二阶线性常微分方程地幂级数解法

1、实用文案标准文档二阶线性常微分方程的幕级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幕级数来表示 一个函数。因此，自然想到，能否用幕级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 y xy 0的通解 解解设 y ao aiX a2X2 anXn 为方程的解，这里ai(i 0,1,2,n，)是待定常系数，将它对x微分两次， 有y 2 1a23 2a3X L n(n 1)anXn 2 (n 1)nan ixn 1 L将y , y的表达式代入方程，并比较的同次幕的系数，得到 这个幕级数的收敛半径是无限大的， 因而级数的和(其中包括两个任 意常数ao及aj便是所要求的通解。x 2 1a2 0 , 3

2、2a30,4 3印 印 0,5 4a5a20,L或一般的可推得a3kao2 3 5 6 L (3k 1) 3k a3k 1a13 4 6 7 L 3k (3k 1)a3k 2其中a1 , a2是任意的，因而代入设的解中可得:3xya1 -2 33nX2 3 5 6 L (3n 1) 3n L 也 3 43 4 6 7 L 3n (3n 1)例6求方程y 2xy 4y 0的满足初值条件y(0)0及y(0)1的解设级数 y ao aiX a2x2anxn为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到ao 0, ai 1 ,因而23|n .y x a2x a3xLa“xLy 1 2a2x 3a3x2 L

3、nanxn 1 Ln 2y2a2 3 2a3x L n(n 1)anxL将y , y, y的表达式带入原方程，合并x的各同次幕的项，并令各项系数等于零，得到a20,a1,a40,L ,ann 1an2，L因而111c1 ,a5, ae0,a7,a80,a9,L2!63!4!最后得111a2k 1,a2k0,k(k 1)!k!对一切正整数k成立。将 ai (i 0,1,2,L)的值代回 y a。a a2X2nanX就得到2!2k 1xk!42 x .x(1 xL2!2kk!xex2这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幕级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它

4、的解可用幕级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何？这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识,在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程,可参考有关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程雪 p(x)dxq(x)y o及初值条件y(Xo) yo及y (Xo) y的情况。不失一般性，可设 xo 0，否则，我们引进新变量tx xo，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于 xxo的就是to 0 了，因此，今后我们总认为Xo o。定理io 若方程 孕 p(x)dy q(x)ydxdx0中系数p(x)和q(x)都能展成x的幕级数，且收敛区间为|x|

5、R，则方程驚 p(x)乎 q(x)y odxdx有形如ny a“xn o的特解，也以|x| R为级数的收敛区间。在上两例中方程显然满足定理的条件， 系数x， 2x和4可看作是在全数轴上收敛的幕级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n阶贝赛尔方程xdx(x2n2)y 0这里n为非负常数，不一定是正整数，(喚 p(x)dy q(x)y 0)dxdx1， q(x) 1再，显然它不满足定理xx10的条件，因而不能肯定有形如ynn 0anx的特解。但它满足下述定理11的条件，从在此p(x)而具有别种形状的幕级数解。定理11若方程密dxp(x)dy q(x)y 0中系数 p(x)，q(x)具有

6、这样的性质，即0，则方程器np(x)乎 dxq(x)y o有形如xp(x)和x2q(x)均能展成x的幕级数，且收敛区间为y x anxn 0anx的特解， 是一个特定的常数，级数y an 也以|x| Rn 0为收敛区间。若a。0,或更一般的，i 0(i 0,1,2L ,m 1)，但am0 ,则引入记号m , bkam k，则ny x anXn mmkam kXk 0xbkxkk 0这里boam 0，而仍为待定常数例7求解n阶贝赛尔方程2 d2ydx2xdy (x2 n2)y 0 dx解将方程改写成d2y 1 dy x2 n2n22 y 0dx x dx x易见，它满足定理11的条件(xp(x)

7、和x2q(x)均能展成x的幕级数，且 收敛区间为|x| R )，且xp x 1,x2q x x2 n2，按展成的幕级数收敛区间为 x ，由定理11，方程有形如a ky akXk 0的解，这里a00,而ak和a k是待定常数，将yakX代k 02 d ydy入.x 2 x 入：dx2dx(x2 n2)y0中，得x2(a k)(a kk 11&xa k 2x (ak)akXa k 1k 1z 22 a k(x n ) akX0k 0把x同幕次项归在一起，上式变为(k)(kk 01) ( k)2a ka k 2n akxakx0k 0令各项的系数等于0，得一系列的代数方程a2n20印(1)2n20a

8、k(k)2n2 ak 2 0k2,3,L2因为a00，故从aon20解得 的两个值先考虑 n时方程x (x2 n2)ydx解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数 n代入以上方程组，得到a oo的一个特ak。把ak 2k(2n k)，k 2,3L或按下标为奇数或偶数，我们分别有a2k 1a2k 12k 1 2n 2k 1a2ka2k 22k 2n 2kk 1,2 丄从而求得a2k i 0 k 1,2,La2a。22 1 n 1a4a024 2! n 1 n 2a6a。326 3! n 1 n 2 n 3般地a2ka。22k k! n 1k 1,2,L将ak各代入a akXk 0得到

9、方程2 d2ydx7dy 22.小x (x n )y 0 dx的一个解n%axk1a2k2 k!2k n 一x k既然是求X2乎xdydx(x2）y 0的特解,我们不妨令2n其中函数定义如下:当S0时，dx ；当 s0且非整数时，由1递推公式（s）-1定义。s具有性质s s ； n 1 n!n为正整数n而 y1aoXk1 a。22k k! n 1 n 2 L n2k nX 变为2k ny1ko k! n k注意到函数的性质,即有yiJn数,2kXo k! n k 12是由贝塞尔方程x2d4dx称为n阶贝赛尔函数。因此，对于得另一个与Jn、2 d2y时方程X 2dxY2的解,Jn Xxdy (x

10、2 n2)ydx0定义的特殊函n阶贝塞尔方程，它总有一个特解x线性无关的特解，我们自然想到,xdx(x2akxk 0我们注意到只要 nJn X为了求2、n )y 0的形如不为非负整数，像以上对于的求解过程一样，我们总可以求得a2kk 1,2 丄a2ka。2k2k! n1 n 2 L n k1,2丄使之满足aa(ak( kn21)2k)22,3,Ln2n2ak 20中的一系列方程，因y2ax2k n xk! n 1 n 2 L n kd2ydx2xdy (X2 dxn2)y0的一个特解。此时，若令ax2k nk 122k k! n 1 n 2 L n k x 变y2yiy21kXk 0 k! n

11、 k 12n X为阶贝赛尔函数朗贝尔2k n别法不难验证naxax2k n122k k! n 1 n 2 L n k Xk1 a。2kk 122k k! n 1 n 2 L n k Xy2ax1a02kk 122k k! n 1 n 2 L n k XX 0)都是收敛的，因此，当n不为非负整数时，Jn X和J n X2 d y dy / 22、n都是方程Xr X (x n )y 0的解，而且是线性无关的，因dX dX为它们可展为由X的不同幕次开始的级数，从而它们的比不可能是d2ydy常数。于是方程x7 XdX29(X n )y0的通解可写为这里q，c2是任意常数。此情形的Jn X和J n X称

12、为第一类贝塞尔函数。例8求方程x y xy4x2250的通解解引入新变量t2x，我们有dydy dt2dydxdt dxdtd2y dx2d dt2矽dtdt 4d2ydxdt2t2 d2y dt2tdy t2925将上述关系代入院方程，得到方程，由例7可知，方程t2 d2ydt2dtt29250的通解可表为y CJ3 t5c2J代回原来变量,就得到原方程的通解y CJ3 2x5c2J 3 2x5其中C1 , C2是任意常数。第二宇宙速度计算作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓 第二宇宙速度。在这个速度你下，物体将摆脱地球的引力，向地球一样 绕着太阳运行，成为人造卫星.让我

13、们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程 以M和m分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律，作用于物体的引力F （空实用文案气阻力忽略不计）为mMF k 2r这里r表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k为万有引力常数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程d2rd2rdt2kMr标准文档这里的负号表示物体的加速度是负的设地球半径为R（R 63 105m），体刚刚离开地球表面时，我们有r物理发射速度为vo，因此，当物r, dr Vo，即应取初值条件为dtdr当t 0时，r R，-Vo方程dtk耳不显含自变量t,应用431 （可降阶的一些方程类型） r的方法，把方程降阶成为一阶方程dvv -drkMr解得注意到这时初值条件为kM因而v2 kM v02 kM( )2 r 2 R2因为物体运动速度必须始终保持是正的，即-0 ,而随着r的不断增22 2 2大，量到变得任意小。因此，