轴对称（图形）应用

1、 轴对称与轴对称图形的应用一、定义 1. 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称。（这条直线叫做对称轴） 注：轴对称指的是两个图形之间的关系，它们只有一条对称轴。 2. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。（这条直线叫做对称轴）注：轴对称图形指的是一个图形的两个部分之间的关系，它至少有一条对称轴。二、性质 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形。 2. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3. 两个图形关于某直线对称，如果它们的

2、对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上三、常见的轴对称图形 图 形对 称 轴条 数线段线段的垂直平分线1角角的平分线所在的直线1等腰三角形底边的垂直平分线（或说顶角的平分线所在的直线，或说底边上的中线所在的直线，或说底边上的高所在的直线）1或3等边三角形三边的垂直平分线3等腰梯形过两底中点的直线1矩形（邻边不等）过对边中点的直线2正方形1. 过对边中点的直线；2. 对角线所在的直线4菱形对角线所在的直线2圆过圆心的直线（或说直径所在的直线）无数正n多边形1. 过顶点和中心的直线；2. 过各边中点和中心的直线n四、应用（一）例：要在小河a的河边修建一个水泵站，由水泵站向张村A、李庄B修两条水管

3、分别供水。修在河边什么地方，可使所用的水管最短？ 作法：1. 作点A关于直线a的对称点A/ 2. 连结A/B交直线a于点C 则点C就是所求的修建水泵站的地点 证明；在直线a上另取一点C/，连结AC、AC/、 A/C/、C/B 直线a是点A、A/的对称轴，且点C、C/在对称轴上AC = A/C，AC/ = A/C/在A/C/B中，有A/BA/C/C/B 即A/CCBA/C/C/BACCBAC/C/B 即ACCB最小（二）练习： 1、如图，O的半径为1，点P是直径MN上的一个动点，点A是半圆上的一个三等分点，点B是点中点，则APBP的最小值是 。 答： 2、如图，正方形ABCD的边AB上有一点E，

4、AE = 3，EB = 1，对角线AC上有一动点P，则PEPB的最小值是（ ） A：不存在 B：4 C：5 D：4答：C3、如图，菱形ABCD的周长为24，B = 1200，E是边CD上一点，DE：EB = 1：2，对角线AC上有一动点P，则PEPD的最小值是 。答：24、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB = =AD = CD = 1，B = 600 ，直线MN是梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PCPD的最小值是 。答：5、在平面直角坐标系中，P是x轴上一点，切点P到点A（2，5）、B（4，3）的距离之和最小，则PAPB的值与点P的坐标分别是（ ） A：、（，0） B：10、（，0）

5、C：10、（，0） D：10、（0，）答：C6、在平面直角坐标系中，P1是x轴上一点，它到点A（1，1）、B（3，3）的距离之和最小，则这个最小值是 ，此时点P1的坐标是 ；P2是y轴上一点，它到点A、B的距离之和也最小，则这个最小值是 ，此时点P2的坐标是 。 答：依次填：4，（0，0），2，（0，）7、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM = 2， N是AC上的一动点，则DNMN的最小值为 。答：108、如图，E为正方形ABCD的边AD的中点，F为AD的三等分点， 请在对角线AC上找一点P，使PEPF最小（在图中标出点P）， 若正方形的边长为6，则PEPF = 。 答：9、如

6、图，已知抛物线y = ax2bxc与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（1，0）、C（5，0）两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D是线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上的某点（设为点F）， 最后运动到A，求使点P运动的总路径最短的点E、F的坐标，并求出这个最短总路径的长。 解：（1）把点A、B、C分别代入抛物线 对称”及“两点之间线段最短”可y = ax2bxc中得： 知，A/M/的长就是点P运动的最短 总路径的长抛物线的解析式为y =x2x3 A/M/与x轴的交点即为点E，与抛（2）由题意得：D（0，1）或D（0，2） 物线的对称轴x = 3的交点即为点F 当D（0，1）、C（5，0）时， A/（6，3）、M/（0，）直线DC的解析式为y = x+1 直线A/M/为y =x 当D（0，2）、C（5，0）时， 当y = 0时，x = 2；直线DC的解析式为y = x+2 当x = 3时，y =（3）M是OA的中点 E（2，0）、F（