(完整版)(北师大版)高中数学必修四：1.4《正弦、余弦的诱导公式》典型例题(含答案),推荐文档

1、正弦、余弦的诱导公式例题讲析例 1求下列三角函数的值 ；(1) sin240；(2) cos 5a47a(3) cos(-252)；(4) sin（-）6解：（1）sin240=sin(180+60)sin60= 3-2(2) cos 5aa+a = -a = -；=cos 4cos24 42(3) cos(-252)=cos252= cos(180+72)=cos72=0.3090；7a7aaa 1(4) sin（-）=sin=sin a+ =sin = 666 62说明：本题是诱导公式二、三的直接应用通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练本例中的（3

2、）可使用计算器或查三角函数表例 2求下列三角函数的值5a(1)sin(-11945)；(2)cos；37a(3)cos(-150)；(4)sin.4解：(1)sin(11945)=sin11945=sin(180-6015)= sin6015=0.8682 (2)cos 5a=cos( 2a- a )=cos a= 13332(3)cos(-150)=cos150=cos(180-30) =cos30= -3 ；2(4)sin 7a=sin( 2a- a )=sina= -2 .4442说明：本题是公式四、五的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的

3、训练本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表例 3求值：31a10a11asin - cos - sin 6 3 107a4a11a略解：原式=-sin4a+ -cos2a+ -sin 6 3 10aaa6 3 10aaasin +cos +sin 63101 + 1 +0.3090=-sina+ -cosa+ +sin =22=1.3090 .说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例 1 略难的小综合题利用公式求解时，应注意符号例 4求值：sin(-1200)cos1290+cos(-1020)sin(-1050)+tan855.解：原式sin(120+33

4、60)cos(210+3360)+cos(300+2360)-sin(330+2360)+tan(135+2360)sin120cos210cos300sin330+tan135sin(18060)cos(180+30) cos(36060)sin(360-30)+sin(180 - 45)cos(180 - 45)=sin60cos30+cos60sin30tan45= 3 311 + -12222=0说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系与前面各例比较，更具有综合性通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用值得指出的是教材中的诱导sin13

5、5公式未介绍正切，因此，计算tan135 的值时应先用商数关系把tan135 改写成,再将分子分母分别用cos135诱导公式进而求出 tan135 的值例 5化简：sin(3a + a) cos(a-4a) .cos(-a - 5a) sin(-a - a)略解：原式=sin(a+a)cosacosa=1.cos(a+a)-sin(a+a)cosa说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型例 6化简：sina+(2n +1)a+ 2sina-(2n +1)a (nz) sin(a- 2na)cos(2na-a)解：原式= sin(a+a) + 2na + 2 sin(a-a)

6、- 2nasin(a- 2na) cos(2na-a)= sin(a+a) + 2 sin(a-a)sinacosa= - sina- 2sina sinacosa= - 3 .cosa说明：本题可视为例 5 的姐妹题，相比之下，难度略大于例 5求解时应注意从所涉及的角中分离出 2a的整数倍才能利用诱导公式一例 7求证：sin(a- 3a) + cos(a- 4a) = sin(4a-a) cos(2a-a)cos(a-a) - tan(a-a) sin(a-a)cos(a-a) + sin(a+a)证明：左边= sin(a+ a) - 4a + cosacos(a-a)-sin(a-a)-

7、-sin(a-a)cos(a-a)= sin(a+a) + cosa cosa- sina sina cosacosa- sina=cos2 a-sin2asina cosa (cosa- sina) sinacosa= (cosa+ sina)(cosa- sina)sina cosa=，sina+ cosa右边= - sina cosa = sina cosa ， - cosa- sina sina+ cosa所以，原式成立1+ cos(180 +a)例 8求证cos(-a)= tan 3a 1+ sin(360 -a)sin(540 -a)1- cosa1- cosa证明：左边cosa=

8、 cosa1sin(180-a)- sina1sina- sina1-cos2 a cosa 1 - sin 2 asinasin 2 asina=cosacos2 atan3右边， 所以，原式成立说明：例 7 和例 8 是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简例9已知cos(a + a)=13a-， a 2a求： sin(2a - a) 的值12 3a2解：已知条件即cosa=，又22 a 2a，1 - ( 1 )22所以： sin(2a-a) = -sina= -(-1-cos2 a

9、)=32说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题由于给出了角a的范围，因此，a的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据a的范围确定三角函数的符号例 10已知1+ tan(a+ 720)1- tan(a-360)= 3+ 2 2 ,求:cos2 (a-a) + sin(a+a) cos(a-a) + 2 sin 2 (a-a) 1cos2 (-a- 2a)的值.解：由1+ tan(a+ 720)1- tan(a-360)= 3 + 2，得22（4 + 2 2) tana= 2 + 2，2 + 2 24 + 2 2所以tana=2 2故 cos2 (a-a

10、)+ sin(a+a) cos(a-a)+ 2 sin 2 (a-a)1cos2 (-a- 2a)=cos2a+ sinacosa+ 2 sin 2a =1tana2tan2a1cos2a=1+2 + 2 (22 )222= 2 +.2说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例 9 要复杂一些它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用提高运算能力等都能起到较好的作用a例 11已知62aa2a，cos(a+3aa) = m(m 0)，求tan(32aa- ) 的值3解：因为-a= a-（a+ ），332aaa所以： cos(3-a) = cosa- (a+ )= - cos(a

11、+3) m3由于a a 2a 所以2a-a a，0 63322a2 2a1- m2于是： sin(3-a) =1-cos (-a) =，3sin( 2a a) -1- m22a3所以：tan( (3-a) =2a= -.amcos(- )3a2a2aa说明：通过观察，获得角a+与角-a之间的关系式-a=a-（a+），为顺利利用诱导公式2a3333求 cos(3-a)的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都

12、有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用例12已知 cos a= 2 ，角a-a的终边在 y 轴的非负半轴上，求 cos (2a-3a)的值3解：因为角a- a的终边在 y 轴的非负半轴上，a所以：a- a=2 + 2ka(k z ) ，于是2（a- a）=a+ 4ka(ka)从而2a- 3a= -a+a+ 4ka(k z )，所以cos(2a- 3a) = cos(a- a)+ 4ka= cos(a- a)= - cosa= - 23a说明：本题求解中，通过对角a- a的终边在 y 轴的非负半轴上的分析而得的a- a=2+ 2ka(k z

13、) ，还不能马上将未知与已知沟通起来然而，当我们通过观察，分析角 2a- 3a的结构特征，并将它表示为 2（a- a） - a后，再将a- a= a + 2ka代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅2速求值扫清了障碍通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life,

14、learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with