博弈论基础作业及答案

1、.博弈论基础作业一、名词解释纳什均衡 占优战略均衡 纯战略 混合战略 子博弈精炼纳什均衡 贝叶斯纳什均衡 精炼贝叶斯纳什均衡 共同知识见PPT二、问答题1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等；以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学

2、生的负担越来越重。请用同样的方法分析其他例子。智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析。请用同样的方法分析其他例子。2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一死战变得可以置

3、信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。3.当求职者向企业声明自己能力强时，企业未必相信。但如果求职者拿出自己的各种获奖证书时，却能在一定程度上传递自己能力强的信息。这是为什么？由于口头声明几乎没有成本，因此即便是能力差的求职者也会向企业声明自己能力强。当然能力强的人也会声明自己的能力强。也就是说不同类型的求职者为了赢得职位会做出同样的声明。这样口头声明就不能有

4、效的传递信息，因此企业不会轻易相信。而求职者拿出获奖证书就成了一个信号博弈。由于获得证书是要付出代价的，但代价却引人而异。能力强的个人可以相对轻易获得证书，而能力弱的个人却很难获得证书，以至于能力弱的人认为化巨大的代价获得证书，从而获得企业的职位是不划算的，因此干脆就不要获奖证书。因此获奖证书就成为个人能力的信号。4.五个海盗抢得100颗钻石,他们为分赃发生了争议,最后达成协议,由抓阄确定出分赃顺序，然后按照民主程序进行分赃。首先由1号海盗提出分赃方案,五人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按1号提出的方案分赃,否则1号将被扔到海里喂鲨鱼。接着由2号提出方案, 四人共同举

5、手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按2号提出的方案分赃,否则2号将被扔到海里喂鲨鱼,依此类推。如果你是1号海盗,你该提什么样的方案?说明理由。 假设（1）五个强盗都很聪明，而且大家知道大家很聪明，大家知道大家知道大家很聪明，如此等等。（2）每个海盗都很贪婪，希望获得尽可能多的钻石，但是又不想为了钻石丢掉性命。（3）给定一个方案，只有该方案大于他的备选方案所获的钻石时，海盗才选择赞成。第一个海盗的提议应该是：五个海盗分别获得的钻石数目为97，0，1，0，2，或者97，0，1，2，0。具体理由自己思考，方法是倒推法。三、计算题1.试计算表1中的战略式博弈的重复剔除劣战略均衡。表1

6、一个战略式表述博弈BLMRAU1,23,12,4M5,67,12,6D3,12,07,8对B而言，战略M严格劣于R；（因为14, 16,08），因此剔除B的战略M；构成新的博弈如下BLRAU1,22,4M5,62,6D3,17,8在新的博弈中，对于A而言，战略U严格劣于D(因为13,27)，因此剔除A的战略U，构成新的博弈如下：BLRAM5,62,6D3,17,8对于新的博弈中，已经没有严格的劣战略，因此没有严格的劣战略可以剔除。所以该博弈不是重复剔除严格劣战略可解的。但是存在弱劣战略。对于B而言，战略L弱劣于R（因为6=6，18）,因此剔除B的弱劣战略L，构成新的博弈如下：BRAM2,6D7

7、,8在新的博弈中，对于A而言，战略M严格劣于D（因为27）,因此剔除A的战略M，构成新的博弈如下：BRAD7,8因此，重复剔除（弱）劣战略均衡为（D，R）（ps: 如果同学们用划线的方法求纳什均衡，就可以发现纯战略nash均衡有两个：（M,L）和（D,R）但采用剔除弱劣战略的方法，把其中一个纳什均衡剔除掉了）2. 试给出下述战略式表述博弈的所有纳什均衡。2LR 1U2,23,3D4,41,2给定1选择U，2的最佳选择是R(因为22），在相应位置划线给定2选择L，1的最佳选择是D（理由自己写），在相应位置划线给定2选择R，1的最佳选择是U（理由自己写），在相应位置划线找两个数字下都划线的，显然有

8、两个纯战略纳什均衡：和据Wilson的奇数定理，可能有一个混合战略均衡。设1选的概率为，那么选D的概率为设2选的概率为，那么选R的概率为，如果存在混合战略，那么2选战略L和R的期望收益应该应该相等，因此应有 自己求解 （2分）同样，1选战略U和D的期望收益应该应该相等 得混合均衡：?3.市场里有两个企业1和2。每个企业的成本都为0。市场的逆需求函数为P=16-Q。其中P是市场价格，Q为市场总产量。（1）求古诺（Cournot）均衡产量和利润。（2）求斯坦克尔伯格（Stackelberg）均衡产量和利润。(1)设两个企业的产量分别为，有，因此利润函数分别为：利润最大化的一阶条件分别为：因此企业1

9、和企业2的反应函数分别为： 联立，得到。自己求解（2）设企业1先行，企业2跟进。两个企业的产量分别为，因此利润函数分别为：由逆向归纳法，在第二阶段，企业2在已知企业1的产量的情况下，最优化自己的产量，从而得到企业2的反应函数：因此企业2的反应函数为： 在第一阶段，企业1考虑到企业2的反应，从而自己的利润函数为： （2分）要使企业1的利润最大，应满足一阶条件：得到。 所以。 （PS: 古诺模型是完全信息静态博弈，求的是纳什均衡；斯坦伯格模型是完全信息动态博弈，求的是子博弈精炼纳什均衡） 4.（1）试给出图1中的完全信息动态博弈的子博弈精炼均衡和均衡结果。（2）倘若2告诉1：2的战略是，问此时1的

10、最优战略是什么？（3）在（2）中，1和2的战略组合构成一个纳什均衡吗？均衡结果是什么？（4）（3）中的纳什均衡不是子博弈精炼的，原因是什么？ 12 a b 2 2 c d e j (1,2) (2,1) 1 (6,3) f g (3,2) l i (4,6) (0,2)答： （1） 1 a b 2 2 c d e j (1,2) (2,1) 1 (6,3)2 （2分） f g (3,2) l i (4,6) (0,2)由逆向归纳法，子博弈精炼均衡为，均衡结果为（4，6）。（2）若2的战略为，则1的最优战略为。（3）给定2的战略为，1的最优战略为；反之，给定1的战略，战略是2的一个最优战略。所以

11、它们构成一个纳什均衡，均衡结果为（6,3）。（4）因为2的战略中含有不可置信的威胁，使1在和之间不敢选。当博弈进行到2在与之间进行选择的时候，2必会选，给定如此，1选而不是，此时2会选，这就是子博弈精炼均衡。5、试解出下述不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡。 1 R (1,2) L 2 l r l r (2,4) (0,1) (3,1) (7,2)当“2”看见“1”未选R时，设他认为“1”选L的概率为P， “1”选的概率为1P，则“2”选的期望支付为：“2”选的期望支付为当，即时，“2”选，而给定“2”选，“1”选L收益为2，选的收益为3，选R的收益为1，因此“1”会选。而给定“1”选，“2”认为（注意：P是“1”选L的概率），与矛盾。故不