概率论与数理统计第二章答案(最新整理)

1、1、解：第二章随机变量及其分布16设公司赔付金额为 x ，则 x 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20 万，概率为 0.0002投保一年内因其他原因死亡：5 万，概率为 0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为 1-0.0002-0.0010=0.9988所以 x 的分布律为：2500000.0002.0010.99882、一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 x 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 x 的分布律解：x 可以取值 3，4，5，分布律为1 c 2c3p( x = 3) = p(一球为3号, 两球为1,2号) =2 =51101 c

2、23p( x = 4) = p(一球为4号, 再在1,2,3中任取两球) =3 =c35101 c 26p( x = 5) = p(一球为5号, 再在1,2,3,4中任取两球) =4 =c3510也可列为下表x： 3， 4，5p： 1 , 3 , 6 10 10 103、设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 x 表示取出次品的只数，（1）求 x 的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数 x 可能为 0，1，2 个。22c 3c335p( x = 0) = 13 =15po1212c1 c 2c335p( x = 1)

3、= 213 =151c 2 c1c335p( x = 2) = 213 =15再列为下表xx：0， 1， 2p： 22 , 12 , 1 3535 354、进行重复独立实验，设每次成功的概率为 p，失败的概率为 q =1p(0p1)（1） 将实验进行到出现一次成功为止，以 x 表示所需的试验次数，求 x 的分布律。（此时称 x 服从以 p 为参数的几何分布。）（2） 将实验进行到出现 r 次成功为止，以 y 表示所需的试验次数，求 y 的分布律（。此时称 y 服从以 r, p 为参数的巴斯卡分布。）（3） 一篮球运动员的投篮命中率为 45%，以 x 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出 x

4、的分布律，并计算 x 取偶数的概率。解：（1）p (x=k)=qk1pk=1,2,q pp = c（2）y=r+n=最后一次实验前 r+n1 次有 n 次失败，且最后一次成功r +n-1p(y = r + n) = c nn r -1nr +n-1qn pr ,n = 0,1,2, l, 其中 q=1p，k -1或记 r+n=k，则 py=k= c r-1 pr (1 - p) k-r ,k = r, r + 1,l（3）p (x=k) = (0.55)k10.45k=1,22k -111p (x 取偶数)= p( x = 2k ) = (0.55)0.45 = 31k =1k =15、 一房

5、间有 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1） 以 x 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 x 的分布律。（2） 户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 y 的分布律。（3） 求试飞次数 x 小于 y 的概率；求试飞次数 y 小于 x 的概率。解：（1）x 的可能取值为 1，2，3，n，p x=n=p 前 n1 次飞向了另 2 扇窗子，第 n 次飞了出

6、去= ( 2 ) n-1 1 ，n=1，2，33（2）y 的可能取值为 1，2，3p y=1=p 第 1 次飞了出去= 13p y=2=p 第 1 次飞向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飞了出去= 2 1 = 1323p y=3=p 第 1，2 次飞向了另 2 扇窗子，第 3 次飞了出去= 2! = 13!33(3)px y = py = kpx y | y = kk =1全概率公式并注意到3= py = kpx y | y = kk =23 px y | y = 1 = 0= py = kpx kk =2= 1 1 + 1 1 + 2 1 = 8注意到x ,y独立即px y | y =

7、k= px k3333 333 27同上， px = y = py = kpx = y | y = kk =13= py = kpx = k = 1 1 + 1 2 + 1 4 = 19k =133393832781故 py x = 1 - px y)=p (x=1, y=0)+p (x=2, y=0)+p (x=2, y=1)+p (x=3) p (y=0)+ p (x=3) p (y=1)+ p (x=3) p (y=2)=p (x=1) p (y=0) + p (x=2, y=0)+ p (x=2, y=1)+p (x=3) p (y=0)+ p (x=3) p (y=1)+ p (x=

8、3) p (y=2)=c1 0.6 (0.4) 2 (0.3)3 + c 2 (0.6) 2 0.4 (0.3)8 +33c 2 (0.6) 2 0.4 c1 0.7 (0.3) 2 + (0.6)3333 (0.3)3 + (0.6)3 c1 0.7 (0.3) 2 + (0.6)33c 2 (0.7)2 0.3 = 0.2439、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取 10 件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 5 件，仅当 5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为 10%，求（1） 这批产品经第一次检验就能接受的概

9、率（2） 需作第二次检验的概率（3） 这批产品按第 2 次检验的标准被接受的概率（4） 这批产品在第 1 次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5） 这批产品被接受的概率解：x 表示 10 件中次品的个数，y 表示 5 件中次品的个数，由于产品总数很大，故 xb（10，0.1），yb（5，0.1）（近似服从）（1）p x=0=0.9100.349（2）p x2=p x=2+ p x=1= c 2 0.120.98 + c1 0.10.99 0.5811010（3）p y=0=0.9 50.590（4）p 0x2，y=0(0x2与 y=2独立)= p 0x2p y=0=0.5810.590

10、 0.343（5）p x=0+ p 0 3 = px 4 = 0.56653013. 某一公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 x 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1） 求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率。（2） 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率。t解：l=23x : p(l)- 3l=2px = 0 = e 2 = 0.22315l=214、解： x p(2t)px 1 = k =12.5k e-2.5 k != 0.918（1）、t = 10 分钟时t =1小时，61-1

11、lk e-ke 3px = 1 = 3= 0.2388k !1（2）、 px = 0 0.5 故(2t )0 e-2t1 0.5 t 0.34657 （小时）所以t 0.34657 * 60 20.79 （分钟）15、解：px 10 = 10 5000 (0.0015)k (1- 0.0015)5000-kkk =0 px 10 0.8622n = 1000, p = 0.0001,l= np = 0.116、解： px 2 = 1- px = 0 - px = 1=l0e-lle1 -l1- 1- 0.9953 = 0.00470!1!17、解：设 x 服从(0 : 1) 分布，其分布率为

12、px = k = pk (1- p)1-k , k = 0,1 ，求 x 的分布函数，并作出其图形。解一：x01pk1- ppx : (0,1)x 的分布函数为：0,1f ( x) = - p ,1 ,x 00 x 1x 118在区间0, a 上任意投掷一个质点，以 x 表示这个质点的坐标。设这个质点落在0, a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求 x 的分布函数。解： 当 x a 时，x x 是必然事件，有 f ( x) = px x = 10 a f ( x) x1,x a19、以 x 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），x的分布函数是0f (

13、x) = 1 - e -0.4 x ,xx 0x 0求下述概率：（1）p至多 3 分钟；（2）p 至少 4 分钟；（3）p3 分钟至 4 分钟之间；（4）p至多 3 分钟或至少 4 分钟；（5）p恰好 2.5 分钟解：（1）p至多 3 分钟= p x3 = fx (3) = 1 - e -1.2（2）p 至少 4 分钟 p (x 4) =1 - fx (4) = e -1.6（3）p3 分钟至 4 分钟之间= p 3x4= fx (4) - fx (3) = e -1.2 - e -1.6（4）p至多 3 分钟或至少 4 分钟= p至多 3 分钟+p至少 4 分钟=1 - e -1.2 + e

14、 -1.6（5）p恰好 2.5 分钟= p (x=2.5)=00, x 1,20、设随机变量 x 的分布函数为 fx (x) = ln x,1 x e, ，1, x e.求（1）p (x2), p 0x3, p (2x 5 2 )；（2）求概率密度 fx (x).解：（1）p (x2)=fx (2)= ln2，p (0x3)= fx (3)fx (0)=1，p(2 x 5 = f ( 5 ) - f (2) = ln 5 - ln 2 = ln 52x 2x24 1 ,1 x e,（2） f (x) = f (x) = x0, 其它21、设随机变量 x 的概率密度 f (x) 为 2（1） f

15、 (x) = p1 - x 20- 1 x 1其它 x0 x 1（2） f (x) = 2 - x 1 x 2 0其他1 - x 21 - x 2求 x 的分布函数 f (x)，并作出（2）中的 f (x)与 f (x)的图形。解：（1）当1x1 时：-1x 22 11 x-1f (x) = - 0 dx + -1 dx = 2 x+ 2 arcsin x= 1 x+ 1 arcsin x + 11 - x 21 - x 2 dxx2当 1x 时： f (x) = -1 0 dx + 1 2+ 0 dx = 1-故分布函数为：0-1 1x -11 - x 22f (x) = 1 x+ 1 ar

16、csin x + 1- 1 x 111 xx解：（2） f (x) = p( x x) = - f (t)dt当x 0时,f (x) = - 0 dt = 0x当0 x 1时,f (x) = -x00 dt + t dt0= x 22当1 x 2时,1x20f (x) = 0 dt + t dt + (2 - t)dt = 2x - x- 1-012012x当2 x时,f (x) = - 0 dt + 0 t dt + 1 (2 - t)dt + 2 0 dt = 1故分布函数为0 x 2x 00 x 1f (x) = 2x 22x -12 - 11 x 22 00,其 其其中b = m 2k

17、t ， k 为 boltzmann 常数， t 为绝对温度， m 是分子的质量。试确定常数 a 。解:q- ( x) dx = 1+- x2ab +- x2 x2 即-f ( x) dx = 0abax2e+b dx = -2- x2ab0 xe- x2b d -abb+ - x2= - 2 0xd (eb ) = -2xe b|+ +02 0e b dxab22pb2= ab+ - x2+1-1 2x 22 b e b dx =ed x2002p= ab 2p 1 = 1+2bq1-u21 e 2 du =b22202p2 b bp a =4t当t 0 时， ft (t ) = -d 0 d

18、t = 0tt 1- x 当t 0 时，ft (t ) = -f ( x) dt = ft (t ) = 0 241- t= 1- e 241e 241dt ft (t ) = 0 ,- t t 01- e 241 ,t 0 p50 t 100 = pt 100 - pt 50 = f (100) - f (50)= e-50 241 - e-100 241100100 1- t - 50 -100或 p50 t 1000f (x) = x 2 0其它现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取 5 只，问其中至少有 2只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于

19、1500 小时的概率为xp( x 1500) = 1 - p( x 1500) = 1 - 1500 1000 dx = 1 - 1000(- 1 ) 1500 = 1 - (1 - 2 ) = 21000x 21000 33令 y 表示“任取 5 只此种电子管中寿命大于 1500 小时的个数”。则y b(5, 2 ) ，3(3)p(y 2) = 1 - p(y 00, 其它某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开。他一个月要到银行 5 次。以 y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 y 的分布律。并求 p（y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为p( x 10)

20、 = + 1f x (x)dx =+ - xe 5 dx = -e- x5+ = e -2105 1010 因此y b(5, e -2 ).即 p(y = k ) = 5 e -2k (1 - e -2 )5-k , (k = 1,2,3,4,5k p(y 1) = 1 - p(y 1) = 1 - p(y = 0) = 1 - (1 - e -2 )5 = 1 - (1 - 1)5 = 1 - (1 - 0.1353363)57.389= 1 - 0.86775 = 1 - 0.4833 = 0.5167.25、设 k 在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x 2 + 4xk + k + 2

21、= 0 有实根的概率 1 k 的分布密度为： f (k ) = 5 - 00 k 5 0其他要方程有根，就是要 k 满足(4k)244 (k+2)0。解不等式，得 k2 时，方程有实根。p(k 2) = + f (x)dx = 5 1 dx + + 0 dx = 3226、设 xn（3.22）2 555（1）求 p (2x5)，p (4)2，p (x3) 若 xn（，2），则 p (x)= - - - p (2x5) = 5 - 3 - 2 - 3 =(1)(0.5)22=0.84130.3085=0.5328p (42)=1p (|x|2)= 1p (2 p3)=1p (x3)=1 3 -

22、3 =10.5=0.52（2）决定 c 使得 p (x c )=p (xc)p (x c )=1p (xc )= p (xc)得p (xc )= 1 =0.52又p (xc )= c - 3 = 0.5, 查表可得 c - 3 = 0 c =32227、某地区 18 岁的女青年的血压（收缩区，以 mm-hg 计）服从 n (110,122 ) 在该地区任选一 18 岁女青年，测量她的血压 x。求（1）p (x105)，p (100x) 0.05.解:(1) p( x 105) = f( 105 - 110 ) = f(-0.4167) = 1 - f(0.4167) = 1 - 0.6616

23、= 0.3384 12p(100 x) = 1 - p( x x) = 1 - f( x - 110 ) 0.05 f( x - 110 ) 0.95.查表得12x - 110 1.645. x 110 + 19.74 = 129.74.1212故最小的x = 129.74.28、由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.050.12 内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为 xpx 不属于(10.050.12, 10.05+0.12)=1p (10.050.12x10.05+0.12)=1 f (10.05 + 0.12

24、) - 10.05 - f (10.05 - 0.12) - 10.05 0.060.06=1(2)(2)=10.97720.0228=0.045629、一工厂生产的电子管的寿命 x（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求 p (120x200=0.80，允许最大为多少？p(120x200)=f 200 - 160 - f 120 - 160 = f 40 - f- 40 = 0.80又对标准正态分布有(x)=1(x)上式变为f 40 - - f 40 0.801解出f 40 便得: f 40 0.9再查表，得 40 1.281 40 = 31.251.28130、解：v n

25、 (120, 22 )x = v -120 n (0,1)2则p=pv 118,122 = pv 122= 2p-1 x = 2(1- 0.8413) = 0.3174 2 5 p2 (1- p)3 = 0.3204 31、解：0,x 0f (x) = 0.2 + 0.8x / 30,0 x 301,x 3032、解：q f (x) 0, g(x) 0, 0 a 1 af (x) + (1- a)g(x) 0且- af (x) + (1- a)g(x)dx =a- f (x)dx + (1- a)- g(x)dx = a + (1- a) = 1所以 af (x) + (1- a)g(x) 为

26、概率密度函数33、设随机变量 x 的分布律为：x：2，1，0，1，3p： 1 ，5求 y=x 2 的分布律1 ，61 ，5 1 ， 15 11 30y=x 2：(2)2(1)2(0)2(1)2(3)2p： 1 51165 1111530再把 x 2 的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数 y 的分布律为：y：0149p： 11 + 11 11561553034、设随机变量 x 在（0，1）上服从均匀分布（1） 求 y=ex 的分布密度0x 的分布密度为： f (x) = 1y=g (x) =ex 是单调增函数又x=h (y)=lny，反函数存在0 x 1x为其他且 = ming (0),

27、 g (1)=min(1, e)=1b= maxg (0), g (1)=max(1, e)= e f h( y) | h( y) |= 1 11 y ey 的分布密度为：( y) = （2） 求 y=2lnx 的概率密度。y0y为其他y= g (x)=2lnx是单调减函数- y 又x = h(y ) = e 2 反函数存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= +1 - y1 - yy 的分布密度为：( y) = f h( y) | h( y) |= 1 - 2 e 2= 2 e 20 y +035、设 xn

28、（0，1）（1） 求 y=ex 的概率密度2 1 - xy为其他x 的概率密度是 f (x) =e2y= g (x)=ex是单调增函数又x= h (y ) = lny反函数存在2 , - x +且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= +y 的分布密度为：1 - (ln y )21( y) = f h( y) | h( y) |=e20 y +20yy为其他（2） 求 y=2x2+1 的概率密度。在这里，y=2x2+1 在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设 y 的分布函数是 fy（y），则fy ( y)=p

29、 (yy)=p (2x2+1y)= p- x y - 12y - 12 y-1 2当 y1 时，( y)= fy ( y) = e 2 dx -y-12p2=1e- y-1 42 ( y - 1)（3） 求 y=| x |的概率密度。 y 的分布函数为fy ( y)=p (yy )=p ( | x |y)当 y0 时：( y)= fy ( y) = - ye 2 dx =e 22 236、（1）设随机变量 x 的概率密度为 f (x)，求 y = x 3 的概率密度。y=g (x )= x 3 是 x 单调增函数， 1又x=h (y ) = y 3 ，反函数存在，且 = ming (), g

30、(+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= +y 的分布密度为：11- 2( y)= f h ( h )| h ( y)| =y(0) = 0f ( y 3 ) 3 y3 , - y 0y=x2yyoyx 0y=x2 是非单调函数y当x0 时y=x2 反函数是 x = -y当x 0yy=22y0y 0y法二： y fy ( y) = p(y y) = p(- 0y,y 0yyy f (y) = 2y 1 e -,0,37、设 x 的概率密度为y 0.y 0. 2x f (x) = 20 x 0x为其他求 y=sin x 的概率密度。 fy ( y)=

31、p (yy)= p (sinxy)当 y0 时：fy ( y)=0当 0y1 时：fy ( y) = p (sinxy) = p (0xarc sin y 或 arc sin yx)= arcsin y 2x dx + 2x dx0 2当 1y 时：fy ( y)=1 -arcsin y 2y 的概率密度( y )为：y0 时，( y )= fy ( y) = (0 ) = 0 arcsin y 2x2x0y1 时，( y )= fy ( y) = 0 2 dx + -arcsin y 2dx 1 - y 2=21y 时，( y )= fy ( y) =(1) = 038、设电流 i 是一个随

32、机变量，它均匀分布在 9 安: 11 安之间。若此电流通过 2欧的电阻，在其上消耗w = 2i 2. 求w 的概率密度。解：q i 在(9,11) 上服从均匀分布 i 的概率密度为：f ( x) = 2 1 ,q x 110 ,其 其w = 2i 2 的取值为162 w 242分布函数f (w) = pw w = p2i 2 w = p i 2 w w2 = p q i w2w = f ( x) dx2 qw 12w21 = dx =- q q22 1,162 w 242 f (w) = f (w) = 4 2www0 ,其 其39、某物体的温度 t (of )是一个随机变量，且有 tn（98.6，2），试求 ()的概率密度。已知 = 5 (t - 32) 9法一： t 的概率密度为 f (t) =1-(t -98.6)2 2 p 2e22,- t +又 = g(t ) = 5