圆锥曲线专题复习讲义(椭圆双曲线抛物线

1、圆锥曲线专题复习讲义一椭圆知识梳理1.椭圆定义：(1) 第一定义：平面内与两个定点F,、F2的距离之和为常数 2a(2aF2F2 |)的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F,、F2叫椭圆的焦点.当|PFi +|PF2 =2a 尸尸2时,P的轨迹为椭圆;当PF, +|PF2 =2a vFtF2时，P的轨迹不存在；当PF,出PF 2 =2a = F,F2时，P的轨迹为-以 F,、F?为端点的线段2.椭圆的方程与几何性质标准方程2 2冷 +彩=(a b a。) ab2 2缶岭=1(ab0)性质参数关系2 2 2 a =b +c焦占八 、八、(c,O),(-c,O)(0,c),(0,-c)焦距2c范围|

2、x|兰a,| y |兰b| y 匡 a,|x|兰 b顶点(-a,O),(a,O),(O,-b),(O,b)(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率e = - (0,1) a热点考点题型探析考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学 2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出 发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不 计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的

3、路程是A . 4a B. 2(a c) C. 2(a+c)D.以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况：(1) A -C -A,此时小球经过的路程为2(a c);(2) A - B - D - B - A，此时小球经过的路程为 2(a+c);A - P - B -Q - A此时小球经过的路程为 4a,故选D【名师指弓I】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】21. 短轴长为5 ,离心率e的椭圆两焦点为Fi, F2,过F1作直线父椭圆于 A、B两点，3则厶ABF2的周长为()A.3B.6C.12D.24解析C.长半轴a=3, ABF 2的周长为4a=122 2XV222. 已知P为椭圆1上的

4、一点，M , N分别为圆(x 3)2 y2 = 1和圆25 16(x3)2 +y2 =4上的点，贝U PM +|PN的最小值为()A.5B.7C . 13D.15解析B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，二| PC | + | PD |=10 , | PM|+|PN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 2 4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子 描述”出来X2y2x2y2解析设椭圆的方程为 2=1或二 2 = 1(a b 0),abbab =c则

5、a -c =4&2 -1),a =b 十c_ 2 2 2 2 解之得：a=42 , b=c= 4.则所求的椭圆的方程为 Z+L=1或乙+丄=132161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系.警示易漏焦点在 y轴上的情况.【新题导练】3.如果方程x +ky =2表示焦点在y轴的椭圆，那么头数 k的取值范围是解析(0,1).2 2 2椭圆方程化为X + y =1.焦点在y轴上，则 2，即k0,. 0k0(* )2kmm2 1x1 + x2=, x1x2 =1k2 + 21 2 k2 + 2x1 + x2 = 2x2T AP = 3 PB . X1= 3x2 /.1

6、x1x2 = 3x22kmm2 1消去x2,得 3(冷+X2)+4x1x2 = 0,3 ()+ 4T2T2=0整理得 4k2m2 + 2m2 k2 2= 0，上式不成立；m2k2= 2 2m24m2 12 2 2m211因 x=3 :e :k= 4m10，A 1m1 或 1m2m2 2成立，所以(* )成立即所求m的取值范围为(一1, 1 )U(1, 1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能2 2例7 椭圆 笃爲=1(a b 0)上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点 Fi,A为椭 a b圆的右顶点，b是椭圆的上顶点且kBoP(，.0).、求该椭圆

7、的离心率、若该椭圆的准线方程是x二2, 5，求椭圆方程.解析、打 ABOP,.AB /OP , . PFiOBOA,PF1IFO1BO|OA|丰PF1占，2 c又 P(-c,y)二 p a而 a2 二 b2 c2. a2PFi,2PF1b、7 x = _25为准线方程,2=2.5 =ca = 25c,命2 =25c- 2a2 =10 由b=cb2 =52 2x y_2 2 2a-b c所求椭圆方程为1 105【新题导练】14设过点P x, y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP =2PA，且OQAB =1，贝y P点的轨迹方程是A

8、. 3x2 3y2 = 1 x 0, y 0 23B.x22c2-3y=1 x 0, y 0D. 3x23y2 =1，选 A.QC. 3x y = 1 x 0, y 02解析AB =(-3x,3y),OQ =(-x,y).2 2J215. 如图，在Rt ABC中，/ CAB=90 , AB=2 , AC=。一曲线E过点C,动点P在曲2I经过A与曲线E交于M、N两点。线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线(1)建立适当的坐标系,求曲线 E的方程;(2)设直线I的斜率为k，若/ MBN为钝角,求k的取值范围。解：(1)以AB所在直线为x轴，AB的中点0为原点建立直角坐标系，则 A (-

9、 1, 0), B(1, 0)由题设可得5|PA| |PB|=|CA| |CB|=222( 2)223 2 = 2 22 2 22 2动点P的轨迹方程为 务与=1(a b 0),a b则 a = 2,c = 1.b = a C = 12曲线E方程为y2 =12(2)直线 MN 的方程为 y = k(x 1),设M (X|, y1),设M (x1, y1,), N (x2, y2) y = k(x +1)2222由22 得(1+2k2)x2+4k2x + 2(k2 1)=0、x2 +2y2 _2=0:=8k280方程有两个不等的实数根2 2x1 x2 =4k22(k2 -1)1 2k2厂为X22

10、 2k2BM =(咅-1,yJ, BN =化 Ty)BM BN 二(x1 T)(x21) y2 二(x1)(x1) k2(x1 1)(x1 1)=(1 k2)x1x2 (k1)(x1x2) 1 k22(1 k )2(k2 _1)1 2k22(k -1)(4k21 2k2)1k27k2 -11 2k2/ MBN是钝角即 I : 01 2k2N三点不共线综上所述,_J7茁k的取值范围是（-一丄,0） . （0,丄）77基础巩固训练1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线ABi与BF交于D,且 BDB1=90，则椭圆的离心率为（3 -1A -2.5 -1B -2CD2解析B .-(-3 1 二

11、a.5 -122.设 F1、F2为椭圆2x+y2=1的两焦点，P在椭圆上，4当厶F1PF2面积为1时，PF1 PF2的值为C、2 D、3解析A . S f1pf2= 3 | yP 1= 1， . P的纵坐标为3，从而P的坐标为32 6. 3(一3 匚，PF1 卩“0，2 23椭圆釘节1的一条弦被A（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是A. x-2y=0B. 2x y-10=0 C. 2x-y-2 = 0 D. x 2y-8=02Xi解析D. 3621,2X236牛1,两式相减得:y y2为 X24(%y2)- =0,x1 x2XiX2 =8,yiyi 一丫24.在 ABC 中,-90 ,t

12、an B .若以 A,4B为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率e =解析AB = 4k, AC = 3k, BC = 5k, e =ABAC BC 25.已知Fi,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点 若.PFiF2： PF2F1F1PF2 =1:2:3,则此椭圆的离心率为解析.3 -1三角形三边的比是1: .3:22x y6.在平面直角坐标系中，椭圆22=1( a b 0)的焦距为2，以o为圆心，a为半径a b的圆，过点a2,0作圆的两切线互相垂直，则离心率解析2ac综合提高训练7、已知椭圆2 X2 a与=1 (a b 0)与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T,且

13、椭圆的离心率e =13 求椭圆方程2解析直线I的方程为:二 a2 =4b22 2x 丄T b2 11y x 12得:(b2Rx2-a2x a2-a2b2 =0 =a4 -(4b2a )(2 2 2 2 2a -a b ) =0，即 a =4 -4b 由得：a2 =2, b22 2故椭圆E方程为212 丄2 28.已知A、B分别是椭圆 笃-爲=1的左右两个焦点，O为坐标原点，点P(_1,一)在椭a b2圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。(1)求椭圆的标准方程;的值。sin A + sin B(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC，求sin C解析(1 )点M是线段PB

14、的中点 OM是厶PAB的中位线又 OM _ AB PA _ AB解得 a2 =2,b2 =1,c2 =11 1T =1 a22 b2a2 二 b2 c2椭圆的标准方程为2y =1(2)：点C在椭圆上,A、B是椭圆的两个焦点- AC + BC = 2a = 2.2 ,AB = 2c= 2在厶ABC中，由正弦定理，-BCACAB-sin A sin B sin Csin A sinBBC AC 2、2 _ ?2si nCAB9.已知长方形ABCD, AB=2-2 ,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图 8所示的平面直角坐标系xoy.(I )求以A、B为焦点，且过c、D两点的椭圆的标准方程；(n

15、)过点P(0,2)的直线l交(I )中椭圆于M,N两点，是否存在直线丨，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线丨的方程；若不存在，说明理由.解析(I )由题意可得点A,B,C的坐标分别为- -2 ,0 , ,2,0 , , 2,1 .2 2设椭圆的标准方程是笃与二1 a . b 0 . a b则 2a = AC BC二.2 亠 1 一0 2 . 2 一、2 2 1 一0 2=4 - 2,.：2a = 2b a c 42=2.2 2x y 椭圆的标准方程是1.42(n )由题意直线的斜率存在，可设直线丨的方程为y = kx 2 k = 0 . 设M,N两点的坐标分别为x1, y1 ,

16、 x2, y2 .联立方程：丿y = kx +22 2x +2y =4消去y整理得,1 2k2 x2 8kx 0有 x1x2 =8k41 2k2若以MN为直径的圆恰好过原点，则OM _0N，所以x1x2 y1y0,所以，X1X2kx2 kx2 2 =0,即 1 k2 xg 2k 捲 x2 i亠 4 = 0所以,41k16k1 -2k21 2k24=0即陈。,得 k2 =2,k 二-.2.所以直线l的方程为y2x 2,或y =2x 2.所以存在过P(0,2)的直线I： y =f2x 2使得以弦MN为直径的圆恰好过原点圆锥曲线专题复习讲义一双曲线知识梳理1. 双曲线的定义(1)第一定义：当IIPF

17、j-|PF2|=2a ：厅也|时，P的轨迹为双曲线 当IIPFJ-PF? |=2a .|吋2时,P的轨迹不存在 当| PFPF? | = 2a = F1F2时,P的轨迹为以Fp F?为端点的两条射线(2 )双曲线的第二义平面内到定点F与定直线I (定点F不在定直线I上)的距离之比是常数 e(e 1)的点的轨为2 2与双曲线 务-占=1共渐近线的双曲线系方程为:a b二(；0)a2 b2双曲线标准方程2 222 1(a,b aO)a b2 21(a,b0)a b性质焦占八、八、(c,0), (-c,0),(0,c),(0,-c)焦距2c范围|x|Za,y 乏 R| y |Za,x R顶点(a,0

18、),(T,0)(0t),(0, a)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率e =E 乏(1,七 a准线2.ax = 士c2.a y = c渐近线.b y =xay = x b2.双曲线的标准方程与几何性质2222 22与双曲线 务-占“共轭的双曲线为 H =1a2 b2b2 a2等轴双曲线x2-y2= a2的渐近线方程为 y = x，离心率为e = 2 .；重难点突破1注意定义中陷阱问题1：已知Fi(-5,0), F2(5,0), 曲线上的动点P到Fi,F2距离之差为6,则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足2a ：| F,F2|，二要注意是一支还是两支PF1MPF26：1Op的轨迹是双曲线的右

19、支2 2其方程为专亡十0)2. 注意焦点的位置3问题2：双曲线的渐近线为 y x，则离心率为2点拨：当焦点在x轴上时，ba-，e；当焦点在y轴上时,2 2热点考点题型探析考点1双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，至俩定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.解析如图，以接报中心为原点O,

20、正东、正北方向为 x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C 分别是西、东、北观测点，则A (- 1020, 0), B (1020 , 0) , C ( 0, 1020)设P ( x,y)为巨响为生点，由 A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y= x,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|- |PA|=340 4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得 a=680, c=1020 ,b2 =c2 -a2 =10202 -6802 =5 3402故双曲线方程为2x6802212 15 3402用 y= x 代入上式，得

21、x = 680 . 5 , |PB|PA|,.x 二-680 5, y =680.5,即P(-680 . 5,680.5),故PO = 680.10答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心680.、10m处【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为数学模型”【新题导练】21设P为双曲线X2 -A1上的一点Fl、F2是该双曲线的两个焦点，若 IPFf： |PF2|=3: 2，12则厶PF1F2的面积为()A. 6 3B. 12C. 12 3D. 24解析：a=1,b二 12,c=.13，由 | PF1 |:|PF2 |=3:2又 |PF1 | - | PF2 | = 2a =2,由、解得 |P

22、F1 6,| PF2 |=4.2 2 2| PF1 | PF2 | =52,厅十2丨=52, PF| F2为直角三角形,11.PF1F2.S PF1f2| PF1 | | PF2 |6 4 =12.故选 B。2 2x y2如图2所示，F为双曲线C :1的左916焦点，双曲线C上的点R与P74 i =1,2,3关于y轴对称,则|RF|+2F|+|P3F|Rf|RfIRf 的值是()A . 9 B. 16 C. 18D. 27解析RF| RF| = |RF PF =6，选 C2 23. P是双曲线 令-占=1(a 0,b 0)左支上的一点，F2分别是左、右焦点，且焦距a b为2c,则厶PF1F2的

23、内切圆的圆心的横坐标为()(A) -a (B) -b(C) -c(D) a b-c解析设FF1F2的内切圆的圆心的横坐标为 X。,由圆的切线性质知，PF 2 - PF i =|c-Xo|-|Xo -(-C)|=2a= x - - a题型2求双曲线的标准方程x2例2 已知双曲线C与双曲线162=1有公共焦点，且过点（3、2 , 2） 求双曲线C4的方程.【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组2X解析解法一：设双曲线方程为2a2計.由题意易求又双曲线过点（3 ,2，又T a2+b2= (2) 2,二 a2=i2,b2=8.故所求双曲线的方程为2X12解法二：设双曲线方程为=1.82X1

24、6 k2 y_=i.8【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（将点（3 ,2，2）代入得k=4,所以双曲线方程为x212a、 b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用【新题导练】4. 已知双曲线的渐近线方程是0，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程22乙解析设双曲线方程为x -4y = ,当0时，化为亠匚1, 20 ,4当 ：0时，化为222综上，双曲线方程为20=1或20=15.以抛物线y23x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x - 3y = 0的双曲线方程为2x2 -y1(x 1)10解析PM -PN =BM -BN =2 ,的右支，选 BP

25、点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线解析抛物线y2 =8 -, 3x的焦点F为(2 3,0)，设双曲线方程为x2-3y22 24(2.3)2. 一 9，双曲线方程为-y 13 936已知点M (-3,0) , N(3,0) , B(1,0),动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点 P，贝U P点的轨迹方程为2x2 - y 1( x 1)822 yC. x1 (x 0)8考点2双曲线的几何性质 题型1求离心率或离心率的范围2 2例3已知双曲线 笃去 =1，(a 0,b 0)的左，右焦点分别为 F1,F2，点P在双曲a b线的右支上，且| PR |=4| PF? |，

26、则此双曲线的离心率 e的最大值为【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决PR解析(方法1)由定义知| PFi | - | PF2戶2a ,又已知| PFi戶4| PF2 |,解得PF22a，在PF1F2中，由余弦定理，得cos F1PF2364 24 2,2a a -4c998 22 a a3317要求e的最大值，即求cos F1PF2的最小值，当cos F1PF2二-1时，解得5最大值为-.3、亠 円| (万法2)-2a |珏|才.王.亘IPF2IIPF2Ic-a 双曲线上存在一点2a5P使 |PF1 |=4| PF2 I,等价于 14, e c a3(方法3)设P(x,y),

27、由焦半径公式得 PF1= ex+a, PF2| = ex-a, / PR =4PF2 ,5a55(ex a)=4(ex-a),.匸， -a,.,.e的最大值为 5.【名师指引】(1)解法1用余弦定理转化，解法 2用定义转化，解法 3用焦半径转化;(2)点P在变化过程中,|PF11的范围变化值得探究;(3 )运用不等式知识转化为a,b,c的齐次式是关键【新题导练】2 27.已知双曲线 一 - =1的一条渐近线方程为m ny =4x ,则该双曲线的离心率e3解析当m0, n时,16e225，当 m2：0时，兰,9n 92 m n 25 e =n 162x8.已知双曲线a近线的交点分别为2y2 =1

28、(a0,b0)的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐bA、B两点，若/ AEB=60，则该双曲线的离心率 e是(D .不存在.3,caba2解析设双曲线的左准线与x轴交于点D,则AD , ED =a , accc题型2与渐近线有关的问题2 2例4若双曲线 务=1(a0,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的a b离心率为 ()A. 2B. 3C. 一 5D. 2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a,b,c的关系2b2解析焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b = 2a , e2 = = 1 飞=5,所以e八5aa【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a,b

29、,c的比例关系可以求离心率也可以求渐近线方程【新题导练】2 29.双曲线y=1的渐近线方程是()49243r9A. y =xB. yxC. yxD. yx3924解析选C210.焦点为（0, 6）,且与双曲线 今y2=l有相同的渐近线的双曲线方程是（）2 212242 2 y xB.11224C.2 22412解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选D.2x22_ -12412B基础巩固训练2 2 2 2以椭圆奩临T的右焦点为圆心，且与双曲线詁1的渐近线相切的圆的方程是(A)2 2 2 2x y -10x 9=0(B) x y -10x-9=0(C) x22 2 2y2 10x

30、 9=0(D) x y 10x-9 =0解析椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b,2已知双曲线的两个焦点为戸（- .10,0）、F2（10,0）,是此双曲线上的一点，且满足MR MF? =0，|MF1| | MF2 | = 2，则该双曲线的方程是2 2x 22 yA.y2 =1 B.x2199解析由|MFj IMF2 | = 2 和+ PF=40 得 | PF1_PF2 |=6，选 A3两个正数b的等差中项是一个等比中项是2、5，且a b,则双曲线离心率为C.414解析a =5,b =4设e , e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共r2 十 2点，

31、且满足pf1 PF2 =0 ,则卑的值为（c ）Ge）C. 2D .不确定解析C.设 | PFi | | PF? |=2a , | PFi | -1 PF? |=2m , . | PFi |=a m , |PF? |=a m ,2 2 2 2 2(a m) (a -m) 4c . a m= 2c2.1 1+2 2 ee2=25已知F1, F2分别是双曲线x2= 1(a0,b .0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A, B两点，若厶ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）(A).(12, = )(B).(1,1.2)(C).(1, .3)(D).( .3,2 -

32、2)I解析:1 二 c a : 2ac二 e2e1 ： 0= e ： 1、2，选 B2c22226.曲线一X- =1(m：6)与曲线- =1(5： n ： 9)的()10 m 6m5 n9 nA 焦距相等B 焦点相同C.离心率相等D 以上都不对2 2解析方程一Xy一 二1（m ： 6）的曲线为焦点在 x轴的椭圆，方程10 m 6 m2 2=1（5： n：9）的曲线为焦点在 y 轴的双曲线5 - n 9 - n(10 m) (6m) =(9 - n) (n -5),故选 A综合提高训练22 2 27. 已知椭圆J =1和双曲线笃=1有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近3m2 5n22m3n线方程（

33、2）直线l过焦点且垂直于 x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为3，求双曲线的方程4解析（1）依题意，有3m2 -5n 2m2 3n2 ,即m2 =8n2 ,即双曲线方程为2x16n22加1,故双曲线的渐近线方程是x216n2即 yx ,.4厂厂(2 )设渐近线yX与直线丨：x = C交于A、B ,则| AB | =42Sqab Jc 空二 m 解得 c =1 即 a2 b2 =1，又-，3*224aa2=兰,b219_3_-1922双曲线的方程为空 空 11632 28已知是双曲线 笃 y2 =1的左，右焦点，点P x, y是双曲线右支上的一个动点，且a bPF1的最小值为8,双

34、曲线的一条渐近线方程为 y = 4x.求双曲线的方程；3解析-PF,=ex a_ea - a = ac,当且仅当 x = a时取等号2|PF1的最小值为 c a c a = 8. ；双曲线笃a2_y=1的一条渐进线方程为b4b4222y x，又 c= a b 3a3由得a =3,b =4,c =5,所以所求双曲线方程为221亠=1169已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 2,0 , 右顶点为(I)求双曲线C的方程(n)若直线丨：y =kx 2与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA *OB - 2 (其中O为原点)，求k的取值范围2 2解(1)设双曲线方程为务-每=1a b由已知得a = .3,

35、2，再由a2 b22，得b2 =12故双曲线C的方程为-y1 32(2)将 y = kx 2 代入- y23=1 得(1-3k2)x2 -6、2kx-9 =0f2由直线l与双曲线交与不同的两点得1 -3k -0二 6、2k $36(1 -32) =36(1 k2)0即 kp 且 k 1.设 A(XA,yA),B(XA,yB),，则6运-9XA y_yXAyB=k，由 OA *OB . 2 得 XaXb YaYb 2 ,而 XaXbYaYb二 XaX(g、.2)化沧、2) =(k21)XaXblk(XAXb)2g2毕2斗1_3k21-3k23k -12 23k27_3k2912是3V-72，即仝

36、90解此不等式得1:： k2:： 3.3k -13k -1312由+得一 ：k : 13故的取值范围为(-1,-参考例题:2X已知双曲线C :飞a2每=1(a 0, b - 0)的两个焦点为F1,F2，点P是双曲线C上的一点, bPFi PF2 =0，且 PFi =2PF2 .(1) 求双曲线的离心率 e ；(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于Pi,P2两点，若 OP, OP2272PR+PF2= 0,求双曲线C的方程.(1 )设PF? = r，则 PF,二 2r , PF, 一 PF2 ,- F1F2 =|PFi| + PF2c2a(2 )由二.e2 -1 = 2，从而双曲线的渐近

37、线方程为y = _2x ,a依题意，可设 P(x, y), R (xxj, P2 (x2,-2x2),79由 OR OP2 = xm2 -4x2 = - ，得为乂2 = .4 4由 2PR PR =0，得2_X23x=0 ,解得4为 - 2x2 - 3y = 02x1 x234% -2x23点P（x, y）在双曲线2 2y q 上.a g)2 = 1 上， 2b9a2(4xi - 2x2 )9b292又b =2a，上式化简得xqx2a2.82 2 由，得a =、. 2，从而得b = 2 . 2故双曲线C的方程为 D 1 .2 8双曲线专题练习一一、填空题2 2 2 21椭圆Xy2 =1与双曲线

38、 -址1的焦点相同，贝V k=。9 k2k 32 22. 双曲线 -1的渐近线为 两渐近线夹角为 4，则943. 已知Fi、F2为椭圆的两个焦点，A为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为 AF1F2面积的最大值为4过点（-6, 3）且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 x2 y25. 过原点与双曲线1交于两点的直线斜率的取值范围是 436. 若双曲线8kx2 ky2 =8的一个焦点是（0, 3）,则k的值是7. 已知直线y=kx-1与双曲线x2 -y2 = 1 ,试列出实数k需满足的不等式组，使直线与双曲线交同支于两点,228. 点P是双曲线1上一点，Fi、F2是双曲线焦点，右._FiPF2=120 ,43贝L -：FiPF2的面积。9. 过点M (2,0 )的直线 L与椭圆x2+ 2y2= 2交于P i、P2两点，线段P 1P2的中点为P,设直线I的斜率为ki ( kiQ),直线OP的斜率为k2，则kik2的值为.10. 若对任意k R,直线y=k(x2) b与双曲线x2 _y2 =1总有公共点，贝U b范围b 0)上的点A(1, 2 )到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程；设K是中椭圆上的动点,Fi是左焦点,求线段F/的中点的