第三章-概率论习题课ppt课件

1、第三章 多维随机变量及其分布,习题课,例 1,为了进行吸烟与肺癌关系的研究， 随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中,X=1 若被调查者不吸烟, X=0 若被调查者吸烟, Y=1 若被调查者未患肺癌, Y=0 若被调查者患肺癌,令:从表中的每一种情况出现的次数计算出它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布: PX=0,Y=03/23000=0.00013, PX=1,Y=01/23000=0.00004, PX=0,Y=14597/23000=0.19987, PX=1,Y=118399/23000=0.79996,例2 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2,

2、 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数,X, Y ) 的可能取值为,解,故 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数,所以( X ,Y ) 的分布函数为,例3 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为,求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1,1)由pij=1得: a=0.1,2)由P(X,Y)D,得 P(X0,Y1,P(X=0,Y=0),P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1,0.1

3、+0.2+0.1+0.2,0.6,3)P(X1,Y1,P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0,P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1,0.75,X,Y,1,0,1,2,1,PX0,Y1,P(X1,Y1,例4,解,2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,例 5 若(X,Y,试求:(1)常数 A,3) P（Xx,Yy,4)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6,2)P X2, Y1,所以, A=6,A/6,1,P X2, Y1,2,1,X2, Y1,3,x,y,所以, 当x0,y0时,4)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6,3

4、,2,2x+3y=6,解: (1,例 6,设(X,Y)的概率密度函数为,其中A是常数.(1)求常数A. (2)求(X,Y)的分布函数； (3)计算P0X4,0Y5,3) P0X4,0Y5,解,例 7,设(X,Y)的分布律为,求:分量X和Y的边缘分布,把这些数据补充到前面表上,例 8 已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y,解,例9,例10 设( X ,Y ) 的联合密度为,其中k 为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5); 联合分布函数 F (x,y); 边缘密度与边缘分布函数,解 令,1,2,0.5,的分段区域,当0 x 1, 0 y x 时

5、,3,当x0 或 y0 时, F(x,y) = 0,当0 x1, x y1时,当0 x 1, y 1时,当x 1, 0 y 1时,当 x 1, y 1 时,4,当然也可直接由联合密度求边缘密度，例如,解,例 11,设随机变量(X,Y)的分布律为,PX=0PY=0=0.20.00017 0.00013=PX=0,Y=0 X和Y不相互独立,讨论随机变量X与Y的独立性,解,例12,1)由分布律的性质知,特别有,又,2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,例13,设二维随机变量(X，Y)具有密度函数,试求（1）常数C； （2）(X，Y) 落在如下图所示的三角区域内D 的概率； （3）关于X, Y

6、的边缘分布并判断 X, Y 是否相互独立,解,1)由分布函数的性质，可得,故,2,3)关于X 的边缘密度函数为,当 时,当 时,故有,同理可求得关于Y 的边缘密度函数为,因为对任意的实数 x, y ，都有,所以X, Y 相互独立,解,由均匀分布的定义， (X，Y)的联合密度函数,则关于X 的边缘密度函数为,关于Y 的边缘密度函数为,所以X, Y 不相互独立,例15 已知( X ,Y ),Z = X + Y ,求 f Z (z,解法一 分布函数法,解法二 图形定限法,解法三 不等式组法,解法一（分布函数法,当z 0 时,当0 z 1 时,当1 z 2 时,z-1,当2 z 时,解法二（图形定限法,显然X ,Y 相互独立,且,解法三（不等式组法,显然X ,Y 相互独立,且,例16 已知 ( X ,Y ) 的联合密度为,Z = X + Y ,求 f Z (z,解法一 （图形定限法,当 z 0 或 z 2,当 0 z 1,当 1 z 2,f Z (z) = 0,解法二 （不等式组法,考虑被积函数取非零值的区域,令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0,1,2,当