高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题七 概率统计 17_2 统计、统计案例 理 新人教版

1、第二讲 统计、统计案例,知识回顾】 1.两种抽样方法的特点 分层抽样:按比例抽样 系统抽样:等距抽样,2.必记公式 数据x1,x2,x3,xn的数字特征公式 (1)平均数: =_. (2)方差:s2=_. (3)标准差:s=_,3.重要性质及结论 (1)频率分布直方图的三个结论 小长方形的面积=_=频率; 各小长方形的面积之和等于1; 小长方形的高=_,所有小长方形高的和为,2)回归直线方程:一组具有线性相关关系的数据 (x1,y1),(x2,y2),(xn,yn).其回归方程 =_,其 过样本点中心_. (3)独立性检验 K2= (其中n=a+b+c+d为样本容量,易错提醒】 1.忽视两个比

2、例关系:分层抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的,即 . 2.频率分布直方图、茎叶图中的易错点:(1)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为 .(2)在绘制茎叶图时,易遗漏重复出现的数据,重复出现的数据要重复记录,同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义,3.混淆概念致误:相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 4.对回归分析中样本点的认识错误:回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过 点,可能所有的样本数据点都不在直线上,考题回访】 1.(2016全国卷)某

3、旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15,B点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是(,A.各月的平均最低气温都在0以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20的月份有5个,解析】选D.根据雷达图可知全年最低气温都在0以上,故A正确;一月平均最高气温是6左右,平均最低气温2左右,七月平均最高气温22左右,平均最低气温13左右,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;三月和十一月的平均最高气温都是10,三月和十一月的平均最高气温基本

4、相同,C正确;平均最高气温高于20的有七月和八月,故D错误,2.(2015全国卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是(,A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【解析】选D.由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关,3.(2013全国卷)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小

5、学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是() A.简单随机抽样B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样D.系统抽样,解析】选C.因为男女生视力情况差异不大,而学段的视力情况有较大差异,所以应按学段分层抽样,热点考向一抽样方法 命题解读:主要考查抽样的三种方法,特别是系统抽样和分层抽样,以选择题、填空题为主,典例1】(1)(2016安阳一模)某工厂在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生

6、产的产品数为() A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500,2)(2016绵阳一模)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则成绩在区间139,151上的运动员人数是_,解题导引】(1)由a,b,c构成等差数列,可求出抽样比,进而求解. (2)先将成绩分组,再找出区间139,151包含的运动员人数即可求解,规范解答】(1)选C.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占12月份生产总

7、数的三分之一,即为1 200双皮靴. (2)357=5,因此可将编号为135的35个数据分成7组,每组有5个数据,在区间139,151上共有20个数据,分在4个小组中,每组取一人,共取4人. 答案:4,规律方法】 两种抽样方法的注意点 (1)系统抽样 所分段数等于样本容量,即每段取一个. 第一段入样个体编号为a1,当每段含有n0个个体时,第k段入样个体编号为a1+(k-1)n0. 当总体不能分成整数段时,要先在总体中等可能剔除若干个体,2)分层抽样 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况. 当总体容量为N,样本容量为n时,有下列关系式,题组过关】 1.(2016重庆一模)采用系统抽样方法从96

8、0人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为() A.7 B.9 C.10 D.15,解析】选C.抽取号码的间隔为 =30,从而区间451,750包含的段数为 =10,则编号落入区间451,750的人数为10人,即做问卷B的人数为10,2.(2016阳泉一模)学校高中部共有学生2 000名,高中部各年级男、女生人数如表,已知在高中部学生中随机抽取1名学生,抽到高三年级女生的概率是0.1

9、8,现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生,则应在高二年级抽取的学生人数为(,A.14 B.15 C.16 D.17,解析】选B.由已知得高三女生数x=2 0000.18=360. 故高三年级总共有360+340=700(人). 而高一年级共有373+327=700(人). 所以高二年级共有2 000-700-700=600(人). 设高二年级应抽取的学生数为n,则由分层抽样的特点 知, 解得n=15,加固训练】 1.总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个

10、个体的编号为(,A.08 B.07 C.02 D.01,解析】选D.由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01,所以第5个个体的编号是01,2.将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在A营区,从301到495在B营区,从496到600在C营区,则三个营区被抽中的人数依次为() A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9,解析】选B.依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依次分成5

11、0组,每一组各有12名学生,第k(kN*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1) 300,得k ,因此A营区被抽中的人数是25;令3003+12(k-1)495,得 k42,因此B营区被抽中的人数是42-25=17.结合各选项知B正确,3.(2015福建高考)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为_,解析】由题意知,男生人数=900-400=500,所以抽取比例为男生女生=500400=54,样本容量为45,所以抽取的男生人数为45 =25. 答案:25,热点考向二用样本估计总体 命

12、题解读:用样本估计总体是考查的重点,利用频率分布直方图去估计总体,利用茎叶图估计总体,利用样本的数字特征去估计总体,若单独命题,则以选择题、填空题为主,命题角度一数字特征和茎叶图的应用 【典例2】(2016枣庄一模)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲、乙两组数据的平均数分别为 , ,中位数分别为m甲,m乙,则(,A. ,m甲m乙 B. ,m甲m乙 D. ,m甲m乙,解题导引】先由茎叶图求出m甲和m乙,再计算 和,规范解答】选B.由茎叶图知m甲= =20,m乙= =29,所以m甲m乙; = (41+43+30+30+38+ 2

13、2+25+27+10+10+14+18+18+5+6+8)= , = (42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+23+ 27+10+12+18)= ,所以,命题角度二频率分布直方图的应用 【典例3】(2016山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25), 25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(,A.56 B.60 C.120 D.140 【解题导引】利

14、用频率乘以总体容量等于频数求解,规范解答】选D.由频率分布直方图可知,每周自习时间不少于22.5小时的学生所占频率为2.5(0.16+0.08 +0.04)=0.7,所以每周自习时间不少于22.5小时的学生人数为2000.7=140,规律方法】 1.方差的计算与含义 (1)计算:计算方差首先要计算平均数,然后再按照方差的计算公式进行计算. (2)含义:方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数,方差大说明波动大,2.与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据.可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1就可求出其

15、他数据. (2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据.可利用图形及某范围结合求解,3)与概率有关的综合问题,可先求出频率,再利用古典概型等知识求解,题组过关】 1.(2016太原一模)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x10,其均值和方差分别为 和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为() A. ,s2+1002 B. +100,s2+1002 C. ,s2 D. +100,s2,解析】选D.利用样本的均值、方差公式求解. ,yi=xi+100,所以y1,y2,y10的均值为 +100,方差不变,2.(2016郑州一模)PM2.

16、5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.如图是根据某地某日早7点到晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是(,A.甲 B.乙 C.甲、乙相等 D.无法确定,解析】选A.从茎叶图上可以观察到:甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中,因此甲地浓度的方差较小,加固训练】 (2016广州一模)某工厂36名工人的年龄数据如下表,1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据. (2)计算(1)中样本的均值 和方差s2. (3)36名工

17、人中年龄在 -s与 +s之间有多少人?所占的百分比是多少?(精确到0.01,解析】(1)将36人编号为1,2,36, 由系统抽样的知识可知,36人分成9组,每组4人,其中第一组的工人年龄为44, 所以其编号为2,故所有样本数据的编号为4n-2, n=1,2,9. 其数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37,2) 由方差公式知,s2= (44-40)2+(40-40)2+(37-40)2= (3)因为s2= ,所以s= (3,4), 所以36名工人中年龄在 -s和 +s之间的人数等于在区间37,43内的人数,即40,40,41,39,共23人. 所以36名工人中年龄在 -s和

18、 +s之间的人数所占的 百分比为 63.89,热点考向三回归分析与独立性检验 命题解读:主要考查线性回归方程的求解及应用,独立性检验考查较少,以解答题为主,典例4】(2016全国卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. 注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014,1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明. (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量,附注: 参考数据: 参考公式:相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式 分别为,解题导引】(1)利用所给数据及公

19、式计算出回归系数r的值. (2)利用(1)的结论及所给数据计算,再求,求回归方程并进行预测,规范解答】(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得,所以r 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系,2)由 =1.331及(1)得 1.331-0.10340.92. 所以,y关于t的回归方程为 =0.92+0.10t. 将2016年对应的t=9代入回归方程得: =0.92+0.109=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨,规律方法】 1.求回归直线方程的关键及实际应用 (1)关键:正确理解计算 的公式和准确地计算. (2)实际应用