(精编)八年级数学三角形中位线培优专题训练

1、本word文档可编辑可修改 八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半。2.中位线性质定理 的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段 的长度，确定线段 的和、差、倍关系。3.运用中位线性质 的关键是从出现 的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4.中位线性质定理，常与它 的逆定理结合起来用。它 的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得 的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边 的直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行

2、于两底 的直线，必平分另一腰5.有关线段中点 的其他定理还有：直角三角形斜边中线等于斜边 的一半等腰三角形底边中线和底上 的高，顶角平分线互相重合对角线互相平分 的四边形是平行四边形线段中垂线上 的点到线段两端 的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。二、例题例1.已知： ABC中，分别以 AB、AC为斜边作等腰直角三角形BC 的中点。求证： PMPNABM和 CAN，P是证明：作 MEAB，NFAC，垂足 E， F ABM、 CAN是等腰直角三角形 AEEBME，AFFCNF，根据三角形中位线性质AMNFE11PE ACNF， PF ABMECB22PPEAC，PFAB PEB BAC

3、PFC即 PEM PFN PEM PFN PMPN例 2.已知 ABC中， AB10，AC7，AD是角平分线， CMAD于 M，且 N是 BC 的中点。求 MN 的长。A分析： N是 BC 的中点，若 M是另一边中点，1 2则可运用中位线 的性质求MN 的长，107根据轴称性质作出 AMC 的全等三角形即可。辅助线是：延长 CM交 AB于 E（证明略MCBDN例 3.如图已知： ABC中， AD是角平分线， BECF，M、 N分别是 BC和 EF 的中点求证： MNAD证明一：连结 EC，取 EC 的中点 P，连结 PM、PN 11MPAB，MP AB，NPAC，NP ACA221 2BECF

4、， MPNPENF180 - MPN34 3=4=P2BDMCMPN BAC180（两边分平行 的两个角相等或互补） 1=2= 180 - MPN，2=32NPACMNAD证明二：连结并延长 EM到 G，使 MGME连结 CG，FG则 MNFG， MCG MBEACGBECFB BCGEABCG， BAC FCG180NF1CAD（180 FCG）2jD MCBCFG 1（180 FCG）=CAD2G MNAD例4.已知： ABC中， AB AC，AD是高， CE是角平分线， EFBC于 F， GECE交 CB 的延长线于 GA1HO求证： FD CG4证明要点是：延长 GE交 AC于 H，可

5、证 E是 GH 的中点EM2过点 E作 EMGC交 HC于 M，1GCB FD1则 M是 HC 的中点， EMGC， EMGCGC211由矩形 EFDO可得 FDEO EM24三、练习1.如图 11，M、P分别为 ABC 的 AB、AC上 的点，且 AM=BM，AP= 2CP，BP与 CM相交于 N，已知 PN=1，则 PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52.如图 12， ABC中， B=2C， ADBC于 D，M为 BC 的中点， AB= 10，则 MD 的长为 ( )A. 10B. 8C .6D. 53.如图 13， ABC是等边三角形， D、E、F分别是 AB、B

6、C、AC 的中点， P为不同于 B、E、C 的 BC上 的任意一点，DPH为等边三角形 .连接 FH，则 EP与 FH 的大小关系是 ( )A. E PFH4.如图 14，在 ABC中， AD平分 BAC，BDAD，DE AC，交 AB于 E,若 AB= 5，则DE 的长为B. EP=FHC. EPFHD.不确定. 5.如图 15，ABC中，AB=4，AC= 7，M为 BC 的中点， AD平分 BAC，过 M作 MFAD，交 AC于 F，则 FC 的长等于 .6.如图 25， P为 ABC内一点， PAC=PBC，PMAC于 M，PNBC于 N.D是 AB 的中点 .求证： DM=DN7.如图

7、 16，在 ABC中， D、 E是 AB、 AC上 的点，且 BD=CE，M、N分别是 BE、CD 的中点，直线 MN分别交 AB、AC于 P、Q.求证： AP=AQ8.如图 17， BE、CF是 ABC 的角平分线， ANBE于 N，AMCF于 M.求证： MNBC.9.如图 18，在 ABC中， AD平分 BAC，AD=AB，CMAD于 M.求证： AB+AC= 2AM10.如图 19，四边形 ABCD中， G、H分别是 AD、BC 的中点， AB=CD .BA、CD 的延长线交HG 的延长线于 E、F.求证： BEH=CFH .顶级超强练1.如图 20，在 ABC中， ABC=2C，AD

8、平分 BAC，过 BC 的中点 M作 MEAD，交BA 的延长线于 E，交 AD 的延长线于 F.1求证： BEBD .22.如图 21，在 ABC中， ABAC， P为 AC上 的点， CP=AB， K为 AP 的中点， M为 BC 的中点， MK 的延长线交 BA 的长线于 N.求证： AN=AK .3.如图 22，分别以 ABC 的边 AC、BC为腰， A、B为直角顶点，作等腰直角腰直角 BCD，M为 ED 的中点 .ACE和等求证： AMBM.04.如图 23，点 O是四边形 ABCD内一点， AOB=COD= 120，AO=BO CO=DO，E、，F、G分别为 AB、CD、BC 的中

9、点 .求证： EFG为等边三角形 .5.如图 24， ABC中， M是 AB 的中点， P是 AC 的中点， D是 MB 的中点， N是 CD 的中点， Q是 MN 的中点，直线 PQ交 MB于 K.求证： K是 DB 的中点 .6.如图 25， P为 ABC内一点， PAC=PBC，PMAC于 M，PNBC于 N.D是 AB 的中点 .求证： DM=DN图 21图 22图 23图 24图257.如图 26， AP是 ABC 的角平分线， D、E分别是 AB、AC上 的点，且 BD=CE .又 G、H分别为 BC、DE 的中点 .求证： HGAP.8.如图 27，已知 ABD和 ACE都是直角三角形，且 ABD=ACE= 900，如图 (a)，连接DE，设 M为 DE 的中点 .(1)求证： MB=MC ;(2)设 BAD=CAE，固定 ABD，让 Rt ACE绕顶点 A在平面内旋转到图 (b) 的位置，试问 MB=MC是否成立 ?并证明其