(完整word)高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师),推荐文档

1、数学必会基础题型平面向量【基本概念与公式】【任何时候写uu向ur量时r 都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：ab 或 a。u urr2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作： | ab | 或| a | 。rr3. 单位向量：长度为 1 的向量。若e 是单位向量，则| e |= 1。4. 零向量：长度为 0 的向量。记作：r。【r方向是任意的，且与任意向量平行】005. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。u uruur7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。ab = - ba 。8. 三角形法则：u uru uruuuru

2、uru uruuuruuuru uru uruuuru urab + bc = ac ； ab + bc + cd + de = ae ； ab - ac = cb （指向被减数）19. r平r行四边形法则：以rrrra, b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a + b ， a - b 。r10. 共线定理：r= l rr。当l 0 时，rrrr同向；当l 0 时，反向。aba / /ba与ba与b11. 基底：任意不共r 线的两个向r量称为一组基底。r 2rrrx2 + y2(a + b )2rr12.向量的模：若= (x, y) ，则=，=2 ，+=a| a |r rrra| a |

3、ab |r ra b13. 数量积与夹角公式： a b =| a | | b | cosl；cosl=r r14. 平行与垂直：rrrr= l x y= x y ；rr|ra r| | b |= 0 x x+ y y = 0a / /bab题型 1.基本概念判断正误：1 22 1aba b1 21 2（1） 共线向量就是在同一条直线上的向量。（2） 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。u uruuur（4） 四边形 abcd 是平行四边形的条件是ab = cd。u uru ur（5） 若 ab = cd ，则 a、b、c、d 四点构成平行四边

4、形。（6） 因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。rrrrrr（7） 若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。rrrr（8） 若ma = mb ，则a = b 。rr（9） 若=，则m = n 。mana（10） 若 r与 r不共线，则 r与r都不是零向量。2ababr rrrrr（11）若 a b =| a | | b | ，则a / /b 。（12）若 rrrrrr| a + b |=| a - b |，则a b 。题型 r2.向量的加减运算r1.设rr a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则| a + b |=。2. 化简 u uruuuruuuru

5、uru u r ( ab + mb) + (bo + bc) + om =。3. 已知 u uru uruuur|uouuar |=u5ur, | ouubur|= 3 ,则| ab | 的最uuu大r值r 和uuu最r 小r值分别u为ur、uuur。4. 已知 ac为与abad 的和向量uu，ur且 ac = a, bd = b ，则 ab = ， ad = 。5. 已知点 c 在线段 ab 上，且题型 3.向量的数乘运算3 u uruuuru uru uruuurac =ab ,则 ac =bc ， ab =bc 。51.计算：（1） rrrrrrrrrrr3r(a + b) - 2(a

6、+ b) =r（2） 2(2a + 5b - 3c ) - 3(-2a + 3b - 2c ) =-a2.已知a = (1,-= (-3,8) ，则3 r1=。4), bb 2题型 4.作r图r法球向量的和已知向量r1 rr3 ra, b ，如下图，请做出向量3a + rab 和2a -b 。22rb题型 5.根据图形由已知向量求未知向量u ur uuuruuur1. 已知在dabc 中， d 是 bc 的中点，请用向量ab，ac 表示 ad 。uuurr uuurru uruuur2. 在平行四边形 abcd 中，已知 ac = a, bd = b ，求 ab和ad 。题型 6.向量的坐标运

7、算=ur1.已知ab(4, 5) ， a(2, 3) ，则点 b 的坐标是。u ur2.已知pq = (-3, -5) ， p(3, 7) ，则点q 的坐标是。rrr3. 若物体受三个力 f1 = (1, 2) ,f2 = (-2, 3) ,f3 = (-1, -4) ,则合力的坐标为。rrr rr rr r34.已知a= (-3, 4) ， b = (5, 2) ，求a+ b， a- b， 3a -2。bru ur5.已知 a(1, 2), b(3, 2) ,向量a= (x + 2, x - 3y - 2) 与ab相等，求 x, y 的值。u uru uruuuru ur 6.已知ab =

8、(2, 3) ， bc = (m, n) ， cd = (-1, 4) ，则 da =。u uruuurruuur7.已知o 是坐标原点， a(2, -1), b(-4,8) ，且ab + 3bc=0 ，求oc的坐标。题型 7.判断两个向量能否作为一组基底ur ur1. 已知e1 , e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：urur ururra. e1 + e2和e1 - e2ururururb. 3e1 - 2e2和4e2 - 6e1ururururc. e1 + 3e2和e2 - 3e1urur urd. e2和e2 - e12. 已知a = (3, 4) ，能与r

9、a 构成基底的是（）3 4a. ( , ) 5 54 3b. ( , )5 5c. (-3 , - 4)55d. (-1, - 4)3题型 8.结合三角函数求向量坐标1. 已知o 是坐标原点，点 a 在第二象限，uuuruuur= 2 ， xoa = 150o ，求的坐标。| oa|uuuroauuur32. 已知o 是原点，点 a 在第一象限， | oa =| 4， xoa = 60o ，求oa 的坐标。题型 9.求数量积rrrrr rrrr1.已知| a|= 3r,| br|= 4 ，且 a与b的夹角为60o ，求（1） a b ，（2） a (a + b ) ，(a(2a（3） r -

10、1，（4） r - rr(a +。 rb ) b2b )3b )rrrrr rrrr2.已知a = (2, -= (-8,10) ，求（1），（2） a ，（3） a (2a +，6), brrrr| a |,| b |bb )（4） (2a - b ) (a + 3b )。题型 10.求向量的夹角rrr rrr1.已知| a|= 8,| b |= 3 ， a b = 12 ，求 a与b的夹角。rrrr2.已知a= ( 3,1), b = (-2 3, 2) ，求 a与 b的夹角。3.已知 a(1, 0) ， b(0,1) ， c(2, 5) ，求cos bac 。题型 11.求向量的模rrr

11、rr rrr71.已知| a|= 3,| b |= 4 ，且 a与b的夹角为60o ，求（1） | a + b | ，（2） | 2a - 3b |。a| a| a2.已知 r= (2, -r = (-8,10) ，求（1） rr ，（5） r + r ，（6） r - 1 r 。6), b| a |,| b |b |b | 2rrrrrr3.已知| a |= 1，| b |= 2 ， | 3a - 2b |= 3 ，求| 3a+b | 。rrar题型 12.求单位向量【与a 平行的单位向量： e = r1. 与a = (12, 5) 平行的单位向量是。2. 与 r = (-1 平行的单位向量

12、是。r 】| a |m1, ) 2题型 13.向量的平行与垂直1.已知 r = (6, 2) ， r = (-3, m) ，当m 为何值时，（1） rrrbraba / /b ？（2） a？a2.已知 r = (1, 2) ，r = (-3, 2) ，（1） k 为何值时，向量 r + rr与 ra -垂直？kabr rrrb3b（2） k 为何值时，向量ka + b 与a- 3b平行？rr rr rrrrrr3. 已知a 是非零向量， a b = a c ，且 b c ，求证： a (b - c) 。题型 14.三点共线问题1.已知 a(0, -2) ， b(2, 2) ， c(3, 4)

13、，求证： a, b, c 三点共线。2u urrr u urrr uuurrr2.设 ab =(a + 5b), bc = -2a + 8b, cd = 3(a - b) ，求证： a、2d 三点共线。u urrr u urrr uuurrr3.已知 ab = a + 2b, bc = -5a + 6b, cd = 7a - 2b ，则一定共线的三点是。4.已知 a(1, -3) ， b(8, -1) ，若点c(2a -1, a + 2) 在直线 ab 上，求a 的值。5.已知四个点的坐标o(0, 0) ， a(3, 4) ， b(-1, 2) ， c(1,1) ，是否存在常数t ，使u ur

14、u uruuuroa + tob = oc 成立？题型 u1uu5r.判断r 多边uuu形r的形r 状uuuru ur 1.若 ab = 3e ， cd = -5e ，且| ad |=| bc |,则四边形的形状是。2.已知 a(1, 0) ， b(4, 3) ， c(2, 4) ， d(0, 2) ，证明四边形 abcd 是梯形。3.已知 a(-2,1) ， b(6, -3) ， c(0, 5) ，求证： dabc 是直角三角形。u uru uru ur4. 在平面直角坐标系内， oa = (-1,8), ob = (-4,1), oc = (1,3) ,求证： dabc 是等腰直角三角形。

15、题型 16.r平面向量的r综合应用r rr r1.已知a= (1,0) ，= (2,1) ，当k 为何值时，向量ka -与a+平行？rbr rb3b2.已知a= ( 3, 5) ，且a，r，求 r的坐标。rrrb| b |= 2b3.已知r rra与b 同向， b = (1, 2) ，则a b = 10 ，求a 的坐标。rrrrrr3.已知a = (1,2) ， = (3,1) ， c = (5, 4) ，则 c =a +。bbrrrr rr4.已知a= (5,10) ， b = (-3, -4) ， c = (5, 0) ，请将用向量 a, b表示向量c 。rrrr5. 已知a = (m,

16、3) ， b = (2, -1) ，（1）若 a 与b 的夹角为钝角，求 m 的范围；rrr（2）若a与 b 的夹角r 为锐角，求m 的范围。rraa6.已知a = (6, 2) ， = (-3, m) ，当mrrb角为锐角？为何值时，（1） 与b的夹角为钝角？（2） 与 的b 夹7. 已知梯形 abcd 的顶点坐标分别为 a(-1, 2) ， b(3, 4) ， d(2,1) ，且 ab / / dc ， ab = 2cd ， 求点c 的坐标。8. 已知平行四边形 abcd 的三个顶点的坐标分别为 a(2,1) ， b(-1, 3) ， c(3, 4) ，求第四个顶点d 的坐标。9. 一航船

17、以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度。10. 已知dabc 三个顶点的坐标分别为 a(3, 4) ， b(0, 0) ， c(c, 0) ，u uru ur（1）若 ab ac = 0 ，求c 的值；（2）若c = 5 ，求sin a 的值。【备用】1.已知 rrrrrrr r|ra |=r 3,|rb |= 4,| a + b |= 5 ，求| a - b |和向量a, b 的夹角。2.已知1.已知urrrrrrrr urrx = a + b r， y = 2a + b ，且| a |=| b |= 1， a b ，求

18、x, y 的夹角的余弦。rrrr a = (1,3), b = (-2, -1) ，则(3a + 2b) (2a - 5b) =65。rrrrrr4. 已知两向量 a = (3, 4), b = (2, -1) ，求当a + xb与a - b 垂直时的 x 的值。rrrr5. 已知两向量 a = (1,3), b =(2,l) ， a与b 的夹角l为锐角，求l的范围。rrrr变式：若a = (l, 2), b = (-3, 5) ， a与b 的夹角l为钝角，求l的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1. 特例法例：全品p27：4。因为 m,n 在 ab,ac 上的任意位置都成立，所以取特殊情况，

19、即 m,n 与b,c 重合时，可以得到m = n = 1， m + n = 2 。2. 代入验证法rrrr例：已知向量a= (1,1),b = (1, -1), c = (-1, -2) ，则c = （ d）a. - 1 r3 r1 r3 r3 r1 r3 r1 ra -bb. -a +bc. a -bd. -a +b22 r变式：已知2r2r2222r rr解：设a = (1, 2), b = (-1, 3), c = (-1, 2) ，请用a, b 表示c 。crrr= xa + yb ，则(-1, 2) = x(1, 2) + y(-1, 3)即： (-1, 2) = (x, 2x) +

20、 (- y, 3y) = (x - y, 2x + 3y)-1 = x - y且2 = 2x + 3y ，即： x - y = -1且2x + 3y = 2解得： x = 4 ，y = 9 ，55rrr49c =a +b553. 排除法u ur例：已知 m 是dabc 的重心，则下列向量与 ab 共线的是（ d）u u ruuuru ura. am + mb + bcu u ruuurb. 3am + acuuuru uru uruuurc. ab + bc + acu u ru u ru u rd. am + bm + cm解：观察前三个选项都不与 ab共线，所以选 d。“”“”at the end, xiao bian gives you a