(完整版)七年级一元一次不等式知识点及典型例题,推荐文档

1、一元一次不等式考点一、不等式的概念（3 分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知

2、数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。知识点与典型基础例题一 不等式的概念：例判断下列各式是否是一元一次不等式？考点二、不等式基本性质（35 分）-x52x-y02 x + 4 x + x = -22 + 5 31、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在

3、题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为 0，否则不等式不成立；3x考点三、一元一次不等式（6-8 分）35x二 不等式的解 ： 三 不等式的解集：例 判断下列说法是否正确，为什么？x=2 是不等式 x+32 的解。x=2 是不等式 3x7 的解。不等式 3x7 的解是 x2。x=3 是不等式 3x9 的解四 一元一次不等式：例 判断下列各式是否是一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）

4、去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项例 五不等式的基本性质问题2 x + x 22 + 5 （5） 将 x 项的系数化为 1考点四、一元一次不等式组（8 分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。例 1 指出下列各题中不等式的变形依据1）由 3a2 得 a 233）由-5a-5 1例 2 用”或0 得 a-74)由 4a3a+1 得 a13、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、5、一元一次不等式组的解法（1） 分别求出不等式组中各个不等式的解集（2） 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组如果 aa x75x-12x+5ab b acab c cbab d c+by，求 k 的范围。8-2(x+2)4x-23- x-1 2 + 3(x+1) x 2 x+3 - x-148题型一：求不等式的特殊解例） 求 x+36 的所有正整数解323如果关于 x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数，求 m 的范围。若|2a+3|2a+3,求 a 的范围。若（a+1）xa+1 的解是 x1,求 a 的范围。）求 10

6、-4（x-3）2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。2）求不等式 3- x + 1 0 的非负整数解。x +8p 4 x -1若 x f a的解集为，求的取值范围。已知关于 x 的方程 2 x-m = 2 x 的解是非负数，是正整数，求的值。33）设不等式只有个正整数解，求正整数题型二：不等式与方程的综和题例 关于的不等式的解集如图，求的取值范围。x +9p5 x +1不等式组 x f m +1的解集是，则的取值范围是？5 x+3 y=319 x - a 0如果 8 x -b p0 的整数解为、，求整数、的值。题型五 求最小值问题例 x 取什么值时，代数式 5 x+4 的值不小于 7

7、- 1- x 的值，并求出 x 的最小值。683若关于、的二元一次方程组 x+ y- p=0 的解是正整数，求整数的值。题型六不等式解法的变式应用例 根据下列数量关系，列不等式并求解 。x 的 1 与3x 的 2 倍的和是非负数。 c 与 4 的和的 30不大于-2。x 除以 2 的商加上 2，至多为 5。a 与 b 两数和的平方不可能大于 3。53例 取何值时，（）（）的值是非负数？ 例 取哪些非负整数时， 3x-2 的值不小于 2 x+ 与的差。题型七 解不定方程例 求方程的正整数解。x - 2 a已知 x -3a -2 无解，求的取值范围。题型八 比较两个代数式值的大小例 已知，求与，与

8、的大小关系题型九 不等式组解的分类讨论ax-4.p.8-3ax例 解关于的不等式组 (a+2) x-2.f.2(1-a) x+48、常见题型一、选择题若，则的大小关系为（）a1m3bm3cmdm答案：a已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值abcd不能确定不等式x50 的解集在数轴上表示正确的是答（案 ：a）在平面直角坐标系中，若点p(m3，m1)在第二象限，则m 的取值范围为( )a、 b、 c、 d、把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）答案：c不等式的解集是（） 答案：c 若不等式组有实数解，则实数的取值范围是（）a. bcd答案：a范围是（）abc d答案：d四个

9、小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 p、q、r、s，如图 3 所示，则他们的体重大小关系是（d ）答案：b不等式 的正整数解有()（a）1 个（b）2 个（c）3 个（d）4 个答案：c 把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（）a. bcd 答案：b不等式组，的解集是（ ）a b c d无解答案：c不等式组的解集在数轴上可表示为（）aacbbbaccabcdcab答案：c不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）答案：c把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图 3 中的（）a. bcd 答案：b用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么答案：

10、dabcd这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）实数 在数轴上对应的点如图所示，则 ， 的大小关系正确的是（）a b c d 答案：d如图，a、b、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）答案：a不等式组的解集在数轴上可表示为（）答案：a在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）答案：a二、填空题已知 3x+46+2(x-2),则 的最小值等于.答案：1如图，已知函数和的图象交点为 ，则不等式 的解集为答案：不等式组的解集为 答案： 不等式组的整数解的个数为答案：46.已知关于 的不等式组 的整数解共有 3 个，则 的取值范围是 答案： 9. 不等式组的解集是

11、 答案： 10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的不等式的解集为答案： -113.已知不等式组 的解集为1x2，则(mn)2008答案：1三、简答题解不等式组解：解不等式（1），得 解不等式（2），得原不等式组的解是解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.解：解不等式 x+10,得 x-1解不等式 x ，得 x2不等式得解集为-1x2该不等式组的最大整数解是 2若不等式组 的整数解是关于 x 的方程的根，求 a 的值。解：解不等式得，则整数解 x=-2 代入方程得 a=4。解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 1 和2 的距离之和为 5 的点对应的 x

12、 的值。在数轴上，1 和2 的距离为 3，满足方程的x 对应点在 1 的右边或2 的左边，若 x 对应点在 1 的右边，由图（17）可以看出x2；同理，若 x 对应点在2 的左边，可得 x3，故原方程的解是 x=2 或 x=3参考阅读材料，解答下列问题：（1） 方程的解为 （2） 解不等式9；（3） 若a 对任意的 x 都成立，求 a 的取值范围解：（1）1 或（2） 和的距离为 7， 因此，满足不等式的解对应的点 3 与的两侧当 在 3 的右边时，如图（2），易知 当 在的左边时，如图（2）， 易知 原不等式的解为 或 （3） 原问题转化为：大于或等于最大值当 时， ，当， 随 的增大而减小

13、，当 时， ， 即的最大值为 7 故解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.解：的解集是： 的解集是：所以原不等式的解集是： （3 分） 解集表示如图（5 分）解不等式组解：由不等式（1）得： 5 由不等式（2）得： 3 所以：5x3解不等式组： 并判断 是否满足该不等式组解：原不等式组的解集是：， 满足该不等式组解不等式 3x-27,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解解：3x-27 3x7+23x9x a +1 的解集是 x 1，则 a 必须满足 x 4,解不等式组并求出所有整数解的和3、若不等式组x a的解集是 4 x a ，则 a 的取值范围是解：解不等式，得 ， 解不等式，得 原

14、不等式组的解集是则原不等式组的整数解是4、若 0 a 1，则 a 2 、 1 、 a 之间的大小关系是a5、如果一元一次方程 2x - 5k = x + 4 的解是正数，那么 k 的取值范围是6、如图，直线 y = kx + b 经过点 a(-1，- 2) 和点 b(-2，0) ，直线 y = 2x 过点 a，则不等式 2x kx + b 0 的解集为（）所有整数解的和是：a x -2-1 x 0b -2 x -1c -2 x -5 的解集如图所示，则 m 的值为（）a, 1b, 0c, -1d, 34、x 是哪些非负整数时，3x -的2值不小于2与x 1+的1差5x + 2 y = 15的解

15、 x 、 y 的值都不大于 1，求2、不等式 2x+1 0的整数解共有 3 个，则 a 的取值范围是多少？1 - x 06、不等式组x - a 0的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是3 - 2x -13x + y = 2k,x 1k4、若方程组 y - x = 3的解满足，求整数 的取值范围。5、若不等式组 无解，求 a 的取值范围.2ax - 6 a7、用若干辆载重为 8 吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装 5 吨，则剩下 10 吨货物，若每辆车装满 8 吨，则最后一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车？8、某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动，行李共 100 件，学校计划租用甲

16、乙两种型号的汽车共 8 辆，经了解，甲种汽车每辆最多载 40 人和 10 件行李；乙种汽车每辆最多载 30 人和 20 件行李。6、 已知不等式组6x - 5 b，那么 acbc【点评】分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；在数轴上表示不等式的解集，当解集是 x时，不包括数轴上a 这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是 xa 或xa 时，包括数轴上 a 这一点，则这一点用黑圆点表示； 解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握性质 2：不等式两边乘以（或除以）同一个

17、正数，不等号的方向不变，即如果例 2 若实数 ab，c0，那么 acbc（或b33 ）ccapnmbmnpcnpmdmpn性质 3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们aab，c0，那么 ac ）c可以用特值法，取 a1 内的任意值即可；其二， 用作差法和不等式的传递性可得 m，n，p 的关系不等式的其他性质：若 ab，则 bb，bc，则 ac；若 ab，且4【解答】方法一：取 a=2，则 m=2，n=3方法二：由 a1 知 a-105，p=3，由此知 mpn，应选 d解得 x2 又 x00x2

18、整数 x=0，1，2又 m-p=a-2a +1=3a -1 30，mp；可得三种购买方案：方案一：购买乙种机器 6 台；p-n=2a +1-3a + 2=3a -130，pn方案二：购买甲种机器 1 台，乙种机器 5 台；方案三：购买甲种机器 2 台，乙种机器 4 台mpn，应选 d【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定如，当 a1 时，a 与 2a-2 的大小关系不确定，当 1a2a-2；当 a=2 时，a=2a-2；当 a2 时，a0 的解集是 x2，则不等式-3x+n0，x3即 n=6n，=23【点评】部分实际问题的解通常为整数；方案的各种情况可以用表格的形式表达例 5 某童装加工

19、企业今年五月份， 工人每人平均加工童装 150 套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的 60%为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计代入-3x+n0 得：-3x+62甲乙价格/（万元/台）75每台日产量/个10060例 4 某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞 现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示经过预算， 本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元划从六月份起进行工资改革 改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200 元；另一部分为每加工 1 套童装奖励若干元（1） 为了保证所有工人的每月工资

20、收入不低于市有关部门规定的最低工资标准 450 元， 按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工 1 套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？（1） 按该公司要求可以有几种购买方案？（2） 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不低于 380 个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【解析】（1）可设购买甲种机器 x 台，然后用 x 表示出购买甲， 乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过 24 万元”列不等式求解（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于 380 个”与“节约资金”两个条件选择购买方案解（1）设购买甲种机器 x 台，则购买乙种机器（6-x

21、）台，则7x+5（6-x）34（2）根据经营情况，企业决定每加工 1 套童装奖励 5 元 工人小张争取六月份工资不少于 1200 元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【分析】（1）五月份工人加工的最少套数为 15060%，若设平均每套奖励 x 元，则该工人的新工资为（200+15060%x），由题意得 200+15060%x450；（2）六月份的工资由基本工资 200 元和奖励工资两部分组成， 若设小张六月份加工了y 套，则依题意可得 200+5y1200【解答】（1）设企业每套奖励 x 元，由题意得：200+60%150x450 解得：x2.78因此，该企业每套至少应奖励 2.78 元；

22、（2）设小张在六月份加工 y 套，由题意得：200+5y1200， 解得 y200【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键14如果不等式2x +13+1ax -1 35的解集是 x3，则 a 的取值范围是（ ） 强化训练一、填空题1若不等式 ax1，则 a 的取值范围是1aa5ba=5ca-5da=-515. 关于 x 的不等式 2x-a-1 的解集如图所示，则 a 的取值是（ ）0.70 元，一张彩色底片 0.68 元，a0b-3c-2d-116. 初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交2不等式 x+32x

23、的负整数解是扩印一张照片 0.50 元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下， 这张照片上的同学3不等式 5x-93（x+1）的解集是4不等式 4（x+1）6x-3 的正整数解为5已知 3x+46+2（x-2），则x+1的最小值等于 6. 若不等式 a（x-1）x-2a+1 的解集为 xrsqbqspr cspqrdsprq8. 小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 2 元， 每支钢笔 5 元， 那么小明最多能买支钢笔9. 某商品的进价是 500 元，标价为 750 元，商店要求以利润不低于 5%的售价打折出售， 售货员最低可以打折出售此商品10. 有 10 名

24、菜农，每个可种甲种蔬菜 3 亩或乙种蔬菜 2 亩， 已知甲种蔬菜每亩可收入0.5 万元，乙种蔬菜每亩可收入 0.8 万元，若要总收入不低于 15.6 万元， 则最多只能安排人种甲种蔬菜二、选择题11. 不等式-x-50 的解集在数轴上表示正确的是（ ）18某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：12618校级323市级三好学生优秀团员优秀学生干部已知该班共有 28 人获得奖励，其中只获得两项奖励的有 13 人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为（ ）a3 项b4 项c5 项d6 项三 、 解 答 题19解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来3x - 4 2x -1 ；（2

25、）x-3 3x -5 （1）634abcd12如图所示，o 是原点，实数 a，b，c 在数轴上对应的点分别为 a，b，c，则下列结论错误的是（ ）aa-b0bab0ca+b0 13如图所示，一次函数 y=kx+b 的图象经过 a，b 两点，则不等式kx+b0 的解集是（ ）ax0bx2cx-3d-3x300）（1） 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2） 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由22. 福林制衣厂现有 24 名制作服装工人， 每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫 3 件或裤子 5 条（1） 若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安

26、排制作衬衫和裤子各多少人？（2） 已知制作一件衬衫可获得利润 30 元，制作一条裤子可获得利润 16 元， 若该厂要求每天获得利润不少于 2100 元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？23. 某零件制造车间有工人 20 名， 已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5个，且每制造一个甲种零件可获利 150 元， 每制造一个乙种零件可获利 260 元，在这20 名工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件， 其余工人制造乙种零件（1） 请写出此车间每天所获利润 y（元）与 x（人）之间的关系式；（2） 若要使每天所获利润不低于 24000 元， 你认为至少要派多少名工人去制造乙种零

27、件才合适？24. 足球比赛的记分规则为：胜 1 场得 3 分，平 1 场得 1 分，负 1 场得 0 分，一支足球队在某个赛季中共需比赛 14 场，现已比赛 8 场，负了 1 场，得 17 分，请问：（1） 前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？（2） 这支球队打满了 14 场比赛，最高能得多少分？（3） 通过对比赛情况的分析，这支球队打满 14 场比赛得分不低于 29 分， 就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的 6 场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？25. 宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到 550 名， 其中面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班学

28、生由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加 100 人，其中普通班学生可以招 20%， “宏志班”学生可多招 10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？答案:1a0 2-5，-4，-3，-2，-13x6 41，2，3 51 6a100），就比在乙商场购物优惠，由题意得：100+0.8（x-100）150答：她在甲商场购物超过 150 元就比在乙商场购物优惠21（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x-300）=（0.8x+60） 元 ； 在乙超市购物所付的费用是： 200+0.85（x-200）=（0.85x+30）元（2）当 0.8x+60=0.85x+30 时，解得 x=

29、600当顾客购物 600 元时，到两家超市购物所付费用相同；当 0.8x+600.85x+30 时，解得 x300，300x600 即顾客购物超过 300 元且不满 600 元时，到乙超市更优惠；当 0.8x+60600，即当顾客购物超过 600 元时， 到甲超市更优惠22（1）设应安排 x 名工人制作衬衫，由题意得：3x=5（24-x）x=1524-x=24-15=9答：应安排 15 名工人制作衬衫，9 名工人制作裤子（2）设应安排 y 名工人制作衬衫，由题意得：330y+516（24-y）2100y18答：至少应安排 18 名工人制作衬衫23（1）依题意，得y=1506x+2605（20-

30、x）=-400x+26000（0x20）（2）依题意得，-400x+2600024000 解得 x5，20-x=20-5=15答：至少要派 15 名工人去制作乙种零件才合适24（1）设这支球队胜 x 场，则平了（8-1-x）场，依题意得：3x+（8-1-x）=17，解得 x=5答：前 8 场比赛中这支球队共胜了 5 场（2） 最高分即后面的比赛全胜，因此最高得分为：17+3（14-8）=35（分）38. x 的 与 12 的差不小于 6，用不等式表示为；52x - 3 0的整数解是；17+3x+y29，3x+y12，x+y6x，y 为非负整数，x=4 时，能保证不低于 12 分；x=3，y=3

31、 时，也能保证不低于 12 分所以，在以后的比赛中至少要胜 3 场才能有可能达到预期目标25设去年招收“宏志班”学生 x 名，普通班学生 y 名3x + 2 y = p + 110. 若关于 x 的方程组4x + 3y = p - 1二选择题：（每小题 3 分，共 30 分）11. 若 a b ,则下列不等式中正确的是（）的解满足 x y ，则 p 的取值范围是；x + y = 550,（a） a - b 0（b） - 5a -5b（c）a + 8 b - 8 （d）a b由条件得： 10%x + 20% y 100.将 y=550-x 代入不等式，可解得 x100 于是（1+10%）x110

32、，答：今年最少可招收“宏志班”学生 110 名20102011 学年度第二学期第一单元测试题一元一次不等式和一元一次不等式组4412. 在数轴上表示不等式 x - 2 的解集，正确的是（）（a）（b）（c）（d）13. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（）班别：学号：姓名：评分： 一填空题：（每小题 2 分，共 20 分）（a）（c）x - 1- 3 1x -31若 x y ，则 x - 2y - 2 ；（填“或=”号）14不等式 2(x - 2) x - 2 的非负整数解的个数为a2若-3 - b9，则3ab ；（填“或=”号） 3不等式 2x x + 2 的解（a）1（

33、b）2（c）3（d）415下列不等式求解的结果，正确的是集是；4当 y时，代数式 ；3 - 2 y的值至少为 1；5不等式 6 - 12x 5的解集是 x -3x -5（b） 不等式组x -4x 10的解集是 x -56不等式 7 - x 1 的正整数解为：；7若一次函数 y = 2x - 6 ，当（c） 不等式组x -3 的解集是x时， y 0 ；- 3 x 10x + 1 0三解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（每小题 6 分，共 24 分）16. 把不等式组 x - 1 0 的解集表示在数轴上，正确的是图中的21 2x - 5 3x + 42210 - 4(x - 3) 2(

34、x - 1)（）17. 如图所示，天平右盘中的每个破码的质量都是 1g，则物体 a 的质量 m (g)的取值范围在数轴上：可表示为图 111中的（）233x + 2 5x - 6x - 3(x - 2) 424 1 + 2x3 - 2x 2 + x3 x -118. 已知关于 x 的不等式(1- a)x 3 的解集为 x 0（b）a 1（c）a 0（d） （d）a 13219. 一次函数 y = - 32x + 3 的图象如图所示，27（7 分）我市移动通讯公司开设了两种通讯业务，a 类是固定用户：先缴 50 元基础费，然后每通话 1 分钟再付话费 0.4 元；b 类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话 1 分钟会话费 0.6 元（这里均指市内通话）；若果一个月内通话时间为 x 分钟，分别设 a 类和 b 类两种当- 3 y 40