高等数学：BIT 1-2 极限的概念

1、课件地址： Password:123456 收件箱,说明：函数有界=既有上界又有下界,若取极点作为原点，极轴作为x轴建立直角坐标系，这样得到极坐标与直角坐标的关系,或,2,x = r cos，y = r sin (1,r = a(1 + cos,例： 心形线 (外摆线的一种)如图,极坐标方程为,化为直角方程为,第二节 极限的概念,北京理工大学 2011-2012学年第一学期 工科数学分析,数列的极限 函数的极限,截杖问题,一尺之棰，日截其半，万世不竭,一、数列的极限,例如,注意,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,播放,二、数列的极限,三、数列的极限,

2、三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值,问题,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,通过上面演示实验的观察,如果数列没有极限,就说数列是发散的,注意,几何解释,其中,数列极限的定义未给出求极限的方法,例1,证,所以,注意,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数,小结,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N,例3,证,例4,证,三、数列极限与子列极限,

3、定义：在数列 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的顺序，这样得到的数列称为原数列的一个子序列，简称子列,例如,证明,定理：如果原数列 收敛于A, 则其任意子列 也收敛于A,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,四、函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察,问题,如何用数学语言刻划函数“无限接

4、近,1、定义,2、另两种情形,3、几何解释,例1,证,二）、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义,2、几何解释,注意,例4,证,函数在点x=1处没有定义,例5,证,3.单侧极限,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,五、小结,数列:研究其变化规律,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义,函数极限的统一定义,见下表,作业：p36, 3，4，5,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,等价,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,从而 时,仅有 成立,但不是 的充分条件,反而缩小为,练 习 题,1、割圆术,割之弥细

5、，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不