初三《圆》知识点及定理

1、圆知识点及定理外离（图1） 无交点d R r ；外切（图2） 有一个交点d R r ；、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;相交（图3） 有两个交点 内切（图4） 有一个交点 内含（图5）无交点图53 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径 的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 （也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到

2、直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离 等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直 线距离都相等的一条直线。五、垂径定理1、点在圆内d2、点在圆上d3、点在圆外d、点与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离2、直线与圆相切3、直线与圆相交r点C在圆内；r点B在圆上；r点A在圆外；dr无交点；dr有一个交点;dr有两个交点;垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1： （ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对

3、的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即:AB是直径弧AD四、圆与圆的位置关系AB CD CEDE 弧BC 弧BD 弧AC中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O O 中， AB / CD弧 AC 弧 BDOA六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理,B即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论, 即： AOB DOE : AB DE ；OC OF ;

4、弧BA 弧BD(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN OA且MN过半径OA外端 MN是O O的切线七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即： AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O O中， C、 D都是所对的圆周角 C D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O O中， AB是直径 C 90或 C 90

5、 AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OC OA OB ABC是直角三角形或 C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角 在O O中，ABCD是内接四边形BAD 180DAE即:四边形 CB D 180C九、切线的性质与判定定理(2)性质定理: 推论 推论COOBMNAADCBOBOAPCABAO圆幕定理OBCPACBAOCBAAEDOPBCEBAO ECD相交于点P PA PB推论：如果弦

6、与直径垂直相交,(2)直径所成的两条线段的比例中项。即：在O O中，.直径 AB CDPC PD那么弦的一半是它分(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割 线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。即：在O O中， PA是切线，PB是割线(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的 条线段的乘积相等。即：在O O中，弦AB切线垂直于过切点的半径(如上图) 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知 道其中两个条件就能推出最后一个。CE2 AE BE十、切线长定理切线长定理：

7、从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相 等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA、PB是的两条切线 PA PBPO平分 BPAD 两PA2 PC PB同理，六边形的有关计算在 Rt OAB中进行,AB :OB: OA 1:3:2.OS(2)360ABO2O1即:B圆柱侧面展开图A底面圆周长BCC(2)hO1B102圆锥侧面展开图(2)O(1)Rrc1R(2)3OAABD2CBODBAr2(3 )正六边形OE:AE:OAO1O2垂直平分AB行：OD : BD :OB 1PC PB PD PEl:扇形弧长十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式如图：QO2垂直平分ABS表R:扇形多对

8、应的圆的半径S底2、圆柱(1)圆锥的体积：Vr2h圆柱的体积：V十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的的公共弦。O1、O O2相交于A、B两点2n :圆心角S：扇形面积1、扇形：(1)r2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算(1 )正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进n R2(2 )外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2扇形面积公式： SS表Sft2S底=2 rh2 r2C-人八B(2 )正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行恵:(1)公切线长：Rt OQ2C 中，AB2 CO12 O1O2_CO22卜五、扇

9、形、圆柱和圆锥的相关计算公式母线长C1D1(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等(如上图)。即：在O O中，T PB、PE是割线弧长公式： |_R180十六、圆中常见的辅助线1) .作半径，利用同圆或等圆的半径相等2) .作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距” 间的关系进行证明.3) .作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4) .作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.5) .作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角.6) .遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.7) .遇到切线，作过切点的

10、半径，构造直角.求：EM的长.例4如图23-13 , AB是O O的直径，PB切O 0于点B, AB BC于E D,交O 0于 F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程（其中m为实数）的两根.（1）求证：BE= BD8）欲证直线为圆的切线时，分两种情况：（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结PA交O O于点C, PF分别交- fix 4 (tn2 + 4m +13) = D公共点和圆心证明直线垂直；（2）不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.9）.遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.10）.遇到三角形的内心，常作：（1）内心到三边的垂线；（2）连结内心和三角形的顶占八、11）.遇相交两圆，常作：（1）公共弦；（2）连心线.12）.遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.13）.求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一 条直角边.十七、圆中较特殊的辅助线1）.过圆外一点或圆上一点作圆的切线.2）.将割线、相交弦补充完整.3）.作辅助圆.例1如图23-11 , CA为OO的切线，切点为 A,点B在OO上，如果/ CAB= 55，那 么/A