勾股定理分类练习题(最新整理)

1、勾股定理分类练习题勾股定理的验证与证明1. 如图，每个小正方形的边长是 1，图中三个正方形的面积分别是 s1、s2、s3，则它们的面积关系是，直角abc 的三边的关系是.as3s1bcs22. 如图，是由四个全等的 rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？bacdcab3. 如图，是由四个全等的 rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？cbdcaab4. 如图，已知ab90且aedbce，a、e、b 在同一直线上.根据此图证明勾股定理.cbecdaa b以勾股定理为基础的有趣结论1. 如图， 根据所标数据，确定正方形的面积 a，b，c.a1916925bc41932. 如图 1 中,64、40

2、0 分别为所在正方形的面积，则图中 a 字母所代表的正方形面积是 3. 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为 25 和 12，则第三个正方形的面积为.s3s1s24. 如图，以rtabc 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 s1、s2、s3，则它们之间的关系是（）5. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形 a、b、c、d 的面积分别为 2,5,1,2,则最大的正方形 e 的面积.6. 如图，所有的四边形都是正方形所有的三角

3、形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 6cm,则正方形 a， b，c，d 的面积之和为cm2。7、在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、 3， 正 放 置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是s1、s2 、s3 、s4 ，则s1 + s2+ s + s34=。8. 求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理1.在 rtabc 中，c=90若 a=5，b=12，则 c=；若 a=15，c=25，则 b=；若 c=61，b=60，则 a=；2.在d

4、abc 中， c = 90 已知 ac = 6 ， bc = 8 求 ab 的长已知 ab = 17 ， ac = 15 ，求 bc 的长3、斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是5. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）a25b14c7d7 或 256. 在 rtdabc 中，斜边长 bc =5，则 ab2 + ac 2 的值为（）a.18b.9c.25d.无法计算7. 一个直角三角形的三边长的平方和为 200，则斜边长为;8. 在 rtdabc 中， c = 90 ， ab = 13, bc = 12 ，则点 a 到 bc 的距离

5、是（）a.8b.9c.10d.119. 在平面直角坐标系中，已知点 p 的坐标是(3,4)，则 op 的长为（）7a.3b.4c.5d.a2 - 6a + 910. 若直角三角形的两直角边长为 a, b ，且满足的斜边长为。+ b - 4 = 0 ，则该直角三角形11. abc 中，ab=ac=17cm，bc=16cm，adbc 于 d，则 ad=。12. 如图 ab=bc=cd=de=1,abbc,accd,adde,则 ae 的长为 13. 如图，在四边形 abcd 中，bad = 90 ，dbc = 90 ，ad = 3，ab = 4，bc = 12，求 cd；14. 已知直角三角形中3

6、0 角所对的直角边长是2 3cm ，则另一条直角边的长是（）a、4 cmb 、 4 3cmc 、 6cmd、6 3cm16.已知abc，a=90 ， b=30,ab=5，求 ac,bc 的值.15. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的.16. 如图从电线杆离地面 3 米处向地面拉一条长为 5 米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有米.17. 如图，从电线杆离地面 6 m 处向地面拉一条长 10 m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？18.如下左图，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米4da19.种盛饮料的圆柱

7、形杯（如上右图），测得内部底面半径为 2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做。20.如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。21.如上右图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树22. 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处，你能告诉小明这棵树折断之前有m。23. 如图，小红欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 c 偏离欲到达 b 点 2

8、00m，结果他在水中实际游了 520m，则该河流的宽度 ab 为。24. 一架梯子 ab 的长度为 25 米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端 bc 为 7 米。（1） 这个梯子顶端离地面有多高？17（2） 如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？25、一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m ，那么梯子底端将向左滑动多少米？26. 如图，一架梯子 ab 靠在墙上，梯子的底端 a 到墙根o 的距离为2m ，梯子的顶端 b 到地面的距离为 7m ，现将梯子的底端 a 向外移动到 a到墙根

9、o的距离等于3m ，同时梯子的顶端 b 下降到 b，那么梯子的顶 部在竖直方向上向下滑动了多少米?27. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 abc 中，边长为无理数的边数是（）acb等面积法求高1. 如图，abc 中，acb=900，ac=7，bc=24，cdab 于 d。（1） 求 ab 的长；（2） 求 cd 的长。2. 直角三角形的两直角边分别为 5、12，则斜边为，三角形的面积为，斜边上的高为 .3. 在dabc 中， acb = 90 ， ab = 5 cm ， bc = 3 cm ， cd ab 于 d ， cd 4. 直角三角形的两直角边分别为 5

10、厘米、12 厘米，则斜边上的高是（）a.6 厘米b.8 厘米c.8060厘米d.厘米13135. 直角三角形两直角边长分别为 3 和 4，则它斜边上的高为.6. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为应用勾股定理建立方程（“知一求二”的题，应设未知数）1.在abc 中，c90，若 c10，a b34，则这个三角形的两直角边长分别是 ，这个三角形的周长是，面积是.2.已知在 rtabc 中，c= 90o ，若 a : c = 3 : 5 , b = 16 则a = ， c = 3. 直角三角形中一直角边的长为 9， 另两边为连续自然数， 则直角三角形的周长为4. 已知直角三角

11、形的周长为30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为.5. 等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积是.6. 已 知 rt abc 中 ， c=90 ， 若 a+b=14cm， c=10cm， 则 rt abc 的 面 积 是 .7. 如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处,发现此时绳子末端距离地面 2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为 .8. 小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？9. 如图，

12、有两只猴子在一棵树 cd 高 5m 的点 b 处，它们都要到 a 处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树 10m 处的池塘 a 处，另一只猴子爬到树顶 d 后直线越向池塘的 a 处如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？10. 如图，铁路上 a、b 两点相距 25km，c、d 为两村庄，da垂直 ab 于 a，cb 垂直 ab 于 b，已知 ad=15km，bc=10km，现在要在铁路 ab 上建一个土特产品收购站 e，使得 c、d 两村到 e 站的距离相等，则 e 站建在距 a 站多少千米处？11. 如图所示，已知abc 中，c=90，ab 的垂直平分线交bc于m，交ab 于n

13、，若ac=4， mb=2mc，求 ab 的长折叠问题1. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 ac=6cm，bc=8cm，现将直角边 ac 沿直线 ad折叠，使它落在斜边 ab 上，且与 ae 重合，你能求出 cd 的长吗？cdb ea2. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ac=6cm，bc=8cm，现将直角边 ac 沿直线 ad折叠，使 ac 恰好落在斜边 ab 上，且点 c 与点 e 重合，求 cd 的长。3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ac=6，bc=8，将abc 折叠，使点 b 与点 a重合，折痕为 de，则 cd 等于多少？4. 如图,矩形纸片 abcd 中,已知

14、 ad=4,折叠纸片使 ab 边与对角线 ac 重合,点 b 落在点 f 处,折痕为 ae,且 ef=.则 ab 的长为()5. 如图所示，折叠矩形的一边 ad，使点 d 落在 bc 边的点 f 处，已知 ab=8cm，bc=10cm， 求 ef 的长。a deb fc6. 已知，如图，长方形 abcd 中，ab=3cm，ad=9cm，将此长方形折叠，使点 b 与点 d 重合， 折痕为 ef，则abe 的面积为（）a6cm2b 8cm2c 10cm2d 12cm27. 如图,在长方形纸片abcd 中,已知ab=4,ad=3,折叠纸片使ad 边与对角线bd 重合,折痕为dg,则 ag 的长为 9

15、. 如图将长方形 abcd 沿直线 ae 折叠,顶点d 恰好落在 bc 边上点f 上,已知 ce=3,ab=8,求图中阴影部分的面积10. 如图,长方形纸片abcd 沿对角线ac 折叠,设点d 落在d处,bc 交ad于点e,ab=6 cm,bc=8 cm,求阴影部分的面积.11. 如图 2-3，把矩形 abcd 沿直线 bd 向上折叠，使点 c 落在 c的位置上，已知 ab= 3，bc=7，重合部分ebd 的面积为勾股定理在非直角三角形中的应用1. 若abc 中， ab = 13cm, ac = 15cm ，高 ad=12,则 bc 的长为（）a、14b、4c、14 或 4d、以上都不对2.

16、等 腰 三 角 形 abc 的 面 积 为 12 2， 底 上 的 高 ad 3 ， 则 它 的 周 长 为.3. 已知，在abc 中，a= 45，ac=2，ab=3+1，则边 bc 的长为a4. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 ac元，则购买这种草皮至少需要元2015030b126045c5.如图，abc 中，ac12，b45，a60.求abc的面积.ab6. 在直角三角形 abc 中，角 c=90 度，ac=4，bc=3，在直角三角形 abc 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，求出等腰三

17、角形的底边长。d利用勾股定理求不规则图形的面积1. 如图，每个小正方形的边长都是 1，求图中格点四边形 abcd 的面ac积.b2. 如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个得到，可得abc，则边 ac 上的高为（）3.如图，bd90，a60，ab4，cd2. 求四边形 abcd 的面积.4. 已知：如图，四边形 abcd 中，b，d 是直角，a=45，若 dc=2cm,ab=5cm,求 ad 和 bc 的长.dcab5. 如图，四边形 abcd 中，ab3cm，bc4cm，cd12cm，da13cm，且abc = 90 ， 求四边形 abcd 的面积。6. 如图，四边形 abcd 中，a

18、d1cm，bc2cm，ab2cm，cd3cm，且abc90 度，求四边形 abcd 的面积7. 如图是一块地，已知 ad=8m，cd=6m，d=90，ab=26m，bc=24m，求这块地的面积。8. 三角形 abc 中， ab=5， ac=3， bc 边上的中线 ad=2， 求三角形 abc 的面积？利用勾股定理求最值1. 一只蚂蚁从长为 4cm、宽为 3 cm，高是 5 cm 的长方体纸箱的 a 点沿纸箱爬到 b 点，那么它所行的最短路线的长是cm.bacb102. 如图，边长为 1 的立方体中，一只蚂蚁从 a 顶点出发沿着立方体的外表面爬到 b 顶点的最短路程是（）a、3b、c、d、12a

19、153. 如图，长方体的长为 15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 b 到点 c 的距离为 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 a 点爬到 b 点，需要爬行的最短距离是多少？4. 如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 b 离点c 的距离为 5，一只蚂蚁如果要5沿着长方体的表面从点 a 爬到点 b ，需要爬行的最短距离是（）21a. 5b25c10+ 5d 35b 5c21a16. 如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 a 点爬到 b 点，则最少要爬行.ba7. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm ，底面周长为 60 cm ，在外

20、侧距下底 1 cm 的点 c 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm 的 f 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8. 如图,圆柱形容器高为 18 cm,底面周长为 24 cm,在杯内壁离杯底 4 cm 的点b 处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的点 a 处,则蚂蚁从外壁 a 处到达内壁 b 处的最短距离为cm.（第 4 题）9. 圆柱的底面周长为 24,高为 10,一只蚂蚁从 a 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到 bc 的中点 s的最短路程为 10. 如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径

21、一只蚂蚁从点 a 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 c，试求出爬行的最短路程旋转问题1. 如图所示，p 为正方形 abcd 内一点，将d abp 绕 b 顺时针旋转90 到d cbe 的位置，若 bp=a ，求：以 pe 为边长的正方形的面积2. 如图 2-9，abc 中，acb=90，ac=bc，p 是abc 内一点，满足 pa=3，pb=1， pc=2， 求bpc 的度数3. 如图，点 p 是正abc 内的点，且 pa=6，pb=8，pc=10，若将pac 绕点 a 旋转后，得到p ab ，则点 p 与点 p之间的距离为，apb= app4. 如图，d abc 为等腰直角三角形， bac= 9

22、0 ，将 d abh 绕点a 逆时针旋转到d ac h 处，若 ah=3，试求出 h、 h bc两点之间的距离。勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）a. 4，5，6b. 2，3，4c. 11，12，13d. 8，15，172、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（）a、234b、346c、51213d、467 3、下面的三角形中：abc 中，c=ab；abc 中，a：b：c=1：2：3；abc 中，a：b：c=3：4：5；abc 中，三边长分别为 8，15，17 其中是直角三角形的个数有（）a.1 个b2 个

23、c3 个d4 个x - 12 + x + y - 254、已知与 z 2 - 10z + 25 互为相反数，试判断以 x 、 y 、 z 为三边的三角形的形状。若abc 的三边长 a,b,c 满足a2 + b2 + c2 + 200 = 12a +16b + 20c，试判断abc 的形状。6、五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为 7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )将 勾 股 数 3,4,5 扩 大 到 原 来 的 2 倍 ,3 倍 ,4 倍 , , 可 以 得 到 勾 股 数6,8,10;9,12,15;12,16,20;,则我们把 3,4,5 这样的

24、勾股数称为基本勾股数,请你写出另外两组基本勾股数: , .如图，在平面直角坐标系中,点 a、b 的坐标分别为 a(3,1),b(2,4),三角形 oab 是直角三角形吗?7、远航号海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行 16 海里， 海天号每小时航行 12 海里，他们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道远航沿东北方向航行，你知道海天沿哪个方向航行吗？九、航海问题1、一轮船以 16 海里/时的速度从 a 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 a 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距海里2、一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8

25、 km，接着，它又掉头向正东方向航行 15 千米(1) 此时轮船离开出发点多少 km?(2）若轮船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?3、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 a 处运往正东方向的 m 处，在点 a 处测得某岛 c 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 b 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 c 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，公路 mn 和公路 pq 在点 p 处交汇，且qpn30， 点 a 处有一所中学，ap160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？4、如图，某沿海开放城市 a 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 b 处有一台风中心， 沿 bc