浙教版九年级上册数学第三章微专题垂径定理有关的辅助线(解析版)

1、微专题 _垂径定理有关的辅助线一连半径构造直角三角形(教材 p78 作业题第 2 题)如图 1，在 o 中，半径 ocab 于点 d.已知 o 的半径为 2，ab3，求 dc 的长 (精确到 0.01)图 1教材母题答图解：如答图，连结 oa.113 oc ab， ad2ab2 32，2223 27 od oaad222，7 dc ocod2 2 0.68.【思想方法】求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解2019 呼和浩特 如图 2，cd 为 o 的直径，弦 ab cd，垂足为 m，若ab12， ommd 5 8，则 o 的周长为 (

2、b)a 26b139639 10c.5d.5图 2变形 1 答图【解析】 如答图，连结 oa，设 om5x，md 8x， oaod13x，又 ab 12，由垂径定理可得 am6，在 rtaom 中， (5x)262(13x)2 ，解得 x1132，半径 oa 2 ，根据周长公式c 2 r， o 的周长为 13.如图 3，已知 o 的半径为 5，点 a 到圆心 o 的距离为 3，则过点 a 的所有弦中，最短的弦长为(c)图 3a 4b6c8d 10已知 o 的直径 cd 10 cm，ab 是 o 的弦， ab 8 cm，且 abcd，垂足为 m，则 ac 的长为 (c)第 1页a 25cmb4

3、5 cmc 25 cm 或 4 5 cmd2 3 cm 或 4 3 cm【解析】如答图，连结 ac，ao. o 的直径 cd 10 cm，abcd，ab8 cm，1 1 am 2ab 284(cm)， odoc5 cm.当点 c 位置如答图 所示时， oa 5 cm， am 4 cm， ab cd， om oa2 am2 52 423(cm)， cmocom5 38(cm)， ac am2cm2 42824 5(cm)；变形 3 答图当点 c 位置如答图 所示时，同理可得om3 cm， oc 5 cm， mc532(cm)在 rtamc 中， ac am2mc2 42222 5(cm)故选 c

4、.如图 4，用一块直径为 a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为(b )a.212 22a b.4ac (2 1)ad(2 2)a【解析】从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，桌子的边长为22 22 a，用直径 a 减去桌子的边长刚好为2x 的长度， x4a.故选 b.图 4图 5如图 5，一块破残的轮片上，点o 是这块轮片的圆心， ab120 mm，c是 ab上的一点，ocab，垂足为 d，cd 20 mm，则原轮片的半径是 _100_mm.如图 6 是某风景区的一个圆拱形门， 路面 ab 宽为 2 m，净高 cd 为

5、5 m，则圆拱形门所在圆的半径为 _2.6_m.第 2页图 6变形 6 答图【解析】如答图，连结 oa.1在 rtoad 中， ad2ab 1(m)设 o 的半径为 r(m)，则 oaoc r(m)， od (5r) m，由勾股定理，得 oa2od2ad2，即 r2(5r)212，解得 r2.6.如图 7， o 是 abc 的外接圆，圆心o 在这个三角形的高线ad 上，ab10， bc12，求 o 的半径图 7变形 7 答图解：如答图，连结 ob.1 ad 是abc 的高线， abc 外接圆的圆心在ad 上， bd2bc 6.在 rtabd 中， ad ab2bd2 100368.设圆的半径是

6、 r，则 od8r.在 rtobd 中，由勾股定理，得r236 (8r)2，2525解得 r 4 .即 o 的半径为4 .二作圆心到弦的垂线巧解题(教材 p78 作业题第 6 题)已知：如图8，在 o 中，弦 abcd.求证： acbd.图 8教材母题答图证明：如答图，过点 o 作 oeab，交 o 于点 e， abcd ， oecd ，则 aeeb，ce ed， aece ebed，即 ac bd.【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题如图 9，矩形 abcd 与 o 相交于点 m，n，f，e，若 am2，de1，ef8，则

7、 mn 的长为 ( c )a 2b4c6d 8第 3页图 9变形 1 答图【解析】 如答图，过点 o 作 ohab 于点 h，交 cd 于点 g，则 mh hn，eg gf，四边形 adgh 是矩形， ahdg.1 eg 2ef4， dg de eg 1 4 5， ah 5.又aham mh 2mh 5， mh3，则 mn2mh 2 3 6.故选 c.2019 金华 如图 10，在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦ab 的长为 (c)a 10 cmb16 cmc 24 cmd26 cm图 10变形 2 答图【解析】如答图，在 rt ocb 中， oc5 c

8、m， ob 13 cm，根据勾股定理，得 bc ob2oc2 13252 12(cm) ab2bc 24(cm)2019 西宁 如图 11，ab 是 o 的直径，弦 cd 交 ab 于点 p，ap 2，bp 6， apc 30.则 cd 的长为 (c)a.15b25c 2 15d8图 11变形 3 答图【解析】如答图，作 ohcd 于 h，连结 oc， oh cd， hc hd ， ap2，bp6， ab 8， oa 4， opoaap2，在 rtoph 中， oph 30，1 oh 2op1，在 rtohc 中， oc 4， oh1， ch oc2oh2 15， cd 2ch 2 15.第

9、4页如图 12， o 的弦 ab，cd 反向延长交于点p，abcd.求证： op 平分 bpd.图 12变形 4 答图证明：如答图，连结 ob，od，过点 o 作 om ab 于点 m，oncd 于点 n，则由垂径定理，得 bm1 ，12ab dn2cd.又 ab cd ， bm dn.由勾股定理，得om2 ob2bm2， on2od2dn2. ob od，bmdn ， omon.又 omab，oncd， op 平分 bpd.如图 13，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽ab60 m，水面到拱顶距离cd18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽mn32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由图 13变形 5 答图解：不需要采取紧急措施理由：1设 oar(m)，在 rtaoc 中， ac 2ab30(m)，oc(r18) m.由勾股定理，得oa2ac2 oc2，即 r2302 (r18