三角形的等积变形

1、课程俺息年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式:$=底X咼吃三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小） 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小） 当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。 当三角形的底和高同时发生变化时，三角形

2、的面积不一定变化。化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。 一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。 重要结论： 等底等高的两个三角形面积相等。 若两个三角形的高相等， 其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍, 形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 若两个三角形的底相等， 其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍, 形的面积也是另一个三角形面积的几倍。一个三角形的面积变那么这个三角那么这个三角例1 如图，在 ABC中，D是BC边上一点，BD = 12厘米，DC = 4厘米。（1）求厶ABC的面积是厶ABD面积的多少倍；（2）求厶ABD的面积是厶ADC面积的多少

3、倍。分析与解：因为 ABD、 ABC和厶ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12+ 4= 16, 16+12444=_，所以 ABC的底是 ABD的底的倍，所以， ABC的面积是 ABD面积的倍；333同理，因为12+4 = 3,所以 ABD的面积是 ADC面积的3倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底边长的倍数。例2 如图，E在AD上, 积是 EBC面积的几倍。AD垂直于 BC, AD = 12厘米，DE = 3厘米。求 ABC的面分析与解：因为AD垂直于BC,所以当 BC ABC和厶EBC的底时，AD是厶

4、ABC 的高，ED是厶EBC的高。于是： ABC 的面积=BCX12 + = BC 0; EBC 的面积=BCX3吃 = BCX1.5。所以 ABC的面积是 EBC的面积的4倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数。例3 如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点为 0,求证： AOB与厶COD面积相等。分析与解： ABC与厶DBC等底等高,-Saabc = Sa dbc 又AOB = SA ABCSA BOC ，SA BOC ，SaDOC = SaDBC-Saaob = Sa cod 分析与解：/ D是BC的中点, ADC的面积是 E是AC的中点， ADE的面积是 F

5、是AD的中点， DEF的面积是 ABC面积的一半，即 ADC面积的一半，即 ADE面积的一半，即24吃=12。122= 6。 DEF 的面积=62 = 3。如图， ABC的面积是24, D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求 DEF例5如图所示，在平行四边形 ABCD中，E为AB的中点，AF = 2CF , AFE （图中 阴影部分）的面积为 8平方厘米。则平行四边形 ABCD的面积是多少平方厘米？A E B分析与解：连结FB。因为AF = 2CF，所以 AFB的面积是 CFB的面积的2倍。又因为E为AB的中点，所以 AFB的面积是 AEF的面积的2倍。所以 ABC的面积是 AEF的面积的

6、3倍。又因为平行四边形 ABCD的面积是 ABC的面积的2倍，所以平行四边形 ABCD的面积是 AFE的面积的3X2= 6倍。因此，平行四边形 ABCD的面积为8X6 = 48 （平方厘米）。（答题时间:30分钟）1. 用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2. 如图，在长方形 ABCD中，AD为8厘米，AB为3厘米。请问：阴影部分的面积是多 少平方厘米？3.如图，在 ABC中，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知 S abc = 27平方厘米，求S def。BC长为12厘米，腰CD的长为4.如图所示，梯形8厘米，过B点作CD的垂线BE，BE的长为9厘米。那么

7、梯形 ABCD的面积是多少?5.如图所示，正方形 ABCD的边长为10，三角形BEF的面积为30。那么BF的长度为 多少？1.解：解法一：如图（1），将BC边四等分，连接A与各等分点，则厶ABD、 ADE、 AEF、 AFC的面积相等。解法二：如图（2），D是BC的二等分点，E、F分别是AC、AB的中点，从而得到四 个等积三角形 ADF、 BDF、 DCE、 ADE。解法三：如图（3）, D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到 ABD、 AEC、 ECF、 FCD的面积相等。2解：可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为8 32= 12 （平方厘米）

8、。13解：因为D为BC边的三等分点，所以Sa adcS abc = 9平方厘米。同理S abe =311、Sa abd = 6 平方厘米，Sa bdf = Sa bde = 4 平方厘米，所以 Sa def = 27 9 6 4 = 8 33平方厘米。4解：连接BD ,作出梯形的一条高 DF。三角形BCD以CD为底、BE为高，面积为8 9吃 =36 （平方厘米）；也可以看做以 BC为底、DF为高，由BC = 12厘米可知DF为362-12 =6 （厘米）。在梯形ABCD中，上底为5厘米，下底为12厘米，高为6厘米，面积为（5 + 12） 6-2= 51 （平方厘米）。5解：三角形ABE中以AB为底，相应的高与正方形的边长相