线性代数第六章

1、考研数学应试指南题型之二：二次型的正定知识点、题型、解题技巧综述1判断正定的方法之一-定义式法： 对于二次型，如果对于任何，恒有，则称该二次型为正定的二次型. 这种方法主要用来判断抽象二次型的正定性.2判断正定的方法之二-特征值法： 二次型正定的充分必要条件是：的各特征值均为正数. 这种方法主要用来判断数值型二次型（数值型矩阵）的正定性.3判断二次型正定的方法之三-顺序主子式法： 二次型正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式均大于零.这种方法主要用来判断数值型二次型（数值型矩阵）的正定性.4判断二次型正定的方法之四-合同矩阵法： 二次型正定的充分必要条件是：与单位矩阵合同.5二次型（或矩阵）正

2、定的必要条件：（1）正定的二次型中，必为对称矩阵.（2）正定的二次型中，必为满秩矩阵.（3）正定的二次型中，中主对角线上的元素均大于零. 即.（4）正定的二次型中，的行列式必大于零. 即.以上四个必要条件常用来判断数值型二次型（或数值型矩阵）非正定.例题精解例1（91数1-6）设是阶正定矩阵，为单位阵，证明的行列式大于1.证法（一）：因为是正定矩阵，故存在正交矩阵，使:，其中，是的特征值.因此.两边取行列式得：.从而.证法（二）：设的特征值是由于A是正定矩阵，故特征值全大于0.而的特征值是，它们全大于1，根据，知.点评：正定二次型的矩阵叫做正定矩阵.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是其所有的

3、特征值均大于零.例2（91数36）考虑二次型，问取何值时，为正定二次型.解：该二次型的矩阵为，其顺序主子式为，.正定的充分必要条件是：，解出其交集为：.故，当时，是正定的二次型.点评：这类题目以用“顺序主子式全大于零”为简捷.如果配方法方便，也可考虑用配方法化其为标准形，利用“正惯性指数”判定；若特征值易于求，亦可用“特征值全大于零”判定.例3（92数36）设分别为阶，阶正定矩阵，试判定分块矩阵是否为正定矩阵.解法（一）：（由定义判定）因为均为正定矩阵，故，.那么， ，即是对称矩阵.设有维列向量，其中，若，则不同时为0，不妨设，因为是正定矩阵，所以.又因为是正定矩阵，故对任意维向量，恒有.于是

4、，即是正定的二次型，因此是正定矩阵.解法（二）：（由特征值判定）容易证明.设是矩阵A的特征值；是矩阵的特征值.由于均为正定矩阵，知.因为，于是矩阵的特征值为：.因为C的特征值全大于零，所以矩阵是正定的.解法（三）：（与单位矩阵合同）容易证明是实对称矩阵.因为都是正定矩阵，故存在可逆矩阵和，使，.那么，,且.即与合同.故是正定矩阵.点评：证明矩阵正定的充分必要条件：（1）对于任意的，使；（2）的正惯性指标；（3）矩阵与单位矩阵合同；（4）存在可逆矩阵，使；（5）矩阵的特征值；（6）矩阵的顺序主子式全大于零；（7）矩阵的标准形中各项系数大于零.例4（97数33）若二次型是正定的，则的取值范围是.解

5、：二次型的矩阵为，因为正定的充分必要条件是的顺序主子式大于零.,故矩阵正定的充分必要条件是：，即.点评：本题若用配方法，有.因此，正定的充分必要条件为：，即.例5（98数37）设矩阵，矩阵，其中为实数，为单位矩阵.求对角矩阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵.解：由于满足，且是实对称矩阵，于是.即，必可对角化，只要求出的各特征值即可,而这只要求出矩阵的各特征值即可.令，则的特征值为：.那么，的特征值为：.故，.困为矩阵正定的充分必要条件是特征值全大于零，可见当且时，矩阵正定.点评：本题也可用“实对称矩阵必可相似对角化”来处理.因为是实对称矩阵，故存在可逆矩阵使，即.那么有：.即，.故，.例6

6、设随机变量相互独立且都服从参数为的0-1分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为.求：（1）参数的值；（2）随机变量的分布律.解：（1）因为矩阵正定的充要条件是其所在的顺序主子式都大于零，所以有：，即，得.（2）的所有取值为：-1，0，1，.故，.点评：本题为基本题型，应用了矩阵正定的充要条件，考查了联合分布的概率计算.例7（99数37）设为实矩阵，为阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵为正定矩阵.证明：因为，所以是实对称矩阵.构造二次型，那么.对于任意的，恒有，.因此，当时，有.即二次型为正定的，为正定矩阵.点评：要证矩阵正定先得证其对称.例8（00数3-9）设有元实二次型，其中为实数.试问：当满

7、足什么条件时，二次型为正定二次型.解：由已知条件可知，对于任意的，恒有，其中等号成立的充分必要条件是：.根据正定的定义，只要，恒有，则就是正定的二次型.为此，只要方程（1）仅有零解，就必有当时，恒不全为零，从而，亦即是正定的二次型.而方程组（1）只要零解的充分必要条件是系数行列式，即当时，二次型正定.点评：由二次型正定转化为齐次方程组中只有零解，进而转换为阶行列式的计算.如果方程组（1）多写几个方程，行列式（2）多写几行几列，计算时可少许多差错.例9已知是阶正定矩阵，证明存在阶正定矩阵，使.证明：因为是正定矩阵，则是实对称矩阵.故存在正交矩阵使，.于是，.其中：.一方面说明矩阵的特征值是均大于

8、零.另一方面，由是正交矩阵，知是对称矩阵.从而是正定矩阵，且满足.点评：欲证矩阵正定，需先证其对称.例10（05数313）设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵.（I）计算，其中；（II）利用（I）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.解：（I）因为，所以.（II）因为是对称矩阵，所以是对称矩阵，而，进而是对称的.又因为，则与合同.而合同的矩阵有相同的正定性，故当是正定矩阵时，是正定矩阵.于是，对任意的，恒有.所以矩阵是正定矩阵.例11设是矩阵，是阶方阵，是矩阵，若，且.证明：矩阵为正定矩阵.证明：由，得.则的每一列均为的解向量,而，故只有零解，即的每一列均为零，于是.那么，由

9、，有，从而（是对称矩阵）.对于任意的，有，于是.故，根据定义是正定矩阵.例12设是三阶实对称矩阵，且满足，若是正定矩阵，则应满足.解：显然，的特征值为：，则的特征值为：.于是，正定时必有.例13二次型经正交变换化为标准形.（1）求的值及所用正交变换；（2）若二次型正定，求的值.解：（1）二次型及其标准形的矩阵分别为：，.经正交变换，有，故它们有相同的迹和相等的行列式值.即：.因为矩阵的特征值是：2，-5，-1，由，得到的特征向量为.类似地，解方程组与可得到与的特征向量分别为：.因为特征值不同，特征向量已正交，只需单位化，有.所以.（2）二次型正定的充要条件是顺序主子式全大于零，即：，因此.例1

10、4二次型经正交变换化为标准形：.（I）求的值及所用正交变换；（II）若二次型正定，求的值.解：（I）二次型及其标准形的矩阵分别是与.经正交变换，有.于是，它们有相同的迹和相同的行列式值，即：.因为的特征值为：，容易求得对应的特征向量为：，.因为特征值不同，特征向量已正交，只需单位化，有：，所以.（II）二次型正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零，即：，因此.例15设为四阶实对称矩阵，满足，且其正、负惯性指数均为1,则.（A）；（B）为正定矩阵；（C）；（D）解空间的维数为1.解：由题设，的特征值满足，又根据正负惯性指数均为1知，.于是有的特征值全大于零，由此可见是正定矩阵.故，选（B）.例

11、16设为四阶实对称矩阵，满足，且其正、负惯性指数均为1,则.（A）；（B）为正定矩阵；（C）；（D）解空间的维数为1.解：由题设，的特征值满足，又根据正负惯性指数均为1知，.于是有的特征值全大于零，由此可见是正定矩阵.故，选（B）.例17二次型经正交变换化为标准形.（1）求的值及所用正交变换；（2）若二次型正定，求的值.解：（1）二次型及其标准形的矩阵分别为：，.经正交变换，有，故它们有相同的迹和相等的行列式值.即：.因为矩阵的特征值是：2，-5，-1，由，得到的特征向量为.类似地，解方程组与可得到与的特征向量分别为：.因为特征值不同，特征向量已正交，只需单位化，有.所以.（2）二次型正定的充

12、要条件是顺序主子式全大于零，即：，因此.例18（99数16）设为阶对称矩阵且正定，为实矩阵，为的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是.证明：必要性.设为正定矩阵，按定义对于，恒有.即，恒有.即，恒有.因此，齐次线性方程组只有零解，那么.充分性：因，则是对称矩阵.当时，齐次线性方程组只有零解，那么对于必有.又为正定矩阵，所以对于，恒有.即，当时，故是正定矩阵.点评：（1）本题的证法很多.例如，利用秩的定义和性质可证必要性.由于是正定矩阵，知.所以，（请说出上述每一步成立的理由）；（2）正定矩阵由二次型的正定性引入，二次型矩阵是对称矩阵，因此正定矩阵隐含对称矩阵的条件，所以要证是正定矩阵，首

13、先应先验证是对称矩阵，然后再用定义法或等价条件来证明正定性.一些考生忽略了对称性的判断而丢分是可惜的；（3）本题充分性的证明也可以用特征值法：设是的任一个特征值，是属于特征值的特征向量，即.用左乘等式的两端有.因为,，知以及，又因正定，故有.得到.所以正定；（4）本题证法虽很多，但得分率却是当年数学一中最低的，人均0.78分，可见区分度之高，反映出优秀考生解本题并不困难.对于定义法，对于各概念的衔接与转换是考生复习时应当注意的.例19设是三阶实对称矩阵，且满足，若是正定矩阵，则.解：由可知，矩阵的特征值为：0，-2.那么的特征值是：.又因为正定的充分必要条件是特征值全大于零，故.点评：（1）由

14、矩阵等式可得，从而有，于是有矩阵的特征值为：0，-2；（2）矩阵正定的充分必要条件是特征值都大于零.例20下列矩阵中，正定矩阵是.（A）；（B）；（C）；（D）解：（A）中，则非正定；（B）中二阶子式，则非正定；（C）中行列式等于零，则非正定.所以应选（D）.或者：直接地，（D）中三个顺序主子式全大于零，而知（D）正定.点评：注意矩阵正定的必要条件是：（1）；（2）.例21已知与均是阶正定矩阵，证明：是正定矩阵.证明：（特征值法）由于，又是正定矩阵，则.即，是对称矩阵.设是矩阵的特征值，那么的特征值为：，由于正定，故.于是，的特征值为：，从而是正定矩阵.点评：用特征值法证明矩阵正定时，一是要证

15、该矩阵是对称矩阵；二是要证其所有的特征值均大于零.例22设是阶正定矩阵，是阶反对称矩阵，证明矩阵可逆.证明：因为是正定矩阵，知，是反对称矩阵，则.于是，即是对称矩阵.构造二次型，因为对于，恒有，.故，对于，恒有.所以由定义是正定二次型，那么，矩阵可逆.点评：此题是由定义法证明的.例23已知是阶正定矩阵，维非零列向量满足：，证明：线性无关.证明：设.用左乘此式得因为，则（2）式为.由于正定，则，故必有.同理可以证明.因此向量组线性无关.点评：本题综合考查了正定矩阵的概念，向量组无关性的判定等知识点.例24设，若二次型正定，求的取值范围.解：这是一个带参数的三元二次型，先写出该二次型的矩阵，可以通

16、过顺序主子式来求解.显然，二次型的矩阵为由二次型正定，它的各阶顺序主子式大于0，有.由，解得.由，解得，即可以解得或. 综合以上有：.点评：对称矩阵正定的充分必要条件是各阶顺序主子式均大于零.是矩阵正定的必要条件.例25设，求证时，是正定的.证明：由定义法证，显然是对称矩阵.对于任意非零向量，由于，.又由条件，所以第一项，而第二项总有.所以对于任意维非零向量有于是,根据二次型正定的概念,当时,是正定的.点评：本题考查证明矩阵正定的定义法.例26设是实对称正定矩阵，是实矩阵，证明：正定的充分必要条件是.证明：由知是对称矩阵.先证明充分性.对于任意的，由，所以.于是，由于是正定的，则有，这就证明了

17、是正定矩阵.再证明必要性.由于正定，则对于，有，即.由题设正定，可知.即齐次线性方程组只有零解.从而矩阵.点评：（1）要证矩阵正定，先得证明其对称；（2）对于任意的，当时，可知齐次线性方程组只有零解.例27下列矩阵中，正定矩阵是.（A）；（B）；（C）；（D）解：（A）中，则非正定；（B）中二阶子式，则非正定；（C）中行列式等于零，则非正定.所以应选（D）.或者：直接地，（D）中三个顺序主子式全大于零，而知（D）正定.点评：注意矩阵正定的必要条件是：（1）；（2）.例28设,则有. (A)时正定 (B) 时正定 (C)时正定 (D)无论为何值, 不正定 解: 正定的充要条件是的顺序主子式全大于

18、,即 故不论为何值, 均不为正定矩阵,正确答案为(D).例29已知是正定矩阵，则应满足.解：的各阶顺序主子式全大于零，解得.例30设A是三阶实对称矩阵，且满足，若是正定矩阵，则应满足.解：显然，A的特征值为：，则的特征值为：.于是，正定时必有.例31设二次型,是正定的,则应满足的条件是.解:二次型矩阵的顺序主子式分别为 ,即 即 故时,二次型为正定的.例32已知是正定矩阵，则应满足.解：的各阶顺序主子式全大于零，解得.例33二次型正定，则的取值为.解：根据二次型正定的概念，恒有，则称为正定的二次型.那么，当时，若，不全为零时，则必有平方和，从而二次型正定.因此，为正定的二次型的充分必要条件为：

19、没有非零解.于是，即且.例34（97数33）若二次型是正定的，则的取值范围是.解：二次型的矩阵为，因为正定的充分必要条件是的顺序主子式大于零.,故矩阵正定的充分必要条件是：，即.点评：本题若用配方法，有.因此，正定的充分必要条件为：，即.例35设是三阶实对称矩阵，且满足，若是正定矩阵，则.解：由可知，矩阵的特征值为：0，-2.那么的特征值是：.又因为正定的充分必要条件是特征值全大于零，故.点评：（1）由矩阵等式可得，从而有，于是有矩阵的特征值为：0，-2；（2）矩阵正定的充分必要条件是特征值都大于零.例36设有元实二次型，求此二次型所对应的矩阵，并确定为正定二次型的充要条件.解：令，则，且.由

20、于，可见此二次型所对应的矩阵为.因此对于任意的，只有零解或.故为正定二次型的充要条件是：或.例37设矩阵，矩阵，其中为实数，为单位矩阵.求对角矩阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵.解：由，得，.记对角矩阵，因为实对称矩阵，故存在正交矩阵，使得，即，从而，所以.故当，时，的特征值全为正数，这时为正定矩阵.例38设，讨论的正定性.解：（1）当时，的列向量个数大于列向量的维数，故个列向量线性相关，即存在，使得，从而有.其中，故不是正定矩阵.（2）当时，是阶Vandermonde行列式对应的矩阵，因，故是可逆矩阵.，其中可逆，对于，有，从而，故是正定矩阵.（3）当时，由的前行组成的阶Vanderm

21、onde行列式不为零，知中前行组成的维的个列向量线性无关，增加分量后仍线性无关，故的个（维）列向量线性无关，故对于任意的，均有，从而有，故是正定矩阵.例39已知齐次线性方程组，有非零解，且是正定矩阵，求，并确定时，的最大值.解：由于齐次线性方程组有非零解，故.由于是正定矩阵，必有中主对角线上的元素大于零，这样排除了和.当时，的特征值全大于零，故正定，即为所求.是实对称矩阵，故存在正交矩阵，令，化二次型为标准形，由于，则.因此，当时，即时，最大值是.例40已知是二次型矩阵的特征向量，判断二次型是否正定，并求齐次方程组的通解.解：二次型的矩阵是.设是属于特征值的特征向量，即或.由此可得，解之得：，

22、.对于，由于，所以不是正定的二次型.将，代入方程组，对系数矩阵作高斯消元，有.若，则，基础解系是，.方程组的通解是：.若，则，基础解系是.方程组的通解是：.例41（1）设分别为阶正定矩阵，试证明分块矩阵为正定矩阵.（2）判定下列二次型的正定性.（1）证明：因为实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：对应的二次型为正定的二次型.令维向量，其中，.若，则至少有一个不为零，不妨设，因为为正定矩阵，所以.又由于是正定矩阵，故对于任意的维列向量，有.而，所以是正定矩阵.（2）二次型的矩阵为，其中：，作二次型，其中：，因为的顺序主子式，所以为正定的二次型，故为正定矩阵.因为顺序主子式，所以为正定的二次型，故

23、为正定矩阵.由（1）的结论可知，为正定矩阵，故为正定的二次型.例42已知二次型(1)用矩阵表示此二次型(2)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换(3)此二次型是否是正定的？解：(1) (2)由得特征值分别为 1，4，6。当时，从解出特征向量单位化为当时，从解出特征向量当时，从解出特征向量，单位化为故所求正交矩阵为所求标准型为(3)由B 是正定的，知二次型是正定的。例43（91数36）考虑二次型，问取何值时，为正定二次型.解：该二次型的矩阵为，其顺序主子式为，.正定的充分必要条件是：，解出其交集为：.故，当时，是正定的二次型.点评：这类题目以用“顺序主子式全大于零”为简捷.如果配方法

24、方便，也可考虑用配方法化其为标准形，利用“正惯性指数”判定；若特征值易于求，亦可用“特征值全大于零”判定.例44（98数37）设矩阵，矩阵，其中为实数，为单位矩阵.求对角矩阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵.解：由于满足，且是实对称矩阵，于是.即，必可对角化，只要求出的各特征值即可,而这只要求出矩阵的各特征值即可.令，则的特征值为：.那么，的特征值为：.故，.困为矩阵正定的充分必要条件是特征值全大于零，可见当且时，矩阵正定.点评：本题也可用“实对称矩阵必可相似对角化”来处理.因为是实对称矩阵，故存在可逆矩阵使，即.那么有：.即，.故，.例45二次型经正交变换化为标准形.（1）求的值及所用正

25、交变换；（2）若二次型正定，求的值.解：（1）二次型及其标准形的矩阵分别为：，.经正交变换，有，故它们有相同的迹和相等的行列式值.即：.因为矩阵的特征值是：2，-5，-1，由，得到的特征向量为.类似地，解方程组与可得到与的特征向量分别为：.因为特征值不同，特征向量已正交，只需单位化，有.所以.（2）二次型正定的充要条件是顺序主子式全大于零，即：，因此.例46设，若二次型正定，求的取值范围.解：这是一个带参数的三元二次型，先写出该二次型的矩阵，可以通过顺序主子式来求解.显然，二次型的矩阵为由二次型正定，它的各阶顺序主子式大于0，有.由，解得.由，解得，即可以解得或. 综合以上有：.点评：对称矩阵

26、正定的充分必要条件是各阶顺序主子式均大于零.是矩阵正定的必要条件.例47（00数3-9）设有元实二次型，其中为实数.试问：当满足什么条件时，二次型为正定二次型.解：由已知条件可知，对于任意的，恒有，其中等号成立的充分必要条件是：.根据正定的定义，只要，恒有，则就是正定的二次型.为此，只要方程（1）仅有零解，就必有当时，恒不全为零，从而，亦即是正定的二次型.而方程组（1）只要零解的充分必要条件是系数行列式，即当时，二次型正定.点评：由二次型正定转化为齐次方程组中只有零解，进而转换为阶行列式的计算.如果方程组（1）多写几个方程，行列式（2）多写几行几列，计算时可少许多差错.例48设，若二次型正定，

27、求的取值范围.解：这是一个带参数的三元二次型，先写出该二次型的矩阵，可以通过顺序主子式来求解.显然，二次型的矩阵为由二次型正定，它的各阶顺序主子式大于0，有.由，解得.由，解得，即可以解得或. 综合以上有：.点评：对称矩阵正定的充分必要条件是各阶顺序主子式均大于零.是矩阵正定的必要条件.例49设随机变量相互独立且都服从参数为的0-1分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为.求：（1）参数的值；（2）随机变量的分布律.解：（1）因为矩阵正定的充要条件是其所在的顺序主子式都大于零，所以有：，即，得.（2）的所有取值为：-1，0，1，.故，.点评：本题为基本题型，应用了矩阵正定的充要条件，考查了联合分布的概

28、率计算.例50证明：若是正定矩阵，则是正定矩阵.证法（一）：有定义证明.由，知且为对称矩阵.又已知是正定矩阵，故有，且对于任何恒有.于是.因为可逆，当时，从而对任何，有.根据定义知，是正定矩阵.证法（二）：利用正定的全部特征值大于零.由知，是对称矩阵.设的特征值为：，由正定知，且根据有，.由，得，于是，说明的一个特征值为，故的个特征值分别为：，故是正定矩阵.例51设为实矩阵，且，证明：为正定矩阵的充分必要条件是.证明：（必要性）设为正定矩阵，则，即为可逆矩阵，从而，但，故.（充分性）设，则对于任意维列向量，有.（否则，若对于，有，则有非零解，故，这与相矛盾.）于是，按定义，为正定矩阵.例52设

29、为实矩阵，为阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵为正定矩阵.证明：用定义法.因为，所以为阶对称矩阵，对于任意的实维向量，有，.因为，当时，对任意的，有，即为正定矩阵.例53是阶正定矩阵，是其非零列向量，且，证明：线性无关.证明：令，两边左乘有：.由于正定，及，得.类似地，可以证明，故线性无关.例54设是矩阵，是阶方阵，是矩阵，若，且.证明：矩阵为正定矩阵.证明：由，得.则的每一列均为的解向量,而，故只有零解，即的每一列均为零，于是.那么，由，有，从而（是对称矩阵）.对于任意的，有，于是.故，根据定义是正定矩阵.例55证明：若是正定的二次型，则也是正定的二次型.证明：由正定可知，对任何，有，又

30、由题设知存在，则对任何，存在唯一的，使或，于是有（是实对称矩阵）.故是正定二次型.例56设A为实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵B为正定矩阵.证明：因为，所以B是实对称矩阵.构造二次型，那么.对于任意的，恒有，.因此，当时，有.即二次型为正定的，B为正定矩阵.点评：要证矩阵正定先得证其对称.例57设矩阵，矩阵，其中k为实数，E为单位矩阵.求对角矩阵，使B与相似，并求为何值时，B为正定矩阵.解：由于B满足，且A是实对称矩阵，于是.即，B必可对角化，只要求出B的各特征值即可,而这只要求出矩阵A的各特征值即可.令，则A的特征值为：.那么，的特征值为：.故，.困为矩阵B正定的充分必要

31、条件是特征值全大于零，可见当且时，矩阵B正定.点评：本题也可用“实对称矩阵必可相似对角化”来处理.因为A是实对称矩阵，故存在可逆矩阵P使，即.那么有：.即，.故，.例58证明：若是正定的二次型，则也是正定的二次型.证明：由正定可知，对任何，有，又由题设知存在，则对任何，存在唯一的，使或，于是有（是实对称矩阵）.故是正定二次型.例59（91数1-6）设是阶正定矩阵，为单位阵，证明的行列式大于1.证法（一）：因为是正定矩阵，故存在正交矩阵，使:，其中，是的特征值.因此.两边取行列式得：.从而.证法（二）：设的特征值是由于A是正定矩阵，故特征值全大于0.而的特征值是，它们全大于1，根据，知.点评：正

32、定二次型的矩阵叫做正定矩阵.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是其所有的特征值均大于零.例60（99数16）设为阶对称矩阵且正定，为实矩阵，为的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是.证明：必要性.设为正定矩阵，按定义对于，恒有.即，恒有.即，恒有.因此，齐次线性方程组只有零解，那么.充分性：因，则是对称矩阵.当时，齐次线性方程组只有零解，那么对于必有.又为正定矩阵，所以对于，恒有.即，当时，故是正定矩阵.点评：（1）本题的证法很多.例如，利用秩的定义和性质可证必要性.由于是正定矩阵，知.所以，（请说出上述每一步成立的理由）；（2）正定矩阵由二次型的正定性引入，二次型矩阵是对称矩阵，因此正

33、定矩阵隐含对称矩阵的条件，所以要证是正定矩阵，首先应先验证是对称矩阵，然后再用定义法或等价条件来证明正定性.一些考生忽略了对称性的判断而丢分是可惜的；（3）本题充分性的证明也可以用特征值法：设是的任一个特征值，是属于特征值的特征向量，即.用左乘等式的两端有.因为,，知以及，又因正定，故有.得到.所以正定；（4）本题证法虽很多，但得分率却是当年数学一中最低的，人均0.78分，可见区分度之高，反映出优秀考生解本题并不困难.对于定义法，对于各概念的衔接与转换是考生复习时应当注意的.例61已知与均是阶正定矩阵，证明：是正定矩阵.证明：（特征值法）由于，又是正定矩阵，则.即，是对称矩阵.设是矩阵的特征值

34、，那么的特征值为：，由于正定，故.于是，的特征值为：，从而是正定矩阵.点评：用特征值法证明矩阵正定时，一是要证该矩阵是对称矩阵；二是要证其所有的特征值均大于零.例62设是阶正定矩阵，是阶反对称矩阵，证明矩阵可逆.证明：因为是正定矩阵，知，是反对称矩阵，则.于是，即是对称矩阵.构造二次型，因为对于，恒有，.故，对于，恒有.所以由定义是正定二次型，那么，矩阵可逆.点评：此题是由定义法证明的.例63已知是阶正定矩阵，维非零列向量满足：，证明：线性无关.证明：设.用左乘此式得因为，则（2）式为.由于正定，则，故必有.同理可以证明.因此向量组线性无关.点评：本题综合考查了正定矩阵的概念，向量组无关性的判

35、定等知识点.例64已知是阶正定矩阵，证明存在阶正定矩阵，使.证明：因为是正定矩阵，则是实对称矩阵.故存在正交矩阵使，.于是，.其中：.一方面说明矩阵的特征值是均大于零.另一方面，由是正交矩阵，知是对称矩阵.从而是正定矩阵，且满足.点评：欲证矩阵正定，需先证其对称.例65（05数313）设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵.（I）计算，其中；（II）利用（I）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.解：（I）因为，所以.（II）因为是对称矩阵，所以是对称矩阵，而，进而是对称的.又因为，则与合同.而合同的矩阵有相同的正定性，故当是正定矩阵时，是正定矩阵.于是，对任意的，恒有.所以矩

36、阵是正定矩阵.例66设是矩阵，是阶方阵，是矩阵，若，且.证明：矩阵为正定矩阵.证明：由，得.则的每一列均为的解向量,而，故只有零解，即的每一列均为零，于是.那么，由，有，从而（是对称矩阵）.对于任意的，有，于是.故，根据定义是正定矩阵.例67已知与均是阶正定矩阵，证明：是正定矩阵.证明：（特征值法）由于，又是正定矩阵，则.即，是对称矩阵.设是矩阵的特征值，那么的特征值为：，由于正定，故.于是，的特征值为：，从而是正定矩阵.点评：用特征值法证明矩阵正定时，一是要证该矩阵是对称矩阵；二是要证其所有的特征值均大于零.例68（05数313）设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵.（I）计算，其

37、中；（II）利用（I）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.解：（I）因为，所以.（II）因为是对称矩阵，所以是对称矩阵，而，进而是对称的.又因为，则与合同.而合同的矩阵有相同的正定性，故当是正定矩阵时，是正定矩阵.于是，对任意的，恒有.所以矩阵是正定矩阵.题型之三：合同矩阵知识点、题型、解题技巧综述1二次型的矩阵既与一个对角矩阵合同，又与其相似.2合同矩阵有相同的规范形.3合同矩阵的判定： 实对称矩阵与合同的充分必要条件是：二次型与有相同的正、负惯性指数.4近年来常在一个题中考查矩阵的等价、相似、合同这三个概念.（1）与等价经过初等变换可得到存在可逆阵，使.（2）与相似存在可逆阵，使

38、.（3）与合同存在可逆阵，使与有相同的正、负惯性指数.例题精解例1（96数38）设矩阵.（1）已知的一个特征值为3，试求；（2）求可逆阵，使得为对角矩阵.解：（1）因为是的特征值，故.（2）由于，要使，而是对称矩阵，故可构造二次型，将其化为标准形.即有与对角矩阵合同.亦即.由于，令，则经坐标变换有.故，取可使.点评：本题（1）是考查特征值的基本概念，而（2）是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题，用二次型的理论与方法处理矩阵中的问题.例2（97数33）设为同阶可逆矩阵，则.（A）；（B）存在可逆矩阵，使；（C）存在可逆矩阵和，使；（D）存在可逆矩阵，使.解：因为矩阵的乘法

39、没有交换律，故（A）不正确.而两个可逆矩阵不一定相似，因为特征值可以不一样.故（B）不正确.两个可逆矩阵所对应的二次型的正、负惯性指数可不同，因而不一定合同.故（D）不正确.由于与同阶等秩，则与等价.于是，（其中：和是初等矩阵）.因为初等矩阵总是可逆的，亦即存在可逆矩阵和使得成立.综合以上：应选取（C）例3（01数13）设，则与.（A）合同且相似；（B）合同但不相似；（C）不合同但相似；（D）不合同且不相似.解：因为，则的特征值为：0，0，0，.即，0，0，0，4.又是实对称矩阵，则必能对角化,所以.而当时，知与有相同的特征值，从而二次型与有相同的正惯性指数.故与合同.综合以上：应选（A）.例

40、4（01数38）设为阶实对称矩阵，是矩阵中元素的代数余子式，二次型.（1）记，把写成矩阵形式，并证明该二次型的矩阵是；（2）二次型与的规范形是否相同？说明理由.解：（1）.在为，知可逆，又因为是实对称矩阵，则，即当是对称矩阵时，也是对称矩阵.于是，.（2）经坐标变换，有，得与有相同的规范形.点评：由于，即与合同，所以与规范形相同. 例5证明：，等价、合同但不相似.证明：因为，所以与等价.又因为与的特征值不同，故与不相似.因与有相同的正负惯性指数，所以与合同.点评：（1）与等价的充分必要条件是：经过初等变换得到其中都可逆. ；（2）与相似；（3）与合同（其中：可逆.）与有相同的正、负惯性指数.例

41、6设是三阶实对称矩阵，将矩阵的第一，二行互换后再将第一，二列互换得到矩阵，试判断与是否等价、相似、合同.解：由题意经过初等变换得到，则与B是等价的.且.因为且.故，由定义可知与既相似又合同.于是，与相似、等价、合同.例7证明：矩阵与不合同.证明：（用反证法）假设与合同，则存在可逆矩阵，使，那么，即，而这与相矛盾.故，与不合同.点评：也可直接证明，因为与B的正、负惯性指数不同，故与不合同.例8设均为阶实对称矩阵，则是合同矩阵的充分必要条件是矩阵.（A） 有相同的特征值；（B）有相同的秩；（C）有相同的正、负惯性指数；（D）都是可逆矩阵. 解：因为有相同的正、负惯性指数，所以应选（C）. （A）是

42、充分但非必要条件（为实对称矩阵，且有相同的，则，反之不成立）. （B）是必要条件，但不充分，（，存在可逆矩阵，使得，反之不成立）. （D）既不充分也非必要条件.例9设，则，中与合同的矩阵是.（A）；（B）；（C）；（D）没有.解：，均为实对称矩阵，的顺序主子式依次为：，.所以为正定矩阵，这样与合同的矩阵当且仅当为与同阶的正定矩阵. 的三阶顺序主子式，所以不是正定矩阵. 的二阶顺序主子式，所以不是正定矩阵.而的顺序主子式依次为：，.所以为正定矩阵，因而与合同.故应选（C）.例10设二次型为，则合同于.(A)；（B）；（C）；（D）.解：经配方，得.由于，且正惯性指数，负惯性指数，且两个二次型合同

43、的充分必要条件是：这两个二次型有相同的秩和相同的正惯性指数，与其标准形中系数的大小无关.故应选（B）.例11（08SHU1，2，3，44）设，则在实数域上与合同的矩阵为.（A）；（B）；（C）；（D）.解：因为，所以.又因为，而有特征值，从而有特征值是.显然，（D）中矩阵的秩为，且，而矩阵有特征值，从而的特征值为：.即，与（D）中矩阵有相同的秩和相同的正惯性指数，所以与矩阵合同.故选（D）.例12证明：矩阵与不合同.证明：（用反证法）假设与合同，则存在可逆矩阵，使，那么，即，而这与相矛盾.故，与不合同.点评：也可直接证明，因为与B的正、负惯性指数不同，故与不合同.题型之四：综合题例1判断与是否

44、相似、等价、合同.解：因为矩阵等价的充分必要条件是：两矩阵等秩.由于，故与等价.容易求得矩阵和的特征值都是：3，0，0且它们都是对称阵，于是.由于和具有相同的特征值，于是二次型和具有相同的正、负惯性指数，从而与合同.所以本题中与相似、等价、合同.点评：实对称矩阵相似必合同，但合同时未必相似.例2设其中是3阶单位矩阵，若是正交矩阵，则.解：是正交矩阵由于而因此点评：本题考查矩阵的运算，正交矩阵的概念等，注意区别与，前者是一个数，后者3阶矩阵.例3设是正负惯性指数均为1的三阶实对称矩阵，且满足，则行列式.解：由题意，知矩阵必有一零特征值.即，又，则有特征值，于是.例4设是正负惯性指数均为1的三阶实

45、对称矩阵，且满足，则行列式.解：由题意，知矩阵必有一零特征值.即，又，则有特征值，于是.例5（97数33）设为同阶可逆矩阵，则.（A）；（B）存在可逆矩阵，使；（C）存在可逆矩阵和，使；（D）存在可逆矩阵，使.解：因为矩阵的乘法没有交换律，故（A）不正确.而两个可逆矩阵不一定相似，因为特征值可以不一样.故（B）不正确.两个可逆矩阵所对应的二次型的正、负惯性指数可不同，因而不一定合同.故（D）不正确.由于与同阶等秩，则与等价.于是，（其中：和是初等矩阵）.因为初等矩阵总是可逆的，亦即存在可逆矩阵和使得成立.综合以上：应选取（C）例6（01数13）设，则与.（A）合同且相似；（B）合同但不相似；（

46、C）不合同但相似；（D）不合同且不相似.解：因为，则的特征值为：0，0，0，.即，0，0，0，4.又是实对称矩阵，则必能对角化,所以.而当时，知与有相同的特征值，从而二次型与有相同的正惯性指数.故与合同.综合以上：应选（A）.例7设为四阶实对称矩阵，满足，且其正、负惯性指数均为1,则.（A）；（B）为正定矩阵；（C）；（D）解空间的维数为1.解：由题设，的特征值满足，又根据正负惯性指数均为1知，.于是有的特征值全大于零，由此可见是正定矩阵.故，选（B）.例8设均为阶实对称矩阵，现有四个命题：（1）与相似的充分必要条件是；（2）二次型与二次型有相同的规范形的充分必要条件是；（3）若，则必有（合同

47、）；（4）若（合同），则必有.以上命题正确的是.（A）（1），（2）；（B）（1），（3）；（C）（1），（4）；（D）（3），（4）.解：命题（1）正确，证明如下：必要性，若，则存在可逆矩阵，使.故. 充分性，若，则与有相同的特征值，因均为对称矩阵，所以均能对角化，即存在正交矩阵和使及，从而，据此可推出. 命题（2）不成立，下列反例表明该命题必要性不成立.取，则二次型与有相同的规范形：.但. 命题（3）成立，证明如下： 若，则与有相同的特征值，因均为对称矩阵，所以均能对角化，即存在正交矩阵和使及，据此可推出.所以（合同）. 命题（4）不成立，反例如下：令，因为，且正惯性指数均为3，所以（合同），但所以与不相似. 综上：应选（B）.例9已知A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题：（1）A，B等价；（2）A，B相似；（3）若A，B为实对称矩阵，则A，B合同；（4）行列式，成立的有.（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个.解：（1）A，B是否等价，只需判断其秩