(完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳(最新整理)

1、中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总2(y- y ) + (x2- x )2abab1、两点间的距离公式： ab =2、中点坐标：线段 ab 的中点c 的坐标为： xa + xby a + yb ，22直线 y = k1 x + b1 （ k1 0 ）与 y = k2 x + b2 （ k2 0 ）的位置关系：（1）两直线平行 k1 = k2 且b1 b2（2）两直线相交 k1 k2（3）两直线重合 k1 = k2 且b1 = b23、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用d 和参数的其他要求确定参数的取值范围；（4） 两直线垂直 k1k2 = -1 解方程，求出方程的根；（两种形

2、式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x 的一元二次方程 x 22(m + 1)x + m20 有两个整数根， m5 且 m 为整数，求 m 的值。4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线 y = mx2 + (3m +1)x + 3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 x 的方程 mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有

3、一个固定的根。解：当 m = 0 时， x = 1；d当 m 0 时， d = (m - 3)2 0 ， x = 3(m - 1) 2m综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。， x1= 2 - 3 、 xm2= 1 ；6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 y = x 2 - mx + m - 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 m 的方程 y - x 2 + 2 = m(1 - x) ； y - x 2 + 2 = 0 1 - x = 0 y = -1，解得： x = 1 ； 抛物线总经

4、过一个固定的点（1，1）。（题目要求等价于：关于 m 的方程 y - x 2 + 2 = m(1 - x) 不论 m 为何值，方程恒成立） a = 0小结：关于 x 的方程 ax = b 有无数解 b = 07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1） 如图，直线l1 、l2 ，点 a 在l2 上，分别在l1 、l2 上确定两点 m 、 n ，使得 am + mn之和最小。（2） 如图，直线l1 、l2 相交，两个固定点 a 、 b ，分别在l1 、l2 上确定两点 m 、 n ，使得bm + mn + an 之和最小。（3） 如图， a、b 是直线l 同旁的两个定点，线段 a ，在

5、直线l 上确定两点 e 、 f （ e 在 f的左侧 ），使得四边形 aefb 的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，spab=1/2 pmx=1/2 any9、函数的交点问题：二次函数（ yax2bxc ）与一次函数（ ykxh（1）解方程组 yax 2bxcykxh可求出两个图象交点的坐标。（2）解方程组 yax 2bxc ykxh，即 ax2 bk xch0 ，()通过d 可判断两个图象的交点的个数3有两个交点 仅有一个交点 没 有 交 点 d0d = 0d0）10、方程法（1） 设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2） 表示

6、：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3） 列方程或关系式11、几何分析法几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移l1 l2kk 、 k = y1 - y2 12x - x12平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等ab =(ya- y )2 + (xba- x )2b直角三角形直角梯形 矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。ab =(ya- y )2 + (xba- x )2b等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角

7、三角形”、“等腰三角形” 等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。【例题精讲】yboaxcd一 基础构图：y= x 2 - 2x - 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点 p，使得 pb+pc 的和最小，求出 p 点坐标在对称轴上找一点 p，使得 pb-pc 的差最大，求出 p 点坐标yboaxcd求面积最大连接 ac,在第四象限找一点 p，使得dacp 面积最大，求出 p 坐标yboaxcd 讨论直角三角 连接 ac,在对称轴上找一点 p，使得dacp 为直角三角形， 求出 p 坐标或者在抛物线上求点 p，使acp 是以 ac 为直角边的直角三角形yboa

8、xcd 讨论等腰三角 连接 ac,在对称轴上找一点 p，使得dacp 为等腰三角形， 求出 p 坐标 讨论平行四边形1、点 e 在抛物线的对称轴上，点 f 在抛物线上， 且以 b，a，f，e 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 f 的坐标6二 综合题型例 1(中考变式）如图，抛物线 y = -x 2 + bx + c 与 x 轴交与 a(1,0),b(-3，0)两点，顶点为 d。交 y 轴于 c(1) 求该抛物线的解析式与abc 的面积。(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 m，使mbc 是以bcm 为直角的直角三角形，若存在，求出点 p 的坐标。若没有，请说明理由(3) 若 e 为抛

9、物线 b、c 两点间图象上的一个动点(不与 a、b 重合)，过 e 作 ef 与 x 轴垂直，交 bc于 f，设 e 点横坐标为 x.ef 的长度为 l，求 l 关于 x 的函数关系式？关写出 x 的取值范围？当 e 点运动到什么位置时，线段 ef 的值最大，并求此时 e 点的坐标？(4) 在（5）的情况下直线 bc 与抛物线的对称轴交于点 h。当 e 点运动到什么位置时,以点 e、f、h、d为顶点的四边形为平行四边形？(5) 在（5）的情况下点 e 运动到什么位置时，使三角形 bce 的面积最大？例 2考点： 关于面积最值 3如图，在平面直角坐标系中，点 a、c 的坐标分别为(1，0)、(0

10、，)，点 b 在 x 轴上已知某二次函数的图象经过 a、b、c 三点，且它的对称轴为直线 x1，点 p 为直线 bc 下方的二次函数图象上的一个动点（点 p 与 b、c 不重合），过点 p 作 y 轴的平行线交 bc 于点 fyaofbxcp（1） 求该二次函数的解析式；（2） 若设点 p 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段 pf 的长；（3） 求pbc 面积的最大值，并求此时点 p 的坐标x1例 3考点：讨论等腰如图，已知抛物线 y 1 x 2bxc 与 y 轴相交于 c，与 x 轴相交于 a、b，点 a 的坐标为（2，0），2点 c 的坐标为（0，1）（1） 求抛物线的解析式；（

11、2） 点 e 是线段 ac 上一动点，过点 e 作 dex 轴于点 d，连结 dc，当dce 的面积最大时， 求点 d 的坐标；（3） 在直线 bc 上是否存在一点 p，使acp 为等腰三角形，若存在，求点 p 的坐标，若不存在， 说明理由ybocdeaxybocax备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点a（一1，0）和点b（1，2），在坐标轴上确定点p，使得abp为直角三角形，则满足这样条件的点p共有（）(a）2个（b）4 个 （c）6个（d）7个 已知：如图一次函数 y 1 x1 的图象与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；二次函数 y 1 x 2bxc22的图象与一次函数

12、y 1 x1 的图象交于 b、c 两点，与 x 轴交于 d、e 两点且 d 点坐标为（1，0）2（1） 求二次函数的解析式；（2） 求四边形 bdec 的面积 s；yc2bxaode（3） 在 x 轴上是否存在点 p，使得pbc 是以 p 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 p，若不存在，请说明理由例 5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 yax 2xc（a0）与 x 轴交于点 a（2，0），点 b（6，0）， 与 y 轴交于点 c（1） 求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2） 在抛物线上有一点 d，使四边形 abdc 为等腰梯形，写出点 d 的坐标，并求出直线

13、 ad 的解析式；（3） 在（2）中的直线 ad 交抛物线的对称轴于点 m，抛物线上有一动点 p，x 轴上有一动点q是否存在以 a、m、p、q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 q 的坐标； 如果不存在，请说明理由ycaobx综合练习：71、平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y = ax2 - 4ax + 4a + c 与 x 轴交于点 a、点 b，与 y 轴的正半轴交于点 c，点 a 的坐标为(1, 0)，oboc，抛物线的顶点为 d。8(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点 p 满足apbacb，求点 p 的坐标；(3) q 为线段 bd 上一点，点 a

14、关于aqb 的平分线的对称点为 a ，若qa - qb =坐标和此时 qaa 的面积。2 ，求点 q 的2、在平面直角坐标系 xoy 中，已知二次函数 y = ax2 +2ax + c 的图像与 y 轴交于点c(0，3) ，与 x轴交于 a、b 两点，点 b 的坐标为(- 3，0)。（1） 求二次函数的解析式及顶点 d 的坐标；（2） 点 m 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 om 把四边形 acdb 分成面积为 1 ：2 的两部分，求出此时点 m 的坐标；（3） 点 p 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 p 在何处时 cpb 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点 p 的坐标。如图

15、，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y = 2 x 2 - 2x 与 x 轴负半轴交于点 a ，顶点为 b ，m3、且对称轴与 x 轴交于点c 。（1） 求点 b 的坐标（用含 m 的代数式表示）；（2） d 为ob 中点，直线 ad 交 y 轴于 e ，若 e （0，2），求抛物线的解析式；（3） 在（2）的条件下，点 m 在直线ob 上，且使得damc 的周长最小， p 在抛物线上， q 在直线 bc 上，若以 a、m、p、q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 p 的坐标。4、已知关于 x 的方程(1- m)x2 + (4 - m)x + 3 = 0 。（1） 若方程有两个不相等的实数

16、根，求m 的取值范围；（2） 若正整数 m 满足8 - 2m 2 ，设二次函数 y = (1- m)x2 + (4 - m)x + 3 的图象与 x 轴交于a、b 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 y = kx + 3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可）。95 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 c（0，4），与 x 轴交于点 a（4，0）和 b（1） 求该抛物线的解析式；（2） 点 q 是线段 ab 上的动点，过点 q 作 qe

17、ac，交 bc 于点 e，连接 cq当ceq 的面积最大时，求点 q 的坐标；（3） 平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 p，与直线 ac 交于点 f，点 d 的坐标为（2，0）问是否有直线 l，使odf 是等腰三角形？若存在，请求出点 f 的坐标；若不存在，请说明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1已知二次函数yx 2(m1)xm2 的图象与x 轴相交于a（x1，0），b（x2，0）两点，且x1x2（1） 若 x1x20，且 m 为正整数，求该二次函数的表达式；（2） 若 x11，x21，求 m 的取值范围；（3） 是否存在实数

18、 m，使得过 a、b 两点的圆与 y 轴相切于点 c（0，2），若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由；1md1（4） 若过点 d（0， ）的直线与（1）中的二次函数图象相交于 m、n 两点，且 ，求该直线的152表达式dn3题型二、抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数 y= x 2+mx+m-5，（1） 求证：不论 m 取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（2） 求当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例1 已知抛物线 y = x2 - 2(m +1)x + m2 = 0 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m

19、5，则整数 m 的值为 例 2已知二次函数 yx 22mx4m8（1） 当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；yoxa（2） 以抛物线 yx 22mx4m8 的顶点 a 为一个顶点作该抛物线的内接正damn （m，n 两点在拋物线上），请问：amn 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3） 若抛物线 yx 22mx4m8 与 x 轴交点的横坐标均为整数， 求整数 m 的值题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线 y = x2 + bx + c （其中 b0，c0）与 y 轴的交点

20、为 a，点 a 关于抛物线对称轴的对称点为 b(m,n)，且 ab=2. (1)求 m,b 的值20(2)如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 bo=。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数 y = x2 - 4x + m 的图象与 x 轴交于不同的两点 a（ x ，0）、b（ x，0）（ x x ），其顶点是点 c，对称轴与 x 轴的交于点 d（1）求实数 m 的取值范围；（2）如果（ x1 +1）（ x2 +1）=8，求二次函数的解析式；1212（3）把（2）中所得的二次函数的图

21、象沿 y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点 a1 、b1 ，顶点为点 c1，且 a1b1c1 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升1. 已知二次函数的图象与 x 轴交于 a，b 两点，与 y 轴交于点 c（0，4），且| ab|2对称轴为 x1（1） 求二次函数的表达式；（2） 若二次函数的图象都在直线 yxm 的下方，求 m 的取值范围3，图象的2. 已知二次函数 yx 2mxm2（1）若该二次函数图象与 x 轴的两个交点 a、b 分别在原点的两侧，并且 ab5，求 m 的值；（2设）该二次函数图象与 y 轴的交点为 c二，次函数图象上存在关于原点对称的两点 mn

22、、且， smnc 27， 求 m 的值3. 已知关于 x 的一元二次方程 x 22(k1)xk 20 有两个整数根，k5 且 k 为整数（1） 求 k 的值；（2） 当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二次函数 yx 22(k1)xk 2 的图象沿 x 轴向左平移 4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3） 根据直线 yxb 与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求 b 的取值范围4. 已知二次函数的图象经过点 a（1，0）和点 b（2，1），且与 y 轴交点的纵坐标为 m（1） 若 m 为定值，求此二次函数的解析式；（2） 若二次函数的图象与 x 轴还有异于点 a 的另一个交

23、点，求 m 的取值范围；（3） 若二次函数的图象截直线 yx1 所得线段的长为 22，求 m 的值四、中考二次函数定值问题1. 如图，已知二次函数 l1：y=x24x+3 与 x 轴交于 ab 两点（点 a 在点 b 左边），与 y 轴交于点 c（1） 写出二次函数 l1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 研究二次函数 l2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数 l2 与二次函数 l1 有关图象的两条相同的性质；若直线 y=8k 与抛物线 l2 交于 e、f 两点，问线段 ef 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 ef的长度；如果会，请说明理由2. 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于

24、 a(2，o)、b(2，0)、c(0，l)三点，过坐标原点 o 的直线 y=kx 与抛物线交于 m、n 两点分别过点 c、d(0，2)作平行于 x 轴的直线l1 、l2 (1) 求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 on 为直径的圆与直线l1 相切；(3)求线段 mn 的长(用 k 表示)，并证明 m、n 两点到直线l2 的距离之和等于线段 mn 的长3. 如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线y= - 4 x2 + 22 x 交于点 a（3，6）273（1） 求直线 y=kx 的解析式和线段 oa 的长度；（2） 点 p 为抛物线第一象限内的动点，过点 p 作直线 pm，交 x 轴于

25、点 m（点 m、o 不重合），交直线 oa 于点 q，再过点 q 作直线 pm 的垂线，交 y 轴于点 n试探究：线段 qm 与线段 qn 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3） 如图 2，若点 b 为抛物线上对称轴右侧的点，点 e 在线段 oa 上（与点 o、a 不重合），点d（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足bae=bed=aod继续探究：m 在什么范围时，符合条件的 e 点的个数分别是 1 个、2 个？4. 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax2(a0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 o，两直角边与该抛物线交于 a、b 两点， 请解答以下问题：（1） 若测得 oa=ob=2 2（如图 1），求 a 的值；（2） 对同一条抛物线，孔明将三角