《导数的概念》(第1课时)教案1(最新整理)

1、导数的概念（第 1 课时）一、教学目标：1. 了解曲线的切线的概念2. 在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念3. 掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念 三、教学用具：多媒体四、教学过程：1. 曲线的切线如图， 设曲线 c 是函数y = f (x) 的图像， 点 p(x0 , y0 ) 是曲线 c 上一点， 点q(x0 + dx, y0 + dy) 是曲线 c 上与点 p 邻近的任一点作割线 pq，当点 q 沿着曲线 c 无限地趋近于点p，割线pq 便

2、无限地趋近于某一极限位置pt我们就把极限位置上的直线pt，叫做曲线 c 在点 p 处的切线问：怎样确定曲线 c 在点 p 处的切线呢？因为 p 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线 pq 的倾斜角为b，切线 pt 的倾斜角为a，既然割线 pq 的极限位置上的直线 pt 是切线，所以割线 pq 斜率的极限就是切线 ptdy的斜率tana，即tana= lim= limf (x0 + dx) - f (x0 ) .dx0 dxdx0dx例题求曲线 y = x2 +1 在点 p（1，2）处的切线的斜率 k解： dy =f (x0 + dx) - f (x0

3、) =f (1+ dx) - f (1) = (1+ dx)2 +1- (1+1) = dx2 + 2dxdy = dx2 + 2dx = d +dxdxx2dy k = limdx0 dx2. 瞬时速度= lim(dx + 2) = 2 ，即 k = 2 dx0我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数 s = s(t) 描述下面以自由落体运动为例进行分析已知 s = 1 gt 2 2（1）计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、3.01 秒、3.001 秒、3.0001 秒各段内平均速度（2）求t = 3 秒时的瞬时速度解：（1） 3,3.1, dt = 3.1- 3 = 0.1, dt

4、 指时间改变量ds = s(3.1) - s(3) = 1 g 3.12 - 1 g 32 = 0.3059.ds 指位置改变量22v = ds = 0.3059 = 3.059.dt0.1其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况dsds（2）从（1）可见某段时间内的平均速度 dt 随dt 变化而变化， dt 越小， dt 越接近ds于一个定值，由极限定义可知，这个值就是dt 0 时， dt 的极限 d1 g (3 + dt)2 - 1 g 32v = lims = lim s(3 + dt) - s

5、(3) = lim 22dt 0 dtdt 0dtdt 0dt= 1 g lim(6 + dt) = 3g = 29.4 （米/秒）2dt 0ds问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当dt 0 时，平均速度 dt 的极限） 教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻t0 的瞬时速度的方法如下：非匀速直线运动的规律 s = s(t)时间改变量dt ，位置改变量ds = s(t0 + t) - s(t0 )平均速度v =ds ，瞬时速度v = lim ds dtdt 0 dt一般地，如果物体的运动规律是 s = s(t) ，物体在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到t + dt

6、 这段时间内，当dt 0 时，平均速度的极限，即v = lim ds = lim s(t + dt) - s(t)dt 0 dtdt 0dt例题若一物体运动方程如下：3t 2 + 2s = 29 + 3(t - 3)2(0 t 3) (t 3)(1)(2)求此物体在t = 1和t = 3 时的瞬时速度 解：当t = 1时， s = 3t 2 + 2v = dsdt= limdt 0=s(t + dt) - s(t)dt6dt + 3dt 2= limdt 03(1+ dt)2 + 2 - 312 - 2dtlimdt 0dt= lim(6 + 3dt) = 6.dt 0当t = 3 时， s

7、= 29 + 3(t - 3)2v = dsdt= limdt 0s(t + dt) - s(t)dt= limdt 029 + 3(3 + dt - 3)2 - 29 - 3(3 - 3)2dt= limdt 03(dt)2dt= lim 3dt = 0.dt 0所以，物体在t = 1和t = 3 时的瞬时速度分别是 6 和 0 3课堂练习（学生练习后教师再讲评）（1） 求 y = x3 - 2x + 2 在 x = 2 处的切线的斜率解： dy =f (x0 + dx) - f (x0 )= f (2 + dx) - f (2)= (2 + dx)3 - 2(2 + dx) + 2 - (

8、23 - 2 2 + 2)= 10dx + 6(dx)2 + (dx)3dy = 10 + 6dx + (dx)2dx k = lim dy= lim(10 + 6dx + dx2) = 10.dx0 dxdx0（2） 教科书第 111 页练习第 1、2 题 4课堂小结（1） 曲线的切线（2） 瞬时速度（3） 求切线的斜率、瞬时速度的步骤 五 、 布 置 作 业 1求下列曲线在指定点处的切线斜率（1） y = -x3 + 2, x = 2 处，（2） y =1x +1, x = 0 处2已知某质点按规律 s = 2t 2 + 2t （米）作直线运动求：（1）该质点在运动前 3 秒内的平均速度；

9、（2）质点在 2 秒到 3 秒内的平均速度；（3）质点在 3 秒时的瞬时速度解：1（1） k = -12 ，（2） k = -1 ；2（1）8 米/秒，（2）12 米/秒，（3）14 米/秒“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teach

10、ing position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the ne