直线与二次曲线

1、直线与二次曲线直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决：1.弦长问题. 2 2例1.设椭圆6x +2y =12中有一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为-,直线AP ,BP的斜率符合 k AP +kBP =0,3(1)试证过A,B的直线的斜率是定值;求PAB面积的最大值.解：将 OP : y =73x代入 6x2 +2y2 =12得 P(1, j3),卩2(_1,_(5).将3=o，上斗 + X2 J 相乘得：kAB=IL=J3.X1 -1X2 -1yV3 y2 +岛Xb -Xa(2)不妨设 AB 为：y = J3x +b,代入 6x 2 +2y 2 =12,得:6x 2 + 2 J3bx

2、 +b2 -6 =0+be/|xa *屮6一尹，卩到AB的距离为：dU|b|,”.s誉pB=m3j(12兰j3.此时 b = +y6.6例2.已知点 A(r/3,0)和B(J3,O),动点C到A,B两点的距离的差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x 2交于D, E两点，求线段DE的长。 答案：设点C (x, y), 根据双曲线的定义，可知点则 |CA|-|CB|= 2C的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为:2 2x y,一=1,由2aa22=2,2c=2,得 a? =1,=2二点C的轨迹方程是2-y =122 y 1 -丁 rn得=x -2I 2(2)由 0,.直线与双曲线有两个交点D、E,设D

3、(X1, y1), E (X2, y2),则 X1+X2= 4, X1X2= -&”DE ujm _X2)2 +(y -y 2 )2 = /-J(x + x 2 )2 - 4 x x 2 = 4 75+4x -6 =02.对称冋题例3.在以0为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为 OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B的坐标大于零。(1)求向量 AB的坐标；2 2求圆x -6x+y +2y=0关于直线OB对称的圆的方程;2(3)是否存在实数a,使抛物线y=ax -1上总有关于直线0B对称的两个点？若不存在,说明理由；若存在，求 a的取值范围。答案：(1)AB =6,8(2) (x

4、 -1)2 +(y _3)2 =10(3)设P(x1, y1 ), Q(x2, y2)为抛物线上关于直线OB对称的两点 ，则x1 +x2 c y 1 f c 2 =U2y1 -y2=-2X1 -X2X1 +X2 得；a15 -2aX1X2 =2a即x1,x2为方程2+ -xa5 9a+土2=0的两个相异实根22a5 -2a于是心=t -42a2a0,得a A3 ,故存在2例4.给定椭圆C:x2+4y2= 4.(1)若A,B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意相异两点，求这两点的对称轴L在x轴上的截距t的取值范围；(2)对于(1)中的t的取值范围内的to,过点M (to,0)作直线L,设L是曲线C上

5、关于坐标轴不 对称的两点A,B的对称轴，求直线L的斜率k的取值范围.解：设A(X1 ,y1),B(X2,y2),则L的方程为XX1 (X -y2 y133令 y =0,得 t = (X ! +x 2)引 j,4),故一82t(2)设直线L的方程为 ：y =k (X -t 0) (k H0), AB的中点为4kP(- to to ).33则(4to)232k 229 41 o+ 4( to)4,即 k ;或 k 亡 R,且 k32toH0( t。=0)二当to =0时八R,且kH0;当toH0时，一厂J|to |kJ9 -4to2 b 0),b 22 a =3 b故椭圆方程x2+3y2 =3b2

6、设A(Xi ,yi)、B(X2,y2),由于点C ( 1, 0)分有向线段AB的比为2,Xi +2x2=_13y2y2fX1 +1 =/(X2 +1)=0 i3即 ly1 y2(X2 + 3y2 =3bly =k(X +1)消去y整理并化简得2 2 2 2 2 .(3k2+1)x2+6k2x+3k2 3b2=0由直线 I与椭圆E相交于 A(xi,yi),B(X2,y2)42,22 = 36 k -4 (3 k +1)( 3 k -2 b ) A 0+6k2X1 +x2 =23k +1223k 3b23k +1XlX21 3y 2 I=|-2y2 2= |y2| =2 22由得：X2+1= Sk

7、2 +1，代入得：$ oab = =P丄(k HO) 3k +13 |k(X2 +1) = 3 |k |X2 +1 |2 2(n)因 OAB =3|k I2_ 0恒成立,例6.已知曲线 M是由方程 :J(x + C)2 + y2c为正常数c=|3 + -x|的点所组成 ，其中3判断曲线的形状，简单说明理由P,Q,它们的中点为R,且Xr2 J2(2)若直线 y =(X +C)交M于不同两点3求曲线M的方程;对于(2)中所求的曲线 M,过点A(/,0)的直线交M于B , C ,交直线点D,点A ,D分BC所成的比分别为几1,兀2,求证：几1+ Z2=0.解：(1)原方程可化为 :山X 2 +y9|

8、x +Icc：=_,当c=3时,M为直线y=0,3当03时,为双曲线；当0c0,代入y =-1x2 +6中，整理得2:-x2 +2x + b _6 =02=2j5(16 _2b)l AB 1=2 J(1 + 22)4 _2(b _6)1 1 bi-S =_|AB |d =_ 2J5(16 _2b) =J(16 _2b) ,b .b ”2112、75 、R b+b+b M此时方程为V3916+ 32.如图点F(a, 0),( a0),点P在y轴上运动，皿在x轴上,N为动点,且 PM PF =0, PN +PM =0 (1)求点N的轨迹C的方程；过点F( a，0)的直线I (不与X轴垂直)与曲线C

9、交于A、B两点,JJT设点K(-a,0),KA与KB的夹角为 &求证：0日：上.2答案.(1)(方法一)设N(x,y), 丁 PN +PM =0即P是MN的中点，y_2.-1 a_y y 2/. M(7,0), P(0, 厂PM PF =0,. PM 丄PF,. 22x y2=4ax即为所求.(方法二)设 N (x, y), M (xo, 0), P (0, y。)则 PM =&0，_0), PF =(a,_y0), PN =(x,y-y0).由 PM 卩F =0,得 axo+y。=0,由 PN +PM =0,得(x +x。，y -2y) =0,=x,Ix0即 x o, jy _20 =0,i

10、y。y代入得 )2:y 2 =4ax,即为所求(2 )设I的方程为y=k (X a)._4a2 =0.由 F=4aX,消去 X得：y2jly|y =k(x -a),k2设A(xi, yi), B(X2, y2),则yiy2= 4a ,KA =(X1 +a,y1), kb =(x 2 +a, y 2), KA ，KB =( x 1 + a)(x 2 +a) + yy 22=X1X2 +a(X1 +X2)+a + y, 22 2y1 y2-(4a)22(A4a2丄y 2 、丄 2.2+) +a 4a4a122212=(y1 +y2 ) -2a A (2 Iy1y2 I) -2a44122X4a2-

11、2a =0kb. KA,kbc c c 兀二 cos一 A0，”.0 吒百.I KA II kb I273，动点M到A的距离为4，线段mb的垂直平分线L交MA于点P,请你建立适当的直角坐标系.（1）求点P的轨迹C的方程；（2） 设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，0为坐标原点，试求 OEF的面积.答案：（1）以AB所在直线为X轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；则A（五0) , B (罷,0) , / I AP I + I PB I = I PA I + I PM I =4 23 , P点的轨迹为以A , B为焦点，长轴长为4的椭圆(4分) 2a=4, 2。=2丁.如图，A

12、、B为两个定点，且 I AB | =2 , a=2, c= 73 , b=1,2 P点的轨迹方程为 +y2=1. （6分）4(2)设 E (Xi, yi), F (X2, y2)卜 _y +1 =0 由 2x(ii)当-1k0时，双曲线焦点在y轴上，a2 = 4 -k2 得(y _1)2 +4y2 _4 =0+y =1L423即 5y -2y-3=0.解得 y1=- , y2=1,5设直线x-y+1=0与X轴的交点为P (-1 , 0)1 128455二OEF=SOPe+Saopf= | OP II y1 | + | OP | | y2 |21 1 =I OP I 2 (I y1 I + I

13、y2 I)二丄 X132 24. 已知曲线C的方程为：kx 2 +(4 -k)y2 =k +1仆迂R)(I)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；(n)若曲线c是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60,求此双曲线的方程;(川)满足(n)的双曲线上是否存在两点P, Q关于直线I: y=x-1对称，(I)当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k丰0且kz -1且k丰4时方程为若存在，求出过 P, Q的直线方程；若不存在，说明理由。答案：(川)若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+mk +12xk +1k2+丄k +14 -k.(1)方程(1)表示椭圆的充要条件是(n)方程(1)表示双曲线的充要条件是

14、 口(i)当k4时，双曲线焦点在X轴上，a2kk +14 -kk +1k +1 c,00 即是 0k2 或 2k4k +1H4 -k即 k-1 或-1k4k +1k -4其一条渐近线的斜率为 -=73得k=6k +1k +1a V k 4其一条渐近线的斜率为=73，得 k=6 (舍)k 4综上得双曲线方程为2y-=17 7jy z消去y，得 4x2 +4mxj6x -2y =72m2 _7 =0 ( 2)设P, Q的中点是M (x0,y0)，则,ly。2 , M的直线I上，竺 3m22m-1 ,2解得m =_丄，方程 的 0,二存在满足条件的P Q,直线PQ的方程为22 5.如图，直线y=X+

15、b与抛物线y =2x相交于A、B两点，O为坐标原点，求当b为何值时,OA 丄 OB ?答案：把y=x+b代入y2=2x并整理得:2 2X +(2b 2)x+b =0,2 2 13分由 =(2b 2) 4b 0得b0, b 0)交于a bP, Q两点，直线L与y轴交于 R点，且OP QQ =, PR =3RQ ,求直线和双曲线的方程0, b 0)的两个焦点分别为F1 , F2 ,斜率为26的直线L过右焦点F2与双曲线交于A、B两点，与y轴交于点M.若点B分 MF的答案： e=j3 , b 27.如图，双曲线C :-1 (a ab2=2a2,；双曲线方程可化为2x2-y2=2a2 2 2 2 2

16、2设直线方程为 y=x+m 由x -2mx-m -2a =0 2x -y =2a ： =4m2+4 ( m2+2a2) O,；直线一定与双曲线相交、 2 2设P (xi，yi)，Q(X2, y2)，则 Xi+X2=2m，xix2=-m -2a PR =3pQ , xr= X 1 +3x 2 =0,., x1=-3x2 (以下有两种解法)4222f.22X2=-m , -3x2 =-m -2a，消去 x?得，m =a 222OP OQ =x1X2+y1y2=x1X2+ (x1+m ) (x2+m) =2x 1x2+m (x1 +x2) +m =m -4a =-32- m= 1, a2=1, b2

17、=1，直线方程为y=x 1，双曲线方程为x2- =12或解：由 x1+x2=2m , x1=-3x2，得 x2=-m, x1=3m , 2- OP OQ =x1x2+y 1y2=x1x2+ (x1+m ) (x2+m) =x1x2= -3m =-32- m= 1, a=1 ,=2，直线方程为y=x 1，双曲线方程为x?- =123比值为2.(1)求双曲线离心率e的值;(2)若弦AB的中点到右准线的距离25为25时,求双曲线的方程答案：(1)设 L : y =2 Jia _c),则 M (0, /J6), F(c,O),-点 B 分 MF 2为入=2,则2c3将B点代入双曲线，得4c29a28c

18、23b22c2=1,又=e , e =3.aL(2)由 e =3,知 c =3a,b =2#2a，由 a2b =276(x -3)得,2 2x2-9ax+14a 2=0. 弦AB勺中点横坐标为X。=9a ,又由| x29a=22a3a 25 口,解得，a = 2, b3= 4v2.故所求双曲线方程为8.设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2 =2j3x 4的顶点为双曲线的右焦抛物线的准线为双曲线的右准线 .（I）试求双曲线C的方程；（n）设直线I: y=2x+1与双曲线C交于A B两点，求|AB ;（川）对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k，使直线I与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax（

19、a为常数）对称，若存在，求出 k值；若不存在，请说明理由答案：（I）由抛物线y2=2 73x-4,即y2=2V3（x- A）,可知抛物线顶点为（ 厶,0 ）,准线方（343程为XU36在双曲线C中，中心在原点，右焦点(上,0),右准线7362c a2Js-6=a2 +b223c =3双曲线C的方程3X2- y2=l,|y =2x +1由=3x2 _（2x +1）2 =1= X2 +4x +2 =0 =1(川)假设存在实数k,使A、E关于直线 y=axX寸称，设 A(Xi,yi)、8(X2, y2).ka则y+ y 2 =k（X +x 2 ） +202=a2X +x 22y =kx +1由仁3x

20、21（3 _k2）x2 _2kX _2 =0由，有 a(Xi+X2)=k(Xi+X2)+22 k由知：Xi+X2=代入3 k整理得ak=3与矛盾，故不存在实数 k,使A B关于直线y=ax对称.9.双曲线的中心在坐标原点，焦点在X轴上，过双曲线右焦点且斜率为J y-产=1 代入直线 y =J（X c）（其中 c=Ja2 + b2）得 a b5的直线交双曲线于P,Q两点，若0P丄0Q,| PQ 1 = 4,求双曲线方程答案：设双曲线为*5(5b 2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0 设其两根为 xi 冷，若 5b2-3a2=0不符2 2 2 2 2. X1 +X2 =6a

21、 c3a c +5a b2 25b 3aT x 1x2 =5b 3a又 P(x1 /xy答案：(1)设椭圆为 p+J(x -c), Q(x2 , J3(X2 c)由 OP JOQ 得 3c(x1 +x 2) -SXt X2 -3c2 =0 55代入整理得：3aa b+8a2b2-3b4=0,即时(a2+3b2)(3a2-b2)=0,所以 b2=3a2,c=2a2 2 2由 |P Q 1=4 得(Xi + x 2)-4x2 10 =0,得 a =1,b=322 y故双曲线为 x =1310.已知椭圆的焦点是f1(_J3,o)和F2(J3,o),离心率为 (1)求椭圆上的点到直线2x+3y+8=0

22、距离的最大值; 2(2)若P在椭圆上 ，PFtF2 =求APF1F2的面积33=1半焦距为c,则C=J3,-a 22 2- a =4,b =1根有元方程为2x 2 “ +y =14设根有元上点 P (2cos 0, sin 0)则P到直线2x+3y+8=0的距离d=4 cos 0+3 sin 0 +85sin( 0 +4)713当且仅当 sin ( 0 +4) =1时，根有元上点P的直线2x+3y+8=0距离最大为庁(2) PFt PF2 2=PF1 PF2 cos Z F1PF2=3=PFt +PF2 2 PF冋慝 cos /F1 PF2P Ft + PF2 =4 12= ( PF1 + PF2 ) -2 PF1 PF22 -2 2=16-2 PFt PF3 PFt PF21 J3