(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档

1、排列组合问题的常用方法总结 1知识内容1. 基本计数原理加法原理n = m1 + m2 +l + mn分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称加法原理乘法原理n = m1 m2 l mn分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第二个步骤有 m2 种不同方法，做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称乘法原理加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独

2、立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2. 排列与组合排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m(m n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从mn 个不同元素中取出个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素）mm(m n)amn表示am = n(n - 1)(n - 2)l(n - m + 1)n排列数：从

3、 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出排列数公式：， m， n n+，并且 m n n!n全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用m(m n)m(m n)组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合表示规定： 0! = 1 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个m!cmn = n(n - 1)(n - 2)l(n - m + 1) =ncmm组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号表

4、示元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，组合数公式：， m, n n!m!(n - m)!n+，并且 m n 1 / 20组合数的两个性质：性质 1： cm = cn-m ；性质 2： cm = cm + cm-1 （规定 c0 = 1 ）nn排列组合综合问题n+1nnn解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1. 特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2. 分类分步法：对于较复杂

5、的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏3. 排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4. 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列5. 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空m(m n)6. 插板法： n 个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题把 n 个元素排成一排，n-1从 n - 1 个空中选 m - 1 个空，各插一个隔板，有 cm-1 7. 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般

6、地平均分成n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！8. 错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题1. 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满

7、足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2. 具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的

8、问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 典例分析直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例 1】 从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有 2 人参加，交通和礼仪各有1 人参加，则不同的选派方法共有【例 2】 北京财富全球论坛期间，某高校有14 名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班， 每班 4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为a c12c4 c414 12 8b c12a4 a414 12 8c12c4 c414 12 8 a33dc12c4 c4a314 1

9、2 8 3c【例 3】 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5 个点，y轴正半轴有3 个点，将x 轴上这 5 个点和y轴上这 3 个点连成15 条线段，这15 条线段在第一象限内的交点最多有（）a 30 个d 15 个b 35 个c 20 个【例 4】 一个口袋内有4 个不同的红球，6 个不同的白球，从中任取4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 5】 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和1 个黑球从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？从口袋内取出 3 个球，使其中含有1 个黑球

10、，有多少种取法？3 / 20从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例 6】 有12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷， 4 人只会划右舷，其余 5 人既会划左舷也会划右舷从这12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？，【例 7】 若 x a ，则 1 a ，就称 a 是伙伴关系集合，集合 m = -1，0 1 1 1，2，3 4 的所有非空x3 2a 15b 16c 28d 25子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）【例 8】 从 6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为ac

11、3 c264b c2 c364c c510d a3 a264【例 9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 3 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种【例 10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 7 步走完，则上楼梯的方法有种5【例 11】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例 12】设含有10 个元素的集合的全部子集数为 s

12、，其中由 3 个元素组成的子集数为t ，则st的值为（）12821128161281512820a. bcd5 / 20【例 13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过 5 次跳动质点落在点(1，0) （允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 【例 14】从10 名男同学， 6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）ob【例 15】在aob 的边 oa 上有 a1 ，a，2 ，a3a4 四点，边上有 b1 ，b，2 ，b3， b4b5 共 9 个点，a 60b 80c

13、 120d 160连结线段 ai bj (1 i ，41 j5) ，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”， 和睦线的对数共有：（ ）【例 16】从 7 名男生 5 名女生中，选出 5 人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ a 、 b 必须当选； a 、 b 都不当选； a 、 b 不全当选； 至少有 2 名女生当选；选出 5 名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任【例 17】甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有1 名女同学

14、的不同选法共有（）a 150 种b 180 种c 300 种d 345 种【例 18】从10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）a 85b 56c 49d 28【例 19】某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（）a 14b 24c 28d 487 / 20【例 20】要从10 个人中选出 4 个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例 21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须

15、停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例 22】某班 5 位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（）a288 种b72 种c42 种d36 种【例 23】某班有 30 名男生， 30 名女生，现要从中选出 5 人组成一个宣传小组，其中男、女学生30 2030 20c3 c2 + c2 c3503020c5 - c5 - c5均不少于 2 人的选法为（）30 20 46c2 c2 c1ab5030 2030 20c5 - c1 c4 - c4 c1cd【例 24】用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字

16、组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个数字 1 不排在个位和千位数字 1 不在个位，数字 6 不在千位【例 25】甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析， 5 人的名次排列共有 （用数字作答）种不同情 况【例 26】某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有 5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）a 45种b 56 种c 90 种d1

17、20种【例 27】用 5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）a 120b 72c 48d 36）b 48 种【例 28】某电视台连续播放 5 个不同的广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（a 120 种c 36 种d 18 种【例 29】从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）

18、9 / 20【例 30】从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至少有a108 种b 186 种c 216 种d 270 种1 名女生，则选派方案共有（）【例 31】甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）a 150 种b 180 种c 300 种d 345 种【例 32】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）a 48 个b 36 个c 24 个d 18 个【例 33】用数字

19、1,2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（）【例 34】 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人，则不同的安排方案共有（ ）a 24 种b 36 种c 48 种d 72 种【例 35】2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （）a36b42c 48d60【例 36】从 6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5

20、名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为ac3 c264b c2 c364c c510d a3 a264【例 37】7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）an = 1, 2 , 3, l, n【例 38】给定集合，映射 f : an an满足： 当 i , j an , i j 时 ， f (i) f ( j) ；fm anf：an an任取，若 m 2 ，则有 m f (1), f (2), l,f (m) 则称映射射”是一个“优映射”例如：用表 1 表示的映射表 1： a3 a3 是一个“优映i123f (i)

21、231表 2i1234f (i)3ffa4 a4已知表 2 表示的映射 ： 件的映射）；是一个优映射，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条若映射： a10 a10 是“优映射”，且方程 f (i) = i 的解恰有 6 个，则这样的“优映射”的个11 / 20数是i1234f (i)2314【例 39】将 7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有种【例 40】将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）a10 种b2

22、0 种c36 种d52 种【例 41】一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，4从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 42】正整数 a1a2 lan la2n-2a2n-1(n n ，n 1) 称为凹数，如果 a1 a2 l an ，且a1a2 a3 (a1 a3 )a2n-1 a2n-2 l an，其中 ai 0 ，1，2，l，9，(i = 1 2共有 个（用数字作答）l) ，请回答三位凹数【例 43】2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王

23、五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）a 36 种b 12 种c 18 种d 48 种【例 44】 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种（用数字作答）【例 45】 某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张为不同花色的 a，有 5 次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例 46】从 7

24、人中选派 5 人到 10 个不同交通岗的 5 个中参加交通协管工作，则不同的选派方法 有 （ ）a c5 a5 a5 种7 10 5b a5c5 p5 种7 10 5cc5 c5 种10 7d c5 a57 10【例 47】12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（）c4 c4c4a c4 c4c4 种b3 c4 c4c4 种 c c4 c4a3 种d 12 8 4a种12 8 412 8 412 8 333【例 48】袋中装有分别编号为1, 2, 3, 4 的 4 个白球和 4 个黑球，从中取出 3 个球，则取出球的编号互不相同的取法有（）a

25、 24 种b 28 种c 32 种d 36 种【例 49】现有男、女学生共8 人，从男生中选 2 人，从女生中选1 人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 90 种不同方案，那么男、女生人数分别是（）a. 男生 2 人，女生 6 人b男生 3 人，女生 5 人c男生 5 人，女生 3 人d男生 6 人，女生 2 人【例 50】将 4 个小球任意放入 3 个不同的盒子中，13 / 204若 个小球各不相同，共有多少种放法？若要求每个盒子都不空，且 4 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？若要求每个盒子都不空，且 4 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例 51】将 7 个小球任意放入 4

26、 个不同的盒子中，每个盒子都不空，若 7 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？若 7 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例 52】四个不同的小球，每球放入编号为1 、 2 、 3 、 4 的四个盒子中 随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ 四个盒都不空的放法有多少种？ 恰有一个空盒的放法有多少种？ 恰有两个空盒的放法有多少种？ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例 53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1 个单位， 若经过 5 次跳动质点落在点(3，0) 处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共 种；若

27、经过 m 次跳动质点落在点(n ，0) 处（允许重复过此点），其中 m n ，且 m - n 为偶数，则质点不同的运动方法共有种【例 54】设集合 i = 1，2，3，4 5 ，选择 i 的两个非空子集 a 和 b ，要使 b 中最小的数大于 a 中最大的数，则不同的选择方法共有（）a50 种b49 种c48 种d47 种【例 55】是集合 m = 1，2，3， 4 到集合的映射，g 是集合 n 到集合 m 的映射，ff则不同的映射的个数是多少？有多少？满足的映射 f有多f (a) + f (b) + f (c) + f (d ) = 8n = 1，2，3g少？满足f g(x) = x 的映射

28、对( f ，g) 有多少？【例 56】排球单循坏赛，胜者得1 分，负者 0 分，南方球队比北方球队多 9 支，南方球队总得分是北方球队的 9 倍，x设北方的球队数为 x = 6试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；证明：或 x = 8 ；证明：冠军是一支南方球队【例 57】已知集合 a = 1,2 , 3, 4，函数 f (x) 的定义域、值域都是 a ，且对于任意 i a, f (i) i 设 a1 , a2 , a3 , a4 是1, 2 , 3, 4 的任意的一个排列，定义数表 a1a2a3a4 ， f (a1) f (a )2 f (a )3f (a ) 4 若两个数表的对

29、应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同a 216b 108c 48d 24的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（）15 / 20间接法（直接求解类别比较大时）【例 58】有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？a 36b 48c 52d 54【例 59】从 0 , 2 , 4 中取一个数字，从1 , 3 , 5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）【例 60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成个不同的三棱锥【例 61】设集合合 a = a1 ,

30、a2 , a3 是s 的子集，且 a1 , a2 , a3 满足a 78a1 a2 a3s = 1, 2 , 3 , l , 9，集， a3 - a2 6 ，那么满足条件的子集 a 的个数为（）c 84d 83b.76【例 62】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）a 18b 24c 30d 36【例 63】某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有 5 名男生， 3 名女生，现从中选 3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）a 45 种b 56 种c

31、 90 种d 120 种【例 64】 对于各数互不相等的正数数组(i1 , i2 , , in )（ n 是不小于 2 的正整数），如果在p q 时有ip iq，则称“ ip 与 iq ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组 (2 , 4 , 3 , 1)中有顺序“ 2 , 4 ”，“2 , 3 ”，其“顺序数”等于 2 若各数互不相等的正数数组(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 )的“顺序数”是 4 ，则(a5 , a4 , a3 , a2 , a1 )的“顺序数”是a 33b 34c 35d 36【例 65】已知集合 a = 5

32、， b = 1，2 ， c = 1，3，4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）【例 66】甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）17 / 20【例 67】设有编号为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的五个球和编号为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的五个盒子，现将这五个球放入 5 个盒子内，只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号

33、是相同的，有多少种投放方法？【例 68】在排成 4 4 的方阵的16 个点中，中心 4 个点在某一个圆内，其余12 个点在圆外，在16 个点中任选 3 个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（）a 312 个b 328 个c 340 个d 264 个【例 69】从甲、乙等10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1 人参加，则不同的挑选方法共有（）a 70 种b 112 种c 140 种d 168 种ax + by = 1【例 70】若关于 x ，y的方程组 x2 + y2 = 17 有解，且所有解都是整数，则有序数对(a ，b)的数目a 36b 16c 24d

34、 32为（）【例 71】从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都a 70 种b 80 种c 100 种d140 种有，则不同的组队方案共有（）【例 72】甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（）a 6 种b 12 种c 30 种d 36 种【例 73】a = 1，2，l， 9，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的 a 的子集个数为 【例 74】在由数字 0，1，2，3，4 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有个【例 75】在aob 的 oa 边上取 4 个点，在 ob 边上取 5 个点（均除 o 点外），连同 o 点共10 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例 76】a ，b，c，