过哪些点可以作三次函数图象的三条切线《数学通讯》2007年第21期l贺斌黄福_第1页
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过哪些点可以作三次函数图象的三条切线《数学通讯》2007年第21期l贺斌黄福_第3页
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1、过哪些点可以作三次函数图象的三条切线贺 斌 黄 福（谷城县第三中学，湖北 441700） （谷城县庙滩二中，湖北 441700）中图分类号： 文献标识码： 文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：此题第（II）小题的结论颇赖人寻味。通过研读有关资料上所提供的“参考答案”可以发现：当时，也是过点可作曲线的三条切线的充分条件并且易知为在其对称中心处的切线于是，我们有如下更直观的结果：设函数，则过点 （）可作曲线C：的三条切线当且仅当点位于曲线C与C在其对称中心处的切线所夹的右侧区域内（边界除外）（如图）我们更感兴趣

2、的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？ 通过探索可知，答案是肯定的定理 过点M可作三次函数图象C 的三条切线，当且仅当点M位于图象C与C在其对称中心处的切线所夹的左、右两个区域内（边界除外）为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相应的示意图如下：_收稿日期：2007-08-证 设三次函数为 （），点M的坐标为，点为三次函数图象C上的一点则点A处的切线方程为 于是，切线过点M，等价于存在实数，使 (1)注意到（1）是关于的三次方程（易知的系数不为0），则过点M可作C的三条切线，当且仅当关于的方程（1）有三个相异的实数根记 ，则 若，则，为R上的单调函数，方程有且仅有一个实数根若，则在点附近的函数值异号，在点附近的函数值也异号，故和都是的极值点于是结合函数的单调性知，方程有三个相异的实数根，当且仅当即 （2）由文1、2知，三次函数的图象有唯一对称中心而C在点N处的切线的方程为故直线与C及的交点纵坐标分别为 及 由于，故上述两纵坐标不相等。注意到不等式组（2）的第二式为关于的一元二次不等式，并且项的系数为正，故满足上述不等式组的点位于C和所夹的左、右两个区域内（边界除外）证毕参考文献：1 管宏斌三次函数对称中心初探数学通讯，2004(15)2 刘国杰三

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