(完整版)高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总——排列组合,推荐文档

1、高考资源网（），您身边的高考专家专题七排列、组合、二项式定理和概率一、选择题（每小题 6 分）1（01 全国）若(1xx2)1000 的展开式为 a0a1xa2x2a2000x2000， 则a0a3a6a9a1998 的值为()a.3333b 3666c.3999d.32001解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到 1 的单位根，用特殊值法取 （12）（2）， 则 1，10 令1，得310002000； 令，得01220002000；令，得020004000得310003（1998）19983999，选2（02 全国）已知两个实数集合 aa1,a2,a1

2、00与 bb1,b2,b50，若从 a 到b 的映射 f 使得 b 中每个元素都有原象，且 f(a1)f(a2)f(a100)则这样的映射共有（）1009910099（a）c50（b）c48（c）c49（d）c49解：不妨设 b1b2b50，将 a 中元素 a1,a2,a100 按顺序分为非空的 50 组。定义映射 f:ab，使第 i 组的元素在 f 之下的象都是 bi(i=1,2,50).易知这样的 f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射 f 的个数与 a 按足码顺序分为 50 组的分法数相等，而 a 的分法数为 c49 ，99 则这样的映射共有c4

3、9，故99 选 d。3（04 全国）设三位数 n = abc ，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 n 有（）欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。7a. 45 个b. 81 个c. 165 个d. 216 个解：a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即 a, b, c 1, 2,., 9。（1） 若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 n1 ，由于三位数中三个数码都相同， 所以， n = c1 = 9 。199a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211（2） 若构成等腰（非等边）三

4、角形，设这样的三位数的个数为 n2 ，由于三位数中只有 2 个不同数码。设为 a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有2c 2 。但当大数为底时，设 ab，必须满足b a 24 , 6 5 25 ，因此，当 n 5 时，n 次出现的点数之和大于2n 已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关。5 分（）设事件 an 为“第 n 关过关失败”，则对立事件 an 为“第 n 关过关成功”。第 n 关游戏中，基本事件总数为6n 个。第 1 关：事件 a1 所含基本事件数为 2（即出现点数为 1 和 2 这两种情况），过此关的概率为： p( a

5、 ) = 1- p( a ) = 1- 2 = 2 。1163第 2 关：事件 a2 所含基本事件数为方程 x + y = a 当 a 分别取 2，3，4 时的正整数解组数123之和。即有c1 + c1 + c1 = 1+ 2 + 3 = 6 （个）。6 = 5 。.10过此关的概率为： p( a2) = 1- p( a2) = 1- 626分第 3 关：事件 a3 所含基本事件为方程 x + y + z = a 当 a 分别取 3，4，5，6，7，8 时的正整数解组数之和。即有c 2 + c2 2 + 3c 2 + 4c 2 + 5c 2 + 6c 2 =71+ 3 + 6 +10 +15

6、+ 21 = 56 （个）。过此关的概率为： p( a ) = 1- p( a ) = 1- 56 = 20 。15336327分故连过前三关的概率为： p( a1) p( a2) p( a3) =。20 25201003627243分（说明：第 2，3 关的基本事件数也可以列举出来）16. （05 全国）将编号为 1,2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上， 每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 s.求使s 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点

7、上，每点放一个，相当于九个不同元8!素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种. 52分下求使 s 达到最小值的放法数：在圆周上，从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设 x1 , x2 ,l, xk 是依次排列于这段弧上的小球号码，则| 1 - x1 | + | x1 - x2 | +l+ | xk - 9 | (1 - x1 ) + (x1 - x2 ) +l + (xk - 9) |=| 1 - 9 |= 8.上式取等号当且仅当1 x1 x2 l xk 9 ，即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列.因此 s最小 = 2

8、8 = 1610 分由上知，当每个弧段上的球号1, x1, x2 ,l xk ,9 确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在 1,2，9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有c 0 + c1 + c 2 + c 3 = 26 种情况，每种情况对应着圆周上使7777s 值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是26 种，故所求概率 p = 268!2= 1 . 20315分。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn

9、to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of th