高等数学：BIT8-4重积分应用(2)

1、期中考试时间改为5月6日,求体积,例1 求球体,被圆柱面,所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积,解,显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限,而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的,因此，若设第一卦限部分的体 积为 V1 ，则所求立体的体积为,V1 可以看成是一个曲顶柱体， 它的曲顶为,它的底D 由半圆周,及 x 轴围成,用极坐标系表示,于是,所求立体体积,另解：V=4V1,二、面积,1. 平面图形面积,例1. 求由抛物线y=(x2)2+1, 直线y=2x所围图形的面积,解,1, 2), (5, 10,设曲面的方程为,如图,2. 曲面面积,思考问题,曲面 S 的面积元素,曲面面积公式

2、为,设曲面的方程为,曲面面积公式为,设曲面的方程为,曲面面积公式为,同理可得,注：1、确定投影区域、曲面方程 2、计算曲面微元 3、计算二重积分,若光滑曲面方程为隐式,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积,解：A=4A1,Dxy: x2+y2ax, y0,z,y,x,Dxy,A=4A1=2(2)a2,例2. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积,解：: z=x2+y2,Dxy: 1x2+y22,2 物理应用,1) 矩的概念,当 k = 0 时 ,

3、零阶矩表示薄板 D 的质量,2. 质心坐标的计算,设薄板形成的有界区域为 D , 密度 ( x , y,将 D 划分成 n 个子区域,任取,记 , 则有,薄板的质心坐标,1,若 ( x , y) = c , 此时,称为图形 D 的形心坐标,说明,解,重心坐标 为,由于关于 yz , xz 平面对称,利用柱面坐标计算三重积分,在 xoy 平面上的投影区域,重心坐标,质点 A 对于轴 l 的转动惯量 J,惯量可用积分计算,质点组的转动惯量等于各质点,和 A 与转动轴 l 的距离 r 的平方的乘积, 即,三、转动惯量,的转动惯量之和, 故连续体的转动,等于 A 的质量 m,设,在该物体位于( x ,

4、 y , z ) 处取一微元,因此该物体 对 z 轴 的转动惯量,对 z 轴的转动惯量为,其体积记为 dV ，质量为,到 z 轴的距离为,从而,为空间物体 V 的密度函数，求 V 对,z 轴的转动惯量,类似可得,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,一般说来，若 V 中的点 ( x , y , z ) 到转动轴 l 的距离为,则转动惯量为,对坐标平面的转动惯量分别为,对 xy 平面的转动惯量,对 yz 平面的转动惯量,对 xz 平面的转动惯量,如果物体 D 是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分,一般说来，若 D 中的点 ( x , y ) 到转动轴 l 的距离为,则转动惯量为,例4 求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面,中心轴的转动惯量,解,设圆环 D 为,密度为，则 D 中任一点,x , y ) 与转轴的距离为,于是转动惯量,求密度为,的物体 V 对物体外质量为 1 的,的单位质点 A 的引力,在该物体位于( x , y , z )处取一,微元，其体积记为 dV ，质量为,对质点 A 的引力为,设 A 点的坐标为,四、引力,该引力在坐标轴上的投影为,其中 k 为引力常数,于是所求力在坐标轴上的投影分别为,所以,例7. 求密度 的均匀球体 V,的单位质量质点的引力,解: 利用对称性知引力分量,对位于点,五、小结,重点内容：曲面