计算物理课件-第八章-蒙特卡罗方法

1、蒙特卡罗方法,洛阳师范学院物理系,8.1 引言 8.2 随机数及随机数的产生 8.3 蒙特卡罗方法的简单应用,第一节 引言,蒙特卡罗方法，又称为随机抽样方法或统计试验法，是一种与一般数值方法有本质区别的计算方法，它是以概率统计理论为基础，依据大数定律（样本均值代替总体均值），以求得统计特征值（如均值、概率等）作为待解问题的数值解。 随着现代计算机技术的飞速发展，蒙特卡罗方法已经在原子弹工程的科学研究中发挥了极其重要的作用，并且正在日益广泛地应用于物理工程的各个方面,就数学特性而言，蒙特卡罗方法的发展可以追溯到18世纪著名的Buffon问题。 1777年，法国科学家Buffon提出用投针试验计算

2、圆周率pai值的问题,第一节 引言,Buffon投针问题,概率论问题,由随机变量 在各自取值范围内取值的均匀性，可知其各自的分布密度函数为 而 的联合分布密度函数则为 （此处的随机变量x和sita相互独立,Buffon投针问题,Buffon投针问题,Buffon投针问题,上述由投针试验求得 的近似值的方法，是进行真正的试验，并统计试验结果。要想获得的频率值与概率值偏差小，就要进行大量的试验，而这势必耗费大量人力、财力，这在实际的操作中，往往难以做到。 所以在计算机技术出现之前，用频率近似概率的方法（雏形时代的蒙特卡罗方法）并没有得到实质上的应用,Buffon投针问题,20世纪40年代以后，随着

3、电子计算机的出现和发展，人们开始用计算机来模拟这类实验和计算。计算机具有计算速度高和存储量大的特点，采用数字模拟技术可以代替许多实际上非常庞大而复杂的实验，并迅速将实验结果进行处理。 于是随机模拟法被重新提起，并引起人们的重视，应用日渐广泛。采用随机模拟法在计算机上建立模型来解决Buffon问题是非常简单的,Buffon投针问题,由随机变量 在各自取值范围内取值的均匀性，可知其各自的分布密度函数为 而 的联合分布密度函数则为 （此处的随机变量x和sita相互独立,Buffon投针问题,计算机上可分别用俩个均匀的随机数来代替上述的随机数。于是，每次投针试验便等于从两个均匀分布的随机变量中抽样取得

4、 和 。定义随机变量 如果投针N次，那么,Buffon投针问题,随着模拟投针近似于其真值，所计算的的近似值越来越接近于其真值,Buffon投针问题,从Buffon问题可以看出，用蒙特卡罗方法求解问题时，应建立一个概率模型，是待解问题与此概率模型相联系，然后通过随机模拟试验求得某些统计特征值作为待解问题的近似值。与此相似，在一些物理问题，如核裂变、直流电流气体放电等过程中粒子的输运过程及粒子输运的总效应，也是可以与某些概率过程联系起来。 例如，电子与原子、分子、离子的碰撞过程，实际上就是与碰撞截面有关的概率过程,蒙特卡罗方法处理的两类问题,第一类是确定性的数学问题。用蒙特卡罗方法求解这类问题的方

5、法是，首先建立一个与所求解有关的概率模型，使所求的解就是我们所建立的概率分布数学期望，然后对这个模型进行随机抽样观察，即产生随机变量，最后用其算术平均值作为所求解的近似估计值。计算多重积分，求逆矩阵，解线性代数方程组，解积分方程，解某些偏微分方程边值问题和计算微分算子的特征值等都属于这一类,蒙特卡罗方法处理的问题,第二类是随机性问题。例如中子在介质中的扩散等问题就属于随机性问题，这是因为中子在介质内部不仅受到某些确定性的影响，而且更多的是随机性的影响。对于这类问题，一般情况下采用直接模拟方法，即根据实际物理情况的概率法则，用电子计算机进行抽样试验。原子物理学问题，运筹学中的库存问题，随机服务系

6、统中的排队问题，动物的生态竞争和传染病的蔓延等都属于这一类,蒙特卡罗方法步骤,对求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望。 根据改良统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减小方差和降低费用，提高计算效率。 建立多随机变量的抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到分布产生随即变量的随机抽样方法。 给出获得所求解的统计估计值及其方差或者标准误差的方法,第二节 随机数及随机数的产生,用蒙特卡罗方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。最简单、最基本、最重要的是在0,1上均匀分布的随机变量。 数列可以分为三种不同的类型： 真随机数列，准随机数列, 伪随机数列,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,第二节 随机数及随机数的产生,程序见课本,算法实现,许多程序语言中都自带生成随机数的方法，如 c 中的 random() 函数，Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如 c 中的函数生成