(完整版)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)(2),推荐文档

1、专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a，br，a2b22ab，当且仅当 ab 时取等号第 11 页 共 11 页（2）a，br，ab2a2b2ab，当且仅当 ab 时取等号ab（3）a，br，2 (2 )2，当且仅当 ab 时取等号上述三个不等关系揭示了 a2b2 ，ab ，ab 三者间的不等关系ab其中，基本不等式及其变形：a，br，ab2ab(或ab( 2 )2)，当且仅当ab 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例 1】（扬州市 20152016 学年度第一学期期末11）已知

2、 ， b， 1 且2 log ab + 3logba = 7 ，则 a +1b 2 - 1的最小值为.【解析】 a， b， 1 且2 log ab + 3logba = 7 2 logab +3 loga b= 7 ，解得logab = 1 或log2ab = 3 ， ， 1logab = 1 ，即 a = b2 2a +1b2 -1= a -1+1+1a -1(a -1)1a -1 2+1 = 3 练习：1（南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟10）若实数 x, y 满足x2 + y2x y 0 ，且log2 x + log2 y = 1，则x - y 的最小值为解析：由 log2

3、x+log2y=1 可得 log2xy=1=log22，则有 xy=2，那么x2 + y2 x - y4(x - y)2 + 2xy=x - y4=（xy）+2x - y(x - y) 4x - yx2 + y2=4，当且仅当（xy）=，即 x=x - y+1，y=1 时等号成立，故 x - y 的最小值为 4332.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017 届高三上学期期末）若实数 x, y 满足xy + 3x = 3(0 x 0, b 0, c 2 ，且 a + b = 2 ，则5ac + c - c +bab2c - 2的最小值为. 4x 【典例 2】（南京市 2015 届高三年级

4、第三次模拟12）已知 x，y 为正实数，则4xy y xy的最大值为 4xy 4x(x + y) + y(4x + y)4x2 + 8xy + y2解析：由于4xyxy=(4x + y)(x + y)= 4x2 + 5xy + y243xy332 4 x y + 5y x=1+ 4x2 + 5xy + y2 =1+ 4 x + y + 5 1+yx=3，x y当且仅当 4 = ，即 y=2x 时等号成立y x【典例 3】若正数 a 、b 满足 ab = a + b + 3 ,则 a + b 的最小值为.a + b 22解析：由 a, b r+ ,得 ab = a + b + 3 (2) , (

5、a + b) - 4(a + b) -12 0 ,解得a + b 6 (当且仅当 a = b 且 ab = a + b + 3 ,即 a = b = 3 时,取等号).变式：1.若 a, b r+ ,且满足 a2 + b2 = a + b ,则 a + b 的最大值为.2222(a + b)22解析：因为 a, b r+ ,所以由 a + b = a + b a + b = a + b , (a + b) -22(a + b) 0 ,解得0 0, y 0 ， x + 2 y + 2xy = 8 ，则 x + 2 y 的最小值为43.设 x, y r ， 4x 2 + y 2 + xy = 1，

6、则2x + y 的最大值为2 105ab4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017 届高三上学期期中）已知正数 a ， b 满足 1 + 9 =- 5 ，则 ab 的最小值为ab【题型二】含条件的最值求法【典例 4】（苏州市 2017 届高三上期末调研测试）已知正数 x, y 满足 x + y = 1 ，则4+x + 21y + 1的最小值为11练习 1（江苏省镇江市高三数学期末14）已知正数 x, y 满足+ = 1 ， 则xy4x +x - 19 yy - 1的最小值为.11解析：对于正数 x，y，由于 + =1，则知 x1，y1，那么xy4x4 y4x4 y114x4 yx -1

7、y -1 + =（ + ）（1+1 ）=（ + ）（ + ）（x -1y -1x -1y -1xyx -1y -1xyy - 1y4 y y - 1 4x x - 1x - 1x4xy -14 yx -1+）2=25，当且仅当=时等号成x -1yy -1x立2.（20132014 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）11）已知正数 x, y 满足x + 2 y = 2 ，则 x + 8 y 的最小值为x 8 y2 yxxy解析：x + 8 y= 1 + 8 = 1 x + 2 y = x +1+ 4 + 8 y 5 + 2= 9 ，当且仅当+ 8 xy y x yx 22 y x x =

8、8 y 时，取等号故答案为：92 yx3（南通市 2015 届高三第一次调研测试12）已知函数 y = ax + b(b 0) 的图像经过点41p(1, 3) ，如下图所示，则 a -1 + b 的最小值为.解析：由题可得 a+b=3，且 a1，那么4+ 1 = 1 （a1+b）（ 4+ 1 ）= 1 （4+ a - 1b2a - 1b2a - 1 +4b +1） 1 （2+5）= 9 ，当且仅当 a - 1 = 4b时等号成立a - 1 4bba -1ba - 122ba -14（江苏省苏北四市 2015 届高三第一次模拟考试12）己知 a，b 为正数，且直线ax + by - 6 = 0

9、与直线2x + (b - 3) y + 5 = 0 互相平行，则 2a+3b 的最小值为 ab-【解析】由于直线 ax+by6=0 与直线 2x+（b3）y+5=0 互相平行，则有=，即2b33a + 2b3a+2b=ab，那么 2a+3b=（2a+3b）ab326a6b=（2a+3b）（ b + a ）= b + a+1326a 6b ba+13=25，当且仅当 6a = 6b ，即 a=b 时等号成立baa2b15. 常数 a，b 和正变量 x，y 满足 ab 16，x y 2.若 x2y 的最小值为 64，则ab.2答案：64；(考查基本不等式的应用).6. 已知正实数 a, b 满足答

10、案： 2 - 2 231(2a + b)b+ (2b + a)a= 1 ，则ab 的最大值为【题型三】代入消元法【典例 5】（苏州市 2016 届高三调研测试14）已知 ab = 1 ， a, b (0,1) ，则411 - a+ 2 的1 - b最小值为解析：由 ab = 1 得 a = 1，44b124b2-4b2 + 12b - 27b -1 +=+= 1 +1 - a1 - b4b -1 1 - b-4b2 + 5b -1-4b2 + 5b -1令 7b -1 = t7b -1+2则1-4b + 5b -1 = 1 +-4t49t2 + 27t -18= 1 -494t + 18 -

11、27 t 4 + 4 2 3 当且仅当t = 3 2即 3 2 + 2等号成立214练习 1（江苏省扬州市 2015 届高三上学期期末12）设实数 x，y 满足 x22xy10，则 x2y2 的最小值是1- x2(1- x2 )2511解析：由 x22xy10 可得 y=，那么 x2y2=x2=x2+22x4x244x225 x2 144x2 1 =5 1 ，当且仅当 5 x2= 1 ，即 x4= 1 时等号成立22244x252（苏州市 2014 届高三调研测试13）已知正实数 x，y 满足，则 x + y 的最小值为解析：正实数 x，y 满足 xy+2x+y=4，（0x2）x+y=x+=（

12、x+1）+3，当且仅当时取等号x+y 的最小值为故答案为：3（南通市 2014 届高三第三次调研测试9）已知正实数 x, y 满足(x - 1)( y + 1) = 16 ，则x + y 的最小值为解析：正实数 x，y 满足（x1）（y+1）=16， x=16y + 1+ 1，x+y=16y + 1+ y + 1 2= 8 ，当且仅当 y=3，（x=5）时取等号x+y 的最小值为(y + 1) 16y + 148故答案为：84.（扬州市 2017 届高三上学期期中）若 a 0, b 2 ，且 a + b = 3 ，则使得+a1取b - 2得最小值的实数a =。5. 设实数 x、y 满足 x 2

13、 2xy10，则 xy 的取值范围是 6. 已知 x, y, z r ，且 x + y + z = 1， x 2 + y 2 + z 2 = 3 ，求 xyz 的最大值为 【题型四】换元法【典例 6】（南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试13）已知函数 f(x)ax2xb(a，b 均为正数)，不等式 f(x)0 的解集记为 p，集合11qx|2tx2t若对于任意正数 t，pq，则ab的最大值是 ， 令【解析】由题意可知任意正数 t，集合 qx|2tx2t，构成的集合qt 的交集为-2，即 f (-2)= 4a - 2 - b = 0, b = 4a - 2 ， 1 - 1 = 1

14、 -1= 3a - 2aba4a - 24a2 - 2a3a - 2 = u ， 1 - 1 =9u=9 9 = 1 ，当且仅当u = 1 ，等号成ab4u2 +10u + 44u + 4 +10182u立， a = 1, 或 a =1 （舍） b 0, 故 a 1111 则ab的最大值是2322（2016 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14）已知正数a，b，c 满足 b+ca，则+的最小值为解法一：正数 a，b，c 满足 b+ca，+=（+）+=+当且仅当=时取等号 故答案为：解法二：由b + c a 得 b +1 a ，令 b = x ， a = y ，则 x +1 y

15、，ccccb +c= x +1，所以ca + bx + y122b +c= x +1 x +1= 1 (2x +1)+1- 1 2- 1 =- 1 ，当且ca + bx + y2x +122x +12222 -12仅当 x =时等号成立故 b+c的最小值为- 1 2ca + b2练习 1（江苏省南京市 2016 届高三第三次模拟14）若实数 x，y 满足 2x2xyy21，x - 2 y则 5x2 - 2xy + 2 y2 的最大值为t解析：由 2x2xyy21 可得， (2x - y )(x + y )=1 ， 令2x - y = t ，则 x + y = 1 ，1 11 2 t - 1t

16、- 1 = mx =t +得3， y =t-t +3 ，代入 5x2x - 2 y- 2xy +2 y2t ，令，则t 21tm1m +t - 1t + t 2= t t 2 + 1t 2 m m2 + 2m2 + 2 =2 ，当且仅当 m =时取等号，故224mx - 2 y25x2 - 2xy + 2 y2 的最大值为 4 +x22设 x, y 是正实数,且 x + y = 1 ,则 x + 2解:设 x + 2 = s , y +1 = t ,则 s + t = 4 ,y2y +1 的最小值是.x2 + y2(s -2)2(t -1)2 = (s - 4 + 4) + (t - 2 +

17、1所以x + 2y +1 =+tst )s= (s + t) + ( 4 + 1) - 6 = ( 4 + 1) - 2 .stst因为 4 + 1 = 1 ( 4 + 1)(s + t) = 1 ( 4t + s + 5) 9st4 st4 st4所 以 x2+ y2 1x + 2y +14 .2x2y3.若实数 x，y 满足 2x2xyy21，则5x22xy2y2的最大值为 44（江苏省苏、锡、常、镇 2016 届高三数学教学情况调查数学试题（一）14）若实数满足，则当取得最大值时， 的值为 5.解析：当时， 取最大值 8，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例 7】南通市 201

18、5 届高三第三次调研测试 14已知正实数 x，y 满足x + 2 + 3y + 4 = 10 ，则 xy 的取值范围为xy【解析】设，则，代入得：，由，解得，即 xy 的取值范围为.练习 1.（泰州市 2016 届高三第一次模拟13）若正实数满足，则的最大值为【解析】令，则，因此，当时，因此的最大值为2. 设 x, y r ， 3x 2+ y 22011+ xy = 1， 则2x + y 的最大值为 变式 1（江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研（二）数学试题14）在平面直角坐标系 xoy 中，设点 a(1， 0) ， b(0 ， 1) ， c(a ， b) ， d(c ， d )

19、 ，若不等式uuur 2cduuur uuuruuur uuuruuur uur (m - 2)oc od + m(oc ob) (od oa) 对任意实数 a ， b cd 都成立，则实数 m 的最大值是解析：由题意得： (a - c)2 + (b - d )2 (m - 2)(ac + bd ) + mbc ，a2 +c2 + b2 +d 2 m(ac + bd + bc)a2 - (mc)a+(c2 + b2 +d 2 - mbd - mbc) 0 对任意实数 a 都成立，因此d = (mc)2 - 4(c2 + b2 +d 2 - mbd - mbc) 0 ，即4d 2 - 4mbd

20、+ 4(c2 + b2 - mbc) - (mc)2 0 对任意实数 d都成立，即d1= (4mb)2 - 4 4(4c2 + 4b2 - 4mbc - m2c2 ) 0，(m2 - 4)b2 + 4mbc - 4c2 + m2c2 0 对任意实数 b 都成立，即m2 - 4 01） f (x) 0 对 x r 恒成立 d 0a 02） f (x) 0 对 x r 恒成立d 0 .分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1） f (x) 2） f (x) g(a)(a为参数）恒成

21、立 g(a) 0 ，即b 2 4ac - 4a 2 ，故b 24ac - 4a 24 c - 4=a= c4 a - 1=44222 2 + 2 a 2 + c 2 a 2 + c 2 c c c c1 + - 1 + 2 - 1 + 2- 2 a a22= 2- 2 ，故答案为： 2- 2 a a1 + c - 1 + 2a【题型六】分离参数法【典例 8】（2013-2014 学年江苏省镇江市高三（上）期末14）已知 x0，y0，若不等式 x3+y3kxy（x+y）恒成立，则实数 k 的最大值为解析x0，y0，不等式 x3+y3kxy（x+y）可化为，x2xy+y2kxy，即，由基本不等式得

22、， ，k21=1，实数 k 的最大值为 1，故答案为：1 练习 1（江苏省苏北三市 2016 届最后一次模拟3）已知对满足 x + y + 4 = 2xy 的任意正实数 x, y ，都有 x2 + 2xy + y2 - ax - ay +1 0 ，则实数a 的取值范围为.x2 + 2xy + y2 - ax - ay +1 0 a (x + y) +1解析：x + y + 4 = 2xy 2( x + y )2 x + y （4负舍）x + y ，而(x + y) +117 , +),2(-,17 数a 的取值范围为4 ，因此x + y4即实2若不等式 x22xya(x2y2)对于一切正数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值为 【解析】方法一：令 ytx，则 t0，代入不等式得 x22tx2a(x2t2x2)，消掉 x2 得12ta(1t2)，即 at22ta10 对 t0 恒成立，显然 a0，故只要 44a(a1)0，即a2a10，考虑到 a