九年级下册数学北师大版教案 第二章4二次函数的应用

1、4二次函数的应用第1课时最大面积是多少1探索长方形窗户透光最大面积的问题，能运用二次函数知识解决实际问题中的最大(小)值2感受二次函数是一类最优化问题的数学模型，能用二次函数刻画事物间的相互关系重点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题难点把实际问题转化为“函数”模型一、复习导入1二次函数的表达式常用的表示方法是什么？2二次函数的最值如何求？师：本节课我们学习用二次函数来解决实际问题解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步

2、步地得到问题的解二、探究新知1课件出示：如下图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD.其中AB和AD分别在两直角边上(1)如果设矩形的一边ABx m，那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为y m2.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC.由EBCEAF，得，即.ADBC (40x)(2)要求面积的最大值，即求函数yABADx (40x)的最大值，就转化为数学问题了 解：(1)BC/AD， EBCEAF. 又ABx，BE40x， . BC (40x) ADBC(40x)30x. (2

3、)yABADx(30x)x230x(x240x400400)(x240x400)300(x 20)2300 当x20时，y最大300.即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300 m2.师：下面我们换一个条件设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流分析：要求面积需求AB的边长，ABDC，而DC是FDC中的一边，可以利用三角形相似来求解：DC/AB，FDCFAE.ADx，FD30x.ABDC (30x) yABADx(30x) x240x(x230x225225) (x15)2300.当x15时，y最大300.即当AD的长为15 m时，矩形的面积最大，最大面积是300 m2.2课件出示

4、：把上面的问题中矩形ABCD改为如图所示位置，其他条件不变，那么矩形ABCD的最大面积是多少？ 处理方式：学生讨论后形成结论，教师让一名学生根据形成的结论板书过程，然后引导学生评价过程的正确性解：由题意可求出斜边为50 m，斜边上的高为24 m，设矩形的长为x m，宽为a m，矩形ABCD的面积为y m2，则，得a24x，yx224x，当x25时，y的最大值为300.三、举例分析例某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？ 分析：x为半

5、圆的半径，则2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系要求窗户通过的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xyx2最大，而由于4y4x3xx7x4yx15，所以y .面积Sx22xyx22xx2x2x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可解：7x4yx15，y .设窗户的面积是S(m2)，则Sx22xy x22x x2 x2x (x)2 当x1.07时，S最大4.02. 即当x1.07 m时，S最大4.02 m2，此时，窗户通过的光线最多四、练习巩固1已知二次函数yx2 6xm的最小值为1，则m的值是_2周长为16 cm的矩形的最大面

6、积为_，此时矩形的边长为_，实际上此时矩形是_3如图所示，已知ABC是一个等腰三角形铁板余料，其中CABC20 cm，AB24 cm.若在ABC上截出一个矩形零件DEFG，使DE在边AB上，点F，G分别在CB，CA上，设EFx cm，矩形DEFG的面积为y.求y与x之间的表达式，并求出矩形零件DEFG面积的最值五、课堂小结用数学知识解决实际问题，基本思想如下：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)利用函数求解；(5)检验结果的合理性、拓展等六、课外作业1教材第47页“随堂练习”2教材第4748页习题2.8第14题二次函数的应

7、用是学习了二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，是本章的难点本节课通过学习矩形和窗户透光最大面积问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想解决和函数有关的应用问题由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的第2课时何时获得最大利润1经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值2能够

8、分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值重点会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式一、情境导入前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数yx2开始，然后是yax2，yax2c，最后是ya(xh)2，ya(xh)2k，y ax2bxc，掌握了二次函数的三种表示方式怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题二、探究新知1课件出示：服装厂生产某品牌的T恤衫，

9、每件的成本是10元根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件厂家批发单价是多少时，可以获利最多？设批发单价为x(0x13)元，那么(1)销售量可以表示为_；(2)销售额可以表示为_；(3)所获利润可以表示为_； (4)当批发单价是_元时，可以获得最大利润，最大利润是_分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13x)件，因此共售出5 0005 000(13x)件，若所获利润用y(元)表示，则

10、y(x10)5 0005 000(13x) 解：(1)销售量可以表示为5 0005 000(13 x)70 0005 000x.(2)销售额可以表示为x(70 0005 000x)70 000x5 000x2.(3)所获利润可以表示为(70 000x5 000x2)10(70 0005 000x)5 000x2120 000x700 000.(4)设总利润为y元，则y5 000x2120 000x700 0005 000(x12)220 0005 0000 ，抛物线有最高点，函数有最大值当x12元时，y最大20 000元即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元2课件出

11、示：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题三、举例分析例1还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y(6005x)(100x)5x2100x60 000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的

12、最大值即是求函数的最大值所以y5x2100x60 0005(x220x100100)60 0005(x10)260 500 当x10时，y最大60 500.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？ 当x10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上 例2 已知一个矩形的周长是24 cm.(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；(2)画出这个函数的图象；(3)当a长多少时，S最大？ 解：(

13、1)Sa(12a)a212a(a212a3636)(a6)236.(2)图象如下： (3)当a6时，S最大36.四、练习巩固1关于二次函数yax2bxc的图象有下列命题：当c0时，函数的图象经过原点；当c0且函数图象开口向下时，方程ax2bxc0必有两个不等实根；当a0，函数的图象最高点的纵坐标是；当b0时，函数的图象关于y轴对称其中正确命题的个数有()A1个B2个C3个 D4个2二次函数yx28xc的最小值为0，那么c的值等于()A4 B8C4 D163某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结1通过本节课的学习，你有什么收获？2用二次函数解决实际问题有哪些步骤？六、课外作业1教材第49页“随堂练习”2教材第50页习题