14(数列的综合问题

1、北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14:数列的综合问题一、选择题1 （ 2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列an满足：存在正整数T,对于任意正整数n都有an* = an成Og 1.p -1, 立，则称数列aj为周期数列，周期为T.已知数列aj满足a1 =m （m0）,可屮= 1I 一,lan则下列结论中错误的是A.若a3 =4,则m可以取3个不同的值B.若m =42 ,则数列an是周期为3的数列c. /T2,存在m:1,an是周期为T的数列 D. 3 Q且m2,数列an是周期数列2 . （ 2O13北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列an的公比为q,其前n项的积为,并

2、且满足条件ai1, a99aioo 1 0,0 q 1;a99 -1a100 -11成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是A.二、填空题B.C.D.3 .（ 2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间0,4对应的线段，对折后（坐标 4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2,原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间0,4上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n1），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为f（n）,；f(n )=0（32题图）44 .（

3、北京市丰台区 2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）右表给出一个三角形数阵”已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i行第j列的数为ajj(i 二 j,ij 忘 N）,则a53等于amn -1 一424JJ*s48 +J165 .（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组(,in)(n是不小于3的正整数）,若对任意的p,q 123,，n,当P vq时有ip iq ,则称ip,iq是该数组的一个“逆序”的逆序数等于个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组 （2,3,1）的逆序数等于2.则数组（524,

4、3,1）；若数组（i1,i2,i3,；in）的逆序数为n ,则数组（ininlh）的逆序数为6 . （2013朝阳二模数学理科）数列2n-1的前n项1,3,7，川，2n-1组成集合An =1,3,7，川，2n-1 （n亡N）,从集合An中任取k （k =1,2,3川|, n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为 Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身),记 Sn+T2 +川+Tn .例如当 n = 1 时，A1 =1 , T, =1 , S =1 ;当 n = 2;试写出Sn =时,A2 =1,3, =1 +3, T2 =1 咒3, S2 =1 +3 + 1咒3 = 7.贝9当 n =3时,S

5、3-7 （2013届西城区一模理科）记实数x-i,x2J11, xn中的最大数为max, X2，川，Xn,最小数为min x1,x2（ ,xn.ABC的三边边长分别为a,b,c ,且ab m , f (m, n) =0 : f (m +1 ,n) = n f (m, n) + f (m, n 1),an临a =t（ t为常数）,则称数an则 f(2,2) = _, f(n,2)=10. （2013北京东城高三二模数学理科）在数列an中，若对任意的N ,都有an十列an为比等差数列，t称为比公差.现给出以下命题:等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列2n1若数列an满足an,则数列

6、an是比等差数列，且比公差t ;n2若数列Cn满足G =1, C2 =1, Cn =CnJ +&（n 3）,贝U该数列不是比等差数列若an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn是比等差数列.其中所有真命题的序号是11 .（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）将整数1,2,3,111,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为12( 2013北京房山二模数学理科试题及答案)在数列an中，如果对任意的nW N *,都有壬-4=心 为常数),a|4Qi则称数列an为比等差数列，几称为比公差-现给出以下命题：若数列F

7、n满足Fi=1,F2=1,Fn =Fn+Fn2(n 3),则该数列不是比等差数列；若数列弭满足an =3”2n；则数列an是比等差数列，且比公差入=0；等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列若an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn是比等差数列.其中所有真命题的序号是三、解答题13.(海淀区2013届高三上学期期中练习数学(理)已知数集 a1, a2, ,an (aa 2)具有性质 P：对任意的 k(2 k n), 3i, j(1 i j n),使得 aaaj成立.(I )分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P,并说明理由；(n )求证:01 2)；(川)若a

8、n =72,求数集A中所有元素的和的最小值.14 - ( 2013届北京海滨一模理科)设A(XA,yA),B(XB,yB)为平面直角坐标系上的两点，其中XA,yA,XB, y Z .令Ax=XbXa，人y=yBYa，若|纲+|也y|3 ,且|Ax|”|Ay|工0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B = i(A).已知F0 (Xo, yo) (Xo, yo亡Z)为平面上一个定点，平面上点列R满足：R=t(Pij)，且点P的坐标为 化),其中 i =1,2,3,., n.(I)请问：点 巳的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明

9、理由;n(n)求证：若P0与Pn重合，n定为偶数；(川)若(1,0)，且yn=100,记T =2 x，求T的最大值.izB15.(西城区2013届高三上学期期末考试数学理科)如图，设A是由nxn个实数组成的n行n列的数表，其中aj (i, j =1,2,3J|,n)表示位于第i行第j列的实数，且aj 1,1.记S(n, n)为所有这样的数表构成的集合.对于A S( n, n),记ri (A)为A的第i行各数之积，Cj(A)为A的第j列各数之积.令nnl(A)=S ri(AZ Cj(A).i ij A请写出一个 A：S(4, 4)，使得1(A) =0 ；%旳L#J: R -h叫Iri 是否存在

10、A2)满足 |ak+-ak |=1(k=1,2,川,n-1),则称 An 为 E 数列.记 S(An)=印 +a2+川 + a.(I)写出一个满足 a1 =a5=0,且S(A5)0的E数列A;(n )若印=12,n = 2000,证明：E数列 人是递增数列的充要条件是a. =2011;(川)对任意给定的整数n(n 2),是否存在首项为0的E数列代，使得S(片)=0?如果存在，写出一个满足条件的E数列人；如果不存在，说明理由.17 .（2013丰台二模数学理科） 已知等差数列laj的通项公式为an=3 n-2,等比数列g中，b=ai,b4=a3 +1.18 .19 .记集合 A=xx=4,n N

11、*,排列，构成数列cj.B = 1x X=bn, n壬N * , U = A. B ,把集合U中的元素按从小到大依次（I ）求数列bn 的通项公式,并写出数列Cn 的前4项；（n ）把集合CuA中的元素从小到大依次排列构成数列dn,求数列dj的通项公式，并说明理由；（川）求数列仏的前n项和Sn.（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设T =（x1,x2i,x10）是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意10一个全排列,定义S(T) =S |2Xk -3Xk十I,其中X11 =X1.k=1(I)若 T =(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1),求 S(i)的值;（n

12、）求sa）的最大值；（川）求使S（ t）达到最大值的所有排列T的个数.（顺义13届高三第一次统练理科）已知数列an 的前n项和为S1,且点（n, Sn ）在函数y = 2x十-2的图像上.（I）求数列an的通项公式；（II）设数列tn 满足：b, =0,bn+bn =an（n忘N * ）,求数列 札的前n项和公式；(Ill)在第(II)问的条件下,若对于任意的n壬N *不等式bn吒几bn卡恒成立,求实数入的取值范围20 .(丰台区2013届高三上学期期末理)已知曲线c：y2=2x(y0),入任，),民化，y?),人(人皿)，“”是曲线C上的点，且满足 0 CX1 X2 “yxn 1)是数列an

13、的“保三角形函数”，求k的 取值范围;(n)已知数列Cn的首项为2013，Sn是数列Cn的前n项和，且满足4&+1 -3& = 8052，证明g是“三角形”数列;(川)若g(x) =lgx是(n)中数列c.的“保三角形函数”，问数列阳最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg2俺0.301, Ig3止0.477, lg201 3.304）23.(朝阳区2013届高三上学期期中考试 (理)给定一个n项的实数列ai,a2|,an( n亡N*),任意选取一 个实数c,变换T(c)将数列a1,a2,川，an变换为数列|-c|,| a2-c|,川，| an -c|,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的

14、变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k(k亡N”)次变换记为Tk(ck),其中Ck为第k次变换时选择的实数.如果通过k次变换后，数列中的各项均为0,则称TdG),T2(C2), Tk(Ck)为“ k次归零变换”.(I )对数列：1,3,5,7,给出一个“ k次归零变换”，其中k4；（n ）证明：对任意n项数列，都存在“ n次归零变换”；（川）对于数列1,22,33,川，nn，是否存在“ n-1次归零变换”？请说明理由.24. （2013届丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列a1,a2-an为n （n=2,3,4，）阶“期待数列”： ai+a2+a3+(丨+an =

15、0 :aia2+|liMan| =1.（川）试证:25. (2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；若某2k+1（N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式;记n阶“期待数列”的前k项和为Sk（k =1,2,3，川，n）,2)满足|xi P 1(=1, 23, n,记S(M,X2,lil,Xn) = 2 XXj .12(I)求 S(1,1,)及 S(1,1,1,1)的值；(n )当 n=3时，求 S(Xi,X2,X3)的最小值；3(川)求S(Xi,X2,iH,Xn)的最小值.注:无 XjXj表示Xi,X2，川，Xn中任意两

16、个数Xi,Xj(iMivj n)的乘积之和. 128.(北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)已知A(X,”)，B“，”)是函 /W =z=21 数的图象上的任意两点(可以重合)，点M在直线X =上,且历二.(1)求斤+対的值及” +”的值(2)已知 $1 = 0,当舟32 时,心=/ +/(-)+/(-)+了()，求Sjj; MT -C 1在的条件下，设爲|为数列fl.的前”项和,若存在正整数C、削,使得不等式 c-成立,為1Q 229 . (2013北京海淀二模数学理科试题及答案)(本小题满分13分)设A是由m xn个实数组成的 m行n列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数

17、，则改变该行(或该列)123-7-2101中所有数的符号，称为一次“操作”.(I)数表A如表1所示,若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1aa2 -1-a-a22-a1-a2a-22 a(n )数表A如表2 所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；(川)对由mxn个实数组成的m行n列的任意一个数表 A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.30. (2013北京房山二模

18、数学理科试题)设mA3,对于项数为m的有穷数列 ,令bk为印忌,ak (k m)中的最大值，称数列为aj的“创新数列”.例如数列 3,5,4,7 的创新数列为 3,5,5,7.考查自然数12，m (m A 3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列匕(I )若m = 5,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列cnn 2： Xj =0;i n 2 |xi| =1.i吕32 .（I ）当n =2时，求x1, x2的值;（n）当n =3时，求证:3x1 + 2x2 + Xs 2)，求证:yx七an).（东城区普通校 2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设a1 ,32，a20是首项为1，公比

19、为2的等比数列,（n ）是否存在数列 fej的创新数列为等比数列 ？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（川）是否存在数列 fcn ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列tcj的个数；若不存在,请说明理由.(Xi,X2,X3H,Xn)满足条件:（东城区2013届高三上学期期末考试数学理科）已知实数组成的数组，当1兰n兰20k时确定。记M =Z anbnnT对于满足029的整数k，数列b1, b2，g由j；二0 ,当20-520时（I）当k =1时，求M的值； （n ）求M的最小值及相应的 k的值33 .（2013西城二模）已知集合Sn =（ X1,X2,

20、ilLxn）| X1, X2，川，Xn是正整数1,2,3,111, n的一个排列 （n色2）,函数E =职务-51+呂値一2、+ 何-耳-）g(x) J1； X0,对于(ai,a2,an)迂 Sn，定义: 1, X c0.已匸玉卫, bi =0,称bi为ai的满意指数.排列bi,b2,ill,bn为排列印包,川，a.的生成列；排列印,a.为排列b,b2,川,bn的母列.(I)当n =6时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列 0,1,2,3,4,3的母列；(n)证明：若ai,a2,川，an和ai；a2|,an为Sn中两个不同排列，则它们的生成列也不同； (川)对于Sn中的排列ai,a2

21、,川，an,定义变换t :将排列ai,a2,川，a.从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：一定可以经过有限次变换 T将排列ai,a2(,an变换为各项满意指数均为非负数的排列34.(2013北京东城高三二模数学理科)已知数列an, ai, a2an, a4n =0, 84=1 (n忘N*).(I)求a4, a7；( n )是否存在正整数T,使得对任意的N *,有a a.;(川)设S唱+討侖+川+希+川，问S是否为有理数,说明理由.35. (2013北京高考数学(理)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为 An,第n项之后各项a

22、n十，an七，的最小值记为Bn, dAB.(1)若an为2,1,4,3,2,1,43，是一个周期为4的数列(即对任意n迂N:= a.),写出didda的值; 设d是非负整数，证明：dn = -d ( n =1,2,3)的充分必要条件为a.是公差为d的等差数列; 证明：若ai =2 , dn =1 ( n =1,2,3 ),则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为136.(石景山区2013届高三一模数学理)给定有限单调递增数列 Xn ( n亡N*, n 2)且x0( n),定义集合A =tXi,Xj0 i, j 2).对于 A =佝，a?,川，an )， B = (b1, b2( ,bnp Sn

23、，定义 AB = (b, - 印，a - 鬼,I i i bn - an )；nMa1,a2, ilLan)=仏印，0,川，兀 an)(川 R) ； A 与 B 之间的距离为 d(A,B)=2： |abl iV(I)当 n=5时，设 A=(1,2,1,2,a5), B =(2,421,3) 若 d(A,B)=7，求 as;(ii)(川)记I证明：若 A,B,C 忘 Sn,且 Wk aO,使 AB =abC，则 d(A, B)+d( B,Cd (AQ ；设 A,B,C 0，使 AB = aBC ?说明理由; = (1,1,川,1)Sn .若 A, BSn，且 d(l , A) =d(l ,B)

24、= p，求 d(A,B)的最大值.38 .(海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理)数列an的各项都是正数，前n项和为Sn,且对任意n N+，都有a： +a； a； +山乜叮=S?.(I )求证：a； =2Sn -an ；( n )求数列右n 的通项公式.39.(通州区13届高三上学期期末理科)现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0,a1, a2,a3, a4,a5，其中a0 = 0 .记 T =a0 七1+a2 七3 七4 七5, Xn = ，yn = (a。+印 + 卅+ an )(n= 0,1,2,3,4,5 )，作函数 y=f(x), 5 T使其图象为逐点依次连接点R(xn,yn X n = 0,1,2,3,4,5 )的折线.(I)求f