最值系列之费马点问题

1、最值系列之费马点皮耶德费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫 业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积 分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定 理”、“费马大定理”等.据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的 证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的。直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330 年.言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点.问题描述 在 ABC内找一点P,使得PA+PB+

2、PC最小.若点P满足/ PAB玄BPC玄CPA=120，贝J PA+PB+P值最小，P点称为该三角形的费马点.接下来讨论3个问题:（1）如何作三角形的费马点？（是什么）（2）为什么是这个点？（为什么）（3）费马点怎么考？（怎么办）01如何作三角形的费马点?是什么?问题要从初一学到的全等说起:如图，分别以 ABC中的AB、AC为边,作等边 ABD等边 ACE连接CD BE即有一组手拉手全等：记CD BE交点为P,点P即为费马点.（到这一步其实就可以了）以BC为边作等边 BCF连接AF,必过点P,有/ PAB玄BPC玄CPA=120 .E在图三的模型里有结论:(1)z BPD=60 ;(2)连接A

3、P, AP平分/ DPE有这两个结论便足以说明/ PAB玄BPC玄CPA=120 .原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识!但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是/ BACV120，若/ BAO 120,这个图就不是这个图了，会长成这个样子:此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗?答：这时候就不是了，显然 P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和.所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是 A点！当然这种情况不会考的,就不多说了.02为什么是这个点?为什么?为什么P点满足/ PAB玄BPC玄CPA=120 , PA+PB+P值

4、就会最小呢?答：归根结底，还是要重组这里 3条线段：PA PB PC的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图中，如下有 ADCA ABE可得：CD=BE类似的手拉手，在图中有3组，可得：AF=BE=CD巧的嘞，它们仨的长度居然一样长!更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+P啲最小值，这一点是可以猜想得到的, 毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值!接下来才是真正的证明:考虑到/ APB=120，二/ APE=60 ,则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP 则APQ是等边三角形. APQACE均为等边三角形，且共顶点 A,故APCAQE, PC=QE以上两步分别转化 PA二PQ PC=Q

5、E 故 PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE没有对比就没有差别，我们换个 P点位置，如下右图,同样可以构造等边 APQ同样有APC AQE 转化 PA二PQ PC=QE显然，PA+PB+PC二PB+P Q+QEBE03费马点怎么考?小试牛刀2019武汉中考填空最后一题:问题背景：如图1,将 ABC绕点A逆时针旋转60。得到 ADE, DE与BC交于点P,可推出结论：PA+P C=P问题解决：如图 2,在 MNG 中，MN=6,/ M=75, MG=4d0，点 O 是 MNG内一点，则点O到 MNG三个顶点的距离和的最小值是G图2本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60的旋转，当然如果

6、已经了解了费马点问题，直接来解决就好了!如图，以MG为边作等边 MGH，连接NH,贝J NH的值即为所求的点 0到 MNG三个顶点的距离和的最小值.（此处不再证明）Z / / G过点H作HQ丄NM交NM延长线于Q点,根据/ NMG=75,Z GMH=60,可得/ HMQ=45, MHQ是等腰直角三角形, MQ二HQ=4, NH=2倍根号 29./练习 1 如图，在 ABC中，/ ACB=90 , AB二AC=1 P是 ABC内一点，求 PA+PB+PC的最小值.【分析】如图，以AD为边构造等边 ACD连接BD, BD的长即为PA+PB+P啲最小值.至于点P的位置？这不重要!如何求BD?考虑到

7、ABC和 ACD都是特殊的三角形，过点 D作DH丄BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，BD2=BH2+DH2即可得出结果.练习2如图，已知矩形 ABCD AB=4, BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为【分析】依然构造60旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以 AD AM为边构造等边 ADF等边 AMG，连接FG,易证 AMDA AGF, MD=GF ME+MA+MD二ME+EG+GF过F作FH丄BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值.FJMH A? I 练习3问题提出(1)如图，点M、N是直线1外两点，在直线1上找一点K,使得MK+NK最小.问题探究(2)在等边三角形ABC内有一点P,且pg 3, PB= 4, PO 5,求/APB度数的大小.问题解决(3)如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB= 3朋米，BC= 60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E,使得到公园出口 A、B, C的距离之和最小.E?问：是否存在这样的点若不存在，请说明理由.若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC勺和的最小值;练习4(1)请在下图三角形ABC的边BC上作一点P,使得AP最短(2)如图，点P为三角形ABC内部一点，且满足/ APB二/BPC玄APC求证:点P到点A、B、C的距离之和最短，即PA+