空间点线面之间的位置关系(一

1、一、空间点线面之间的位置关系考试要求:1、2、熟练掌握点、线、面的概念；掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程;知识要点:1、公理(1)(2)(3)P的公共直线a公理1 :对直线a和平面a,若点A、B a , A、Ba，贝U (tCd 公理2 :若两个平面a、P有一个公共点P,则a、P有且只有一条过点 公理3 :不共线的三点可确定一个平面推论：一条直线和其外一点可确定一个平面 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面(4)公理4 :平行于同一条直线的两条直线平行2、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等. 空间两条不重合的直线有三种位

2、置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角0的范围是000 90例题解析1、三个平面将空间分成k个部分，求k的可能取值.分析：可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种三个平面相互平行(2)两个平面相互平行且与第三个平面相交(3)三个平面两两相交且交线重合(4)三个平面两两相交且交线平行(5)三个平面两两相交且交线相交例2、如图,A是平面BCD外的一点G,H分别是 MBCACD的重心,求证：GH/BD .DCC. a内存在唯一的直线与a平行D. a内的直线与a都相交例3、已知正方体ABCBABCD的棱长为a,则棱AiBi所在直线与面对 角线BC所在直线间的距离是能力

3、提升训练1.已知A、B表示点，b表示直线,Q、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（)(A) tA 匚K, BcdJ.ABcc(B) tAea,= h(C) Tbcc, Aeb,.Aecs（D）b,年a2.条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是（A）平行或异面（B）异面（C）相交（D）相交或异面和ACD的重心，若BD = m,贝U MN若直线I上有无数个点不在平面a内，则I /aB. 1C. 2D. 33.如图，空间四边形 ABCD中，M、N分别是AABC4.下列命题中正确的个数是（ 若直线I与平面平行，则I与平面内的任意一条直线都平行. 如果两条平行直线中的一条与一个平面

4、平行，那么另一条也与这个平面平行. 若直线I与平面a平行，则I与平面a内的任意一条直线都没有公共点.5.若直线a不平行于平面a ,且aa，则下列结论成立的是（A. a内的所有直线与a异面B. a内不存在与a平行的直线电话88435966（石岐校区第7339826（沙溪校区）6.已知a , b , c是三条直线，角a / b，且a与c的夹角为0 ,那么b与c夹角为7.如图，AA，是长方体的一条棱,C来源:Zxxk.ComA （第7题图）B这个长方体中与 AA垂直的棱共（第 10题图）8.如果a , b是异面直线，直线c与a , b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个.9. 已知两条相

5、交直线a， b， a /平面a则b与a的位置关系是一共可以确定几个平面？如果三条10. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面, 直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？11.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中:BM与ED平行.CN与BE是异面直线.CN与BM成60?角.DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是A.，B.，C.，12.下列命题中，正确的个数为（ 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； 平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变; 过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE，则N BAE是异面直线AB与CD所成的角; 四边相等，

6、且四个角也相等的四边形是正方形A. 0B. 1C. 2D. 313.在空间四边形 ABCD中，N，M分别是BC，AD的中点，贝U 2MN与AB + CD的大小关系14.已知a, b是一对异面直线，且a, b成70角，P为空间一定点，则在过P点的直线中与a, b所成的角都为70的直线有条.15.已知平面a P , P是平面a, P外的一点，过点P的直线m与平面a, P分别交于A C两点,过点P的直线n与平面 比P分别交于B, D两点，若PA = 6, AC =9, PD =8，则BD的长为16.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC = BD = a，且A

7、C与BD所成的角为90，贝U四边形EFGH的面积是17.已知正方体ABCD -ABQD 中，E， F分别为DG，AG Def =q .求证:(1) D , B , F , E四点共面;(2)若AC交平面DBFE于R点，贝U P，Q，R三点共线.二、直线与平面平行、平面与平面平行考试要求:1、掌握线面、面面平行的性质2、掌握线面平行的证明方法3、掌握面面平行的证明方法知识要点:1、直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内2、直线和平面平行的判定及性质(1) 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行。(简述为线线平行n线面平行)(2) 性质 如果一条直线和

8、一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 直线就和交线平行。(简述为 线面平行n线线平行)3、两个平面的位置关系：平行、相交4、两个平面平行的判定与性质(1) 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。(2) 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分.叫 做这两个平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离例题解析电话88435966(石岐校区$87339826(沙溪校区)C例1、如图，在三棱锥P-AB

9、C中，点0、D分别是AC PC的中点, 求证：0D/平面PAB例2、如图在四棱锥P-ABCD中, M N分别是AB PC的中点，若 ABCDl平行 四边形，求证：MN/平面PAD例3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABGD中,求证：平面 ABD/平面CBDC例4、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1Dt,其棱长为1.求证：平面AB1C/平面A1C1D.C.川I变式拓展：在正方体 ABCD-A1B1C1D中,M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D的中点.求证:平面AM/平面EFDB.0| F例5、已知正方体ABCD-A B C D中,面对角线AB、BC的中点分别为点E、

10、F,且B E=C F.CB/fl 、R求证:(1)EF /平面 A ACC ;(2)平面 ACD /平面 A BC .例&已知平面a /P，P a且P P ,过点P的直线m与a、P分别交于A C,过点P的直线n与a、P分别交于rB、D,且 PA=6 AC=9 PD=8,求 BD的长.提示:例7、在正方形 丽CD -AiBiCPi中，已知正方体的棱长为 Q , M N分别在其对角线AD与DB 上，若 AM=BN=x求证：MN/平面CDDC;设MN=y求y=f（x）的表达式；求MN的最小值，并求此时x的值；求AD与BD所成的角。(1)(2)(3)(4)1.2.能力提升训练a/ P的是:是两个不重合

11、的平面，在下列条件中，可判定.a，b是平面a内的直线，且a/ P，b/ P;.a内不共线的三点到平面P的距离相等；（3）. a ,P都垂直于平面V ;.a，b是两条异面直线，且均与平面平行； 下列命题正确的是： （填序号）（1）平行于同一条直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行;（3）垂直于同一直线的两个平面平行；（4）与同一直线成等角的两个平面平行;3. 下列命题，其中真命题的个数为若直线a在平面a外，则a/ a;若直线a / b,直线 bua,贝U a/ Ct;若直线a / b,b ua,那么直线a就平行于平面a内的无数条直线.电话88435966（石岐校区）8733982

12、6（沙溪校区） 直线I平行于平面a内的无数条直线，则I /a;若 I / n 且 mil n,贝U I / m若 I / a 且 m/a，贝U I / m 若 n / a 且 n / P ,贝 U a / 3 ； 若 a / 丫且 3 / Y ,贝U a / 3 ；其中正确命题的序号是.（把正确命题的序号都填上）.5.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面6.在正方体ABCD-AiCiD中，M N P分别是GC、BQ、GD的中点,

13、求证：平面 MNP/平面AiBDAP作平面交平面BDM于GH,8已知ABCDi平行四边形，点P7.如图，在正三棱锥 S-ABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，C且 CD =2DA , CE =2ES, CF =2FB , G 是 AB 的中点.（1）求证：平面 SAB /平面 DEF ; （2）求证: SG / 平面 DEF三、直线与平面垂直、平面与平面垂直考试要求：4、掌握线面、面面垂直的性质5、掌握线面垂直的证明方法6、掌握面面垂直的证明方法知识要点:1、线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一三垂线定理：在平面内的一条直线，

14、如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。如果和这个平面的一条。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。PO 丄 a,O= a丄AO。a 匚 a, a 丄 AP J注意：三垂线指PA PO AO都垂直a内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理*要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。2、线面垂直的定义如果直线I和平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 I与平面a垂直，记作I丄a。3、线面垂直的判定及性质（1）判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。（2）性质 垂直于同一平面

15、的两条直线平行。4、线面角直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角。特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在 平面内，我们说它们所成的角是0的角，6（）气9炉5、二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两 个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角a l P。二面角的取值范围是（叽1炉。电话88435966（石岐校区87339826（沙溪校区）6、面面垂直的判定及性质(1) 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直。

16、简述为“线 面垂直，则面面垂直”。(2) 性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。例题解析例1、已知，如图正方体 ABCD -AiBiCiDi中BiCi求证:AC丄平面ABiDir I1、/1 /zD-BD例2、在正方体ABCDAiBCD中，求证：AC丄平面BCD.例3、如图,在直三棱柱ABC- ABiC中,AC= 3, BO4, AB=5,AA= 4,点 D是 AB的中点,(I )求证：AC!BC;(II )求证：AG/平面CDB;(III )求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值.Di例4、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角 梯形,AB/DC,乙

17、dab =90 ,PA 丄底面 ABCD 且PA=AD=DC=AB=i, M是 PB的中点。2证明：面PADL面PCD例5、已知四棱锥 P-ABCD底面ABCDi菱形， N DAB =60。, PD丄平面ABCD PD=AD 点 E为AB中占I 八、5点F为PD中点.(1)证明平面PEDL平面PAB (2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.C(1 )若 all a , a 丄 b ,则 b 丄 a(4)若 a 丄 a， allb，贝U b 丄 a(2)若 allot, b 丄a，贝y a 丄 b(5)、若 a 丄 a , b 丄a，则 allb如图所示，在斜边为 AB的Rt ABC中，过A

18、作PAI平面ABC AML PB于M，AN! PC于N。 (1)求证：BC丄面PAC ( 2)求证：PB丄面AMN(3) 若PA=AB=4设/ BPC=e，试用tan 0表示 AMN的面积，当tan 0取何值时， AMN勺面 积最大？最大面积是多少？能力提升训练 线面垂直练习1、下列命题中正确的序号是:(3)若 b 丄 a , a 丄b ,则 allot2、与两条异面直线同时垂直的平面有个.3、若m、n表示直线，a表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为m / nm丄a?门丄am丄am丄apm/ n;pm 丄 n;n丄an /am / ap n丄m丄nJ(X.4、PA垂直于以AB为直径的圆所在

19、平面，C为圆上异于A , B的任一点,则下列关系正确的是PA丄BC :BC丄平面PAC;AC丄PB :PC丄BC.5、卩为 ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影.Aa(1)若P到 ABC三边距离相等，且 0在 ABC的内部，贝U 0是 ABC的心;心;若PA丄BC, PB丄AC，贝U 0是 ABC的心.(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，贝y O是 ABC的电话88435966(石岐校区1087339826(沙溪校区)6、如图所示，在正三棱柱 ABC -ABQ中，底面边长和侧棱都是 2, D是侧棱CC1上任意一点.E是AB1的中点.（1）求证：ABJ平面ABD （2）求证：

20、AB丄CE7、已知正方形ABCD的边长为 锥ABCD，如图所示.求证：AO丄平面BCD ;1, AC Pl BD=O .将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC = 1，得到三棱DCAD8、（ 2011江苏高考改编）如图，四棱锥P-ABCD中，PD.丄平面 ABCD ,P D=DC=BC=1,AB=2,AB / DC , / BCD=90 0 , 求证：PC 丄 BC9、如图，在四面体SABC 中，SA=SB=SC ,BO丄平面SAC求证:/ ASC=9010、（2011.湖北高考第18题）如图，已知三棱柱ABC-ABjCj 中，a ABC 和AAi Bi Ci为边长2正三角形，侧棱垂直于底面

21、，AE =22 , BF = J2求证：CF 丄 C1E侧棱长为2 ,11、如图，PA=BC=6 , AC=8 , PC=AB=10，点E在线段 AB上，CE丄平面PAB, F是线段PB上一点，CF=再異。12、如图，四边形 ABCD为矩形，BC丄平面ABE ,F为CE上的点，且BF丄平面ACE.B(1)求证：PC丄BC;(2)求证：PB丄平面 CEF。求证：AE丄BE ; 设点M为线段AB的中点，点 N为线段CE的中点.求证：MN /平面DAE .13、如图,在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面ABCD , E,F分别是AB , PC的中点。(1)求证：CD丄PD

22、;求证：EF/平面PAD;直线PD与平面ABCD成多大角时，直线 EF丄平面PCD ?D14、如图,四面体 ABCD中，CD丄平面ABC , AC丄BC, H为C点在面ABD内的射影，P为棱BC的中点，连结AH并延长交BD于M。(1)求证：AC丄BD ;(2)求证：点H为 ABD的垂心;(3)试过点P与点M作四面体ABCD的一个截面，使之与 CH平行。B电话88435966(石岐校区87339826(沙溪校区)能力提升强化训练 题型1:线线垂直问题1.如图1所示，已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F、G、H、L、M、N分别为AiDi,AiBi，BC，CD，DA，DE，CL 的中点，求证：EF丄GF。;丿/* ； !/! / / 好了题型2:线面垂直问题2.(i)(2006北京文，i7)如图，ABCD AiBiCiDi是正四棱柱，求证:BD丄平面ACC iA i。i面CDE是等边三角形，棱EF/-Be。D(II)设BC=D,证明EO丄平面。(2) (2006天津文，i9)如图，在五面体 ABCDEF中，点0是矩形ABCD的对角线的交点,(I)证明FO/平面CDE;；3.如图，直三棱柱 ABCAiBiCi 中，AC =BC = i，/ACB = 90, AAi =2，D 是 AiBi中点.(i)求证C