《配方法》解一元二次方程导学案

1、配方法解一元二次方程教学案例教学目标【知识与技能】使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。【过程与方法】经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配 方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。【情感、态度与价值观】通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的 严谨性以及数学结论的确定性。教学重点难点【重点】用配方法解一元二次方程【难点】配方的过程教学过程设计（一）创设情境 导入新课导语一（1）你能解哪些一元二次方程？（2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？（3） 解方程x2+12x-15=0的困难在哪里？你能将方程 x2+12x-15

2、=0转化为 上面方程的形式吗？导语二1 、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？2、将下列各式配成完全平方式。(1) a2+12a+ 6 2 =(a+ 6(2) X2- X +-=(x+42）2； 123、若4x -mx+9是一个完全平方式，那么 m的值是 i2 。导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均 每年退耕还林的增长率是多少？你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？2设这两年的年平均增长率为 X,则1600（1+x） =1936,解得x=10%X2=-210%（舍），即平均每年

3、退耕还林的增长率为10%（二）合作交流解读探究1、配方法问题要使一块矩形场地的长比宽多6m并且面积为16m,场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出 答案，请一位同学回答，教师演示答案。）即：设场地宽xm,长（x+6）m。根据矩形面积为16卅，列方程x（x+6）=16 ， 即x2+6x-16=0（注：本题选择以解决问题作为本节课的幵端，有益于培养学生的应用意识。）（思考）怎样解方程 x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程 x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方

4、程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x2+6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同 时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x2+6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式一一配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出 常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后 续步骤。）2x +6x-16=0x2+6x=161两边都加上9 （即（6）2）2,2+2bx+b2的形式2x +6x+9=16+91左边写成平方形式r(x+3) 2=251降次X+3= 5解一次方程使左边配成移 项x+3=5,

5、x+3=-5 ki=2, X2=8像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法，可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方 程来解。2、用配方法解一元二次方程的一般做法（1）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（2） 方程的两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1；（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个 完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接幵平方，解这个一元二次方程。（三）应用迁移 巩固提高类型之一用配方法解一元二次方程【例1】解下列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导。）（1）

6、 x2-10x+24=0 ；（ 2） （2x-1）（x+3）=5；（ 3） 3x2-6x+4=0解：（1）移项，得 x2-10x=-24配方，得 x2-10x+25=-24+25，由此可得（x-5） 2=1，x-5= 1，X1 =6, X2=4(2) 整理，得 2x2+5x-8=0。移项，得2x2+5x=8二次项系数化为1得x2+x=4,2配方，得 X2+(5)2 =4+(3)2244(X+ )二,416由此可得兮后-5 + J89X1=4-5-789X 2=4（3）移项，得3x2-6x=-4二次项系数化为1，得x2-2x=-，3配方，得 x2-2x+12=- 4+12,3(X-1) 2=-3

7、因为实数的平方不会是负数，所以 X2取任何实数时，(X-1)都是非负数,上式都不成立，即原方程无实数根。(注:本次活动，教师应重点关注： 1、学生对待解问题和已解问题的对比、分析能力;2、给予学生一定的时间去思考,争取让学生自主得出结论；3、鼓励学生大胆猜想，勇于发表见解)。做一做解下列方程:(1) x2-8x+1=0 ；(2) 2x2+1=3x；(3) 4x2-6x-3=0【分析】(1)把x2-8x+1=0移项，得x2-8x=-1 ，两边都加一次项系数的一 半的平方，得 x2-8x+42=-1+42，即(X-4) 2=15,再幵平方即可求出方程的解。(2)先移项化为2x2-3x+1=0,再方

8、程两边同时除以2,得x2-3x+=0,再2 2(3) 两边同时除以4,把二次项系数化为1,再移项，配方。特别提示(1)配方法的含义是把方程的一边配方化为一个完全平方式,另一边经为非负数，然后用幵平方法求解。(2)配方的关键是“方程两边加上一次项系数一半的平方”类型之二 二次三项式的配方【例2】填空：(1)x 2+6x+.=(x+3) 2； (2)x 2-5x+= (X-.=(x+)2。(学生练习,(3) x 2+4x+=(x+ 2 )2； (4)x 2+px+33教师巡视，适当辅导，然后由学生回答，师生一起纠正，然后归纳。【归纳】【答案】【例3】左边常数项是一次项系数的一半的平方，右边是一次项

9、系数的一 半。25 2522P2P(1)3 ；(2)(|)I； (3)(2)； (4)(2)122322用配方法将下列各式化为a(x+h) 2+k的形式。(1)-3x 2-6x+1 ; (3) 2y2+1y+2; (3)0.4x 2-0.8x-1.33解：(1)-3x 2-6x+1=-3(x 2+2x-)=-3(x 2+2x+12-12-)33=-3(x+1)2-4=-3(x+1) 2+43 |y2 +3y-2=|(y2 +*y3) =|y2 +2丫 +(寸)2 -(寸)2-3=2“+12492(+I249_(y+_)_ 一=_(y+_)_一 .34163424(3)0.4x 2-0.8x-1

10、=0.4(x 2-2x-2.5)=0.4(x2-2x+1 2)-1 2-2.5=0.4(x-1) 2-1.4【点评】化二次三项式ax2+bx+c(a丰0)为a(x+h) 2+k形式分以下几个步骤。(1) 提取二次项系数使括号内的二次项系数为1.(2) 配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数 一半的平方。(3) 化简、整理(4) 本例题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础。(四) 总结反思拓展升华总结1.本节学习的数学知识是用配方法解一元二次方程。2.本节学习的数学方法是转化思想.根据实际问题建立数学模型。反思用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？【分析】(1)

11、把二次项系数化为1;方程的两边同时除以二次项系数。(2) 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。(3) 配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+a) 2=b 的形式。(4) 用直接开平方法解变形的方程 (x+a) 2=b 的形式。 拓展 用配方法证明：多项式 2x4-4x 2-1 的值总大于 x4-2x 2-4 的值。【分析】欲证 2x4-4x2-1x4-2x2-4 ,即证(2x4-4x2-1)-(x 4-2x2-4)0 ,只要算 出(2x4-4x2-1)-(x 4-2x2-4)值的大小即可。证明： (2x 4-4x 2-1)-(x 4-2x 2-4)=x4-2x 2+3=(x2) 2-2x 2+1+2=(x2-1) 2+20【点评】比较A, B两数的大小，常用作差法。当 A-