BAC=45 斜坡AB长6米，D是AB的中点, BD=30V 米， DF=BD?cos/ BDF=32逵=30 （米）,BF=DF=30 米,2斜坡BE的坡比为 V3： 1, .B F卫,EF 1解得：EF=10V5 （米）， DE=DF - EF=30 - 1毗（米）;答：休闲平台 DE的长是（30- 10？）米；(2)设 GH=x 米，贝U MH=GH - GM=x - 30 (米),DM=AG+AP=33+30=63 (米), 在Rt DMH中，tan30

32、=帶即三弊誓，解得：x=30+2ld5,答：建筑物 GH的高为（30+23）米.点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义.此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.12. (2014?浙江绍兴，第21题10分)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁 边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1) 如图1,第一小组用一根木条 CD斜靠在护墙上，使得 DB与CB的长度相等，如果测 量得到/ CDB=38 求护墙与地面的倾斜角a的度数.(2) 如图2,第二小组用皮尺量的 EF为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点离地面FB 的高度为1.9

33、米，请你求出E点离地面FB的高度.(3) 如图3,第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测 得旗杆顶端A的仰角为45向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60求旗杆AE的高 度(精确到0.1 米).考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：(1)(2)为点根据/ a=2 / CDB即可得出答案；设EF的中点为 M，过M作MN丄BF, H，根据EH=2MN即可求出E点离地面垂足为点 N，过点E作EH丄BF，垂足FB的高度；延长AE，交PB于点C,设AE=x，则AC=x+3.8 , CQ=x - 0.2，根据區=4% ,QC得出X+3.8X

34、 - 0.2=3，求出 x 即可.解答：解：(1)v BD=BC ,/ CDB= / DCB ,/ a=2 / CDB=2 X3876 (2)设EF的中点为 M，过M作MN丄BF，垂足为点 N , 过点E作EH丄BF，垂足为点 H ,/ MN / AH , MN=1.9 , EH=2MN=3.8 (米), E点离地面 FB的高度是3.8米.(3)延长AE，交PB于点C,设 AE=x，贝U AC=x+3.8 ,/ APB=45 - PC=AC=x+3.8 , P Q=4, - CQ=x+3.8 - 4=x - 0.2, tan/ AQC= =tan60,QC X十3. 8 =品,x-0.23. 8+x= =祎.7,V3-1， AE 带.7 （米）.答；旗杆AE的高度是5.7米.c考点：分析：弦的定义求解.点评：此题考查了解直角三角形的应用，