2013版高中全程复习方略配套课件：6.1不等关系与不等式(人教A版·数学理)浙江专用

1、第一节 不等关系与不等式,三年13考高考指数: 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系； 2.了解不等式(组)的实际背景,1.不等式的性质是考查的重点; 2.不等关系常与函数、数列、导数、几何以及实际问题相结合进行综合考查； 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识的交汇则以解答题为主,1.两实数比较大小的法则,关系,法则,ab,a=b,ab,a-b0,a-b=0,a-b0,即时应用】 下列不等式中正确的是 . m-3m-5 5-m3-m 5m3m 5+m5-m 【解析】m-3-m+5=20，故正确； 5-m-3+m=20，故正确； 5m-3m=2m，无法判断其符号，故错； 5+m-5+m=2

2、m,无法判断其符号，故错. 答案,2.不等式的基本性质,性质,具体名称,性质内容,特别提醒,1,2,3,4,对称性,传递性,可加性,可乘性,ab,ab,bc,ab,_,_,注意c 的符号,ba,ac,a+cb+c,acbc,acbc,_,_,_,性质,具体名称,性质内容,特别提醒,5,6,7,8,同向可加性,同向同正 可乘性,可乘方性,可开方性,_,_,ab0,ab0,a,b同 为正数,a+cb+d,_,acbd,anbn,_,nN,n2,nN,n2,即时应用】 (1)已知a、b、c、dR,且cd,则“a+cb+d”是“ab”的 条件. (2)若a0,-1b0，则a,ab,ab2的大小关系为

3、. (3)已知a,b,cR，有以下命题： 若ab,则ac2bc2; 若ac2bc2,则ab; 若ab,则a2cb2c. 以上命题中正确的是_（请把正确命题的序号都填上,解析】(1)若a+cb+d,cd 不妨令a=1,b=2,c=5,d=3，则上式成立， 但ab，故充分条件不具备，反之，若ab,cd, 则a-b0,c-d0，两式相加得 a-b+c-d0，即a+cb+d， 故必要条件具备，故应为必要不充分条件,2）由已知得0b21,a0,故ab0,ab20且aab2， 故aab2ab. (3)当c=0时，不正确；若ac2bc2，则c20, ab，故正确；由2c0知正确. 答案：（1）必要不充分 （

4、2）aab2ab (3,3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 ab,ab0 a0b ab0,0cd 0axb或axb0,2)有关分数的性质 若ab0,m0,则 真分数的性质： 假分数的性质,即时应用】 (1) 与 的大小为 . (2)若0ab，c0，则 与 的大小关系为,解析】(1) 故 (2)0ab, 又c0, 故 故 答案：(1) (2,用不等式（组）表示不等关系 【方法点睛】 实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等.其转换关系如下表,例1】某厂

5、拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解题指南】这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可,规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则 由题意可知,反思感悟】用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量

6、的实际意义，即变量的取值范围,变式训练】某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 则由题意可得 即,比较大小 【方法点睛】 比较大小的常用方法 （1）作差法 一般步骤是：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差,2)作商法 一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结

7、论. (3)特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断. 提示：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论，从而误解,例2】（1）(2012昌平模拟）若a、b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是( ) （A）a2+1b2+1 （B） 1 （C）lg(a-b)0 （D） (2)已知a1,a2(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是( ) （A）MN （B）MN （C）M=N （D）不确定 （3）已知ab0，比较aabb与abba的大小,解题指南】(1)运用特殊值验证即可.（2）可用作差法

8、求解. (3)利用作商法求解判断. 【规范解答】(1)选D.令 则A、B、C均不成立， 故选D. (2)选B. M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1) 又a1,a2(0,1)， 故(a1-1)(a2-1)0,故MN,3) 又ab0,故 1,a-b0, 即 又abba0, aabbabba, aabb与abba的大小关系为：aabbabba,互动探究】若将本例（2）中，“a1，a2(0,1)”改为“a1，a2(1,+)”，结论又将如何？ 【解析】M-N=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1)，

9、a1，a2(1,+),(a1-1)(a2-1)0, 故M-N0，故MN,反思感悟】1.作差比较法的目的是判断差的符号，而作商比较法的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形. 2.当两个代数式为多项式形式时，常用作差法比较大小.当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法,变式备选】比较下列各组中两个代数式的大小. (1)3m2-m+1与2m2+m-3; (2)(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)(xy0); (3)a0,b0比较 与a+b的大小,解析】(1)（3m2-m+1）-(2m2+m-3) =m2-2m+4=(m-1)2+30, 3m2-m+12m2+m-3.

10、 (2)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)(x2+y2)-(x+y)2 =-2xy(x-y). xy0, -2xy(x-y)0, (x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y,3)作差： 又a0,b0, 0, 故 a+b,不等式性质的应用 【方法点睛】 不等式性质的应用类型分析 （1）与常用逻辑用语结合考查充要条件， （2）应用性质比较大小， （3）求范围，并且求参数范围问题是考查的热点问题，它常与三角函数等结合考查,例3】（1）(2011浙江高考）若a、b为实数，则“0ab1”是“a 或b ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分

11、必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （2）已知函数f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4，求f(-2)的取值范围,解题指南】(1)利用不等式的基本性质进行判断. (2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围,规范解答】(1)选A.0ab1可分为两种情况: 当a0,b0时，由0ab1两边同除以b可得a ;当a0, b0时，两边同除以a可得b “0ab1”是“a 或b ”的充分条件， 反之，当a 或b 时，可能有ab0,“0ab1”是 “a 或b ”的不必要条件，故应为充分

12、不必要条件,2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b). 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得 解得 f(-2)=3f(-1)+f(1). 又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10,即5f(-2)10,方法二: 即 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10, 即5f(-2)10,互动探究】若本例（2）中的条件不变，求f(2)的取值范围. 【解析】设f(2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数）， 则4a+2b

13、=m(a-b)+n(a+b)，即4a+2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得 即 所以f(2)=f(-1)+3f(1), 又1f(-1)2,2f(1)4, 7f(-1)+3f(1)14, 即7f(2)14,反思感悟】1.判断一个与不等式有关的命题的真假，首先找到与命题相关的性质，明确不等式成立的条件，然后再判断；对于选择题、填空题要注意特殊值法的应用. 2.根据不等式的性质求范围时，一定要利用不等式的性质进行变形求解，如不等式两边同乘一个含字母的式子，必须确定它的正负；同向不等式只能相加，不能相减等.同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性,变式备选】1.已知12a60,15b36,求a-b

14、, 的取值范围. 【解析】15b36,-36-b-15. 又12a60,12-36a-b60-15, -24a-b45. 又,2.-1a+b3且2a-b4，求2a+3b的取值范围. 【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b), 解得 即,易错误区】忽视等号成立条件而致误 【典例】(2011新课标全国卷）若变量x,y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为,解题指南】设z=x+2y=(2x+y)+(x-y)，然后利用待定系数法，求得和的值，然后通过“2x+y”和“x-y”本身的范围求得z=x+2y的范围,规范解答】令z=x+2y=(2x+y)+(x-y) =(2+)x+(-)y, z=(2x+y)-(x-y), 又32x+y9,-9-(x-y)-6, -6(2x+y)-(x-y)3,即-6z3, zmin=-6. 答案：-6,阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示与备考建议,1.(2012台州模拟）如果a0b且a+b0，那么以下不等式正确的个数是( ) a2b2; a30,b|b|, a2b2成立， 成