分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题(最新整理)

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 知识聚焦 不简单罗列1. 分类加法计数原理完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，则完成这件事情，共有 n 种不同的方法2. 分步乘法计数原理完成一件事情需要 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的方法， ， 完成第 n 步有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事情共有 n 种不同的方法3. 两个计数原理的

2、区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了， 这件事才算完成 正本清源 不单纯记忆 链接教材1教材改编 现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有种不同的选法2教材改编 5 位同学站成一排准备照相的时候，有 2 位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果 5 位同学顺序一定，那么 2 位老师与同学们站成一排照相的站法总数为3教材改编 如图 955

3、1 所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有种图 9551 易错问题4. 分类加法计数原理：每一种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有种5. 分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的将甲、乙、丙等 6 人分配到高中三个年级，每个年级 2 人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 通性通法6. 分类计数原理：分类时标准要明确如果把个位数是 1，且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由 1，2，3，4四个数字组成的有重

4、复数字的四位数中，“好数”共有7. 分步计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 b，c，d 中选择，其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字 3，5，6，8，9 中选择，其他号码只想在 1，3，6，9 中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有种 探究点一分类加法计数原理1 某校开设 a 类选修课 2 门，b 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()a3 种b6 种c9 种d18 种(2) 现有 5 种不

5、同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，5 个侧面分别编号为 1，2，3，4，5，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有 种总结反思 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准， 确保计数不重复，不遗漏式题 (1)某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选 4 名学生发言，要求甲、乙 2 人至少有 1 人参加，则不同的发言顺序的种数为()a840b720c600d30(2)如图 9552 所示为某旅

6、游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路， 试计算顺着箭头方向，从 a 到 h 可走的不同的旅游路线的条数为()图 9552a15b16c17d18 探究点二分步乘法计数原理2 (1)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有种(2)将 a，b，c，d，e，f 六个字母排成一排，且 a，b 均在 c 的同侧，则不同的排法共有种(用数字作答)总结反思 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意：(1) 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素(或位置)为主体的计数问题，通常先

7、满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)；(2) 对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定式题 (1)某节目制作组选取了 6 户家庭到 4 个村庄体验农村生活，要求将 6 户家庭分成 4 组，其中 2 组各有 2 户家庭，另外 2 组各有 1 户家庭，则不同的分配方案的种数是()a216b420 c720d1080(2)用 5 种不同的颜色为如图 9553 所示的广告牌着色，要求在四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数为()图 9553a320b240c180d135 探究点三两个计数原理的综合3 (1) 设集合 a(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0

8、，1，i1，2，3，4，5，那么集合 a 中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()a60b90c120d130(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1，2，9 的 9 个小正方形(如图 9554)， 使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1，5，9 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种图 9554总结反思 (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成 (3)若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步式题 设集合 i1，2，3，4

9、，5，选择集合 i 的两个非空子集 a 和 b，若集合 b 中最小的元素大于集合 a 中最大的元素，则不同的选择方法共有()a50 种b49 种c48 种d47 种 学科能力 自主阅读型误区警示21.分类与分步不当致误【典例】 若从 1，2，3，9 这 9 个整数中取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()a60 种b63 种c65 种d66 种解析 d先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解满足题设的取法可分为三类：一是 45个都是奇数，在奇数 1，3，5，7，9 中，任意取 4 个，有 c 45(种)；二是 2 个奇数 2 个偶数，在 5 个奇数中任取 2 个，再在偶

10、数 2，4，6，8 中任取 2 个，有c52c4260（种）； 三是 4 个都是偶数，取法有 1 种所以满足条件的取法共有 560166(种).处对和为偶数的情况把握不准；处对两个奇数和两个偶数相加和为偶数计数时， 是分步还是分类区分不清，错把分步看成分类，而误用加法公式.【跟踪练习】 (1)2015唐山二模 一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得 2 分、1 分、0 分已知甲球队已赛 4 场，积 4 分，则在这 4 场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()a7 种b13 种c18 种d19 种(2)给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的

11、一种， 但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有种“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development a