(完整)数值分析试题及答案汇总,推荐文档

1、数值分析试题一、 填空题（2 02）1.设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有 +2+2位有效数字。2.若 f(x)=x7x31，则 f20,21,22,23,24,25,26,27= 1，f20,21,22,23,24,25,26,27,28=0。3.设，a5，x3，ax_15_。4. 非线性方程 f(x)=0 的迭代函数 x=e(x)在有解区间满足 |e(x)| 1，计算时不会放大 f(xi)的误差。8. 要使 20的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取4位有效数字。9. 对任意初始向量 x(0)及任意向量 g，线性方程组的迭代公式 x(k+1)=bx(k

2、)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解 x*的充分必要条件是r(b)1。10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下ft法的下ft条件为 |f(xn+1)|0。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（101）1、 若 a 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 axb 一定可以使用高斯消元法求解。( )2、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x*附近是平方收敛的。()3、 若 a 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式naii + + a(i + 1,2,

3、.,n)j 1j i则解线性方程组 axb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。( ) 4、 样条插值一种分段插值。()5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 axb。()8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。( )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()

4、三、计算题（510）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x +x+ x + 4 x +x+4+12+2 x +1解答：（1，5，2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行：x + 4 x +x+ x +x+12+4+2 x +1l21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：5 x + 4 x+x+12+.2 x+ 0.4 x+1 6+2.6 x+ 0.2 x+5.8（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：5 x + 4 x+x+12+ 2.6 x+ 0.2 x + 5.8+.2 x+0.4 x+1 6l32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：5 x +

5、4 x+x+12+ 2.6 x+ 0.2 x + 5.8+ 0.38462 x+0 38466回代得：x+ x+ x+ .00005+ .99999+1 00010xi012f(xi)1-13f (xi)152、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式 p4(x)，并写出其截断误差的表达式(设 f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。解答：做差商表xif(xi)fxi,xi+1fxi.xi+1.xi+2fxi,xi+1,xi+2,xi+3fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1p4(x)=1-2x-3x(x-1)-x

6、(x-1)(x-1)(x-2)r4(x)=f(5)(x)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯 赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。1 + 32 +2 +42 +3 +53 +x34 + 14 + 64 + 8+ 3解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：1 +2 +x + 11+ + x+ 3+ x3+ 3x2 + 4 3 + 8+x3 + 5 4 + 6雅克比迭代公式：1 +123+ + x + 3 +xx + 1+ 3x2

7、 + 4 3 + 8+x3 + 5+ 6计算机数学基础(2)数值分析试题一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分)1. 已知准确值 x*与其有 t 位有效数字的近似值 x0.0a1a2an10s(a10)的绝对误差x*x()(a) 0.510 s1t(b) 0.510 st(c) 0.510s1t(d) 0.510 st2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为() 2- 100 5210(a) - 12- 10 ，(b) 1410 0- 12- 100- 1252- 10 114120011042111(c) 42- 1(d) 412141 20012- 14151313. 过(0，1)，(2

8、，4)，(3，1)点的分段线性插值函数 p(x)=()(a) 2 3 x + 1- 3x + 10(c) 2 3 x - 10 x 22 x 30 x 23 x + 1(b) 2- 3x 2 + 10(d) 23 x + 10 x 22 x 30 x 2- 3x + 102 x 3- x + 42 x 34. 等距二点的求导公式是()k f (x(a) ) = 1 (- yhk1+ yk +1) f (xkk +1 ) =(b) ) = 1 ( yhk1- yk +1 ) = f (xk +1h ( yk- yk +1) f (xh ( yk- yk +1 )k f (x(c) ) = 1 (

9、- yhk1+ yk +1 )(d)(d) = f (xk +1h ( yk +1- yk )5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是yk +1= 1 ( y2p+ yc )那么 yp,yc 分别为() y p = yk + hf (xk , yk ) y p = yk + hf (xk+1, yk )(a) y = y+ hf (x, y )(b) y = y+ hf (x , y ) ckk +1k ckkp y p = yk + f (xk , yk ) y p = yk + hf (xk , yk )(c) y = y+ f (x , y)(d) y = y+ hf (x

10、, y ) ckkp ckk +1p二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)6. 设近似值 x1,x2 满足e(x1)=0.05，e(x2)=0.005，那么e(x1x2)= 7. 三次样条函数 s(x)满足：s(x)在区间a,b内二阶连续可导，s(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且满足 s(x)在每个子区间xk,xk+1上是bnn8. 牛顿科茨求积公式 a f (x)dx ak f (xk ) ，则 ak .k =0k =09. 解方程 f(x)=0 的简单迭代法的迭代函数j(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛10. 解常微分方程初值问题的改进

11、欧拉法预报校正公式是预报值： y k +1 = yk + hf (xk , yk ) ，校正值：yk+1=三、计算题(每小题 15 分，共 60 分)11. 用简单迭代法求线性方程组1238x - 3x + 2x = 204x + 11x + -x = 3336x1+ 3x +212x= 36123的 x(3)取初始值(0,0,0)t，计算过程保留 4 位小数12.已知函数值 f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差 f(0,1,3,4,6)和二阶均差 f(4，1，3)313. 将积分区间 8 等分，用梯形求积公式计算定积分11 + x

12、2 dx ，计算过程保留 4 位小数11514. 用牛顿法求的近似值，取 x=10 或 11 为初始值，计算过程保留 4 位小数四、证明题(本题 10 分)15. 证明求常微分方程初值问题 y = y(xf (x, y) = y00在等距节点 a=x0x1xn=b 处的数值解近似值的梯形公式为hy(xk+1)yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)2其中 h=xk+1xk(k=0,1,2,n1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分)1. a2. b3. a4. b5. d二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)6. 0.05x2+

13、0.005x17.3 次多项式h8. ba9.j(x)r110.y + f (x , y) + f (x, y) hf(x, y)k 2kkk +1k +1k1k +1三、计算题(每小题 15 分，共 60 分)11. 写出迭代格式x(k+1) = 0 + 0.375x(k) - 0.25x(k) + 2.5 123x(k+1) = -0.363 6x(k) + 0 + 0.090 9x(k) + 3x(2k+1) = -0.5x(k) - 01.25x(k) + 0 + 33 312x(0)=(0,0,0)t.x(1) = 0 + 0.375 0 - 0.25 0 + 2.5 = 2.5 1

14、x(1) = -0.363 6 0 + 0 + 0.090 9 0 + 3 = 3x(21) = -0.5 0 - 0.25 0 + 0 + 3 = 3 3得到 x(1)(2.5，3，3)tx(2) = 0 + 0.375 3 - 0.25 3 + 2.5 = 2.875 1x(2) = -0.363 6 2.5 + 0 + 0.090 9 3 + 3 = 2.363 7x(22) = -0.5 2.5 - 0.25 3 + 0 + 3 = 1.000 0 3得到 x(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)tx(3) = 0 + 0.375 2.363 7 - 0.25 1 +

15、2.5 = 3.136 4 1x(3) = -0.363 6 2.875 + 0 + 0.090 9 1 + 3 = 2.045 6x(23) = -0.5 2.875 - 0.25 2.363 7 + 0 + 3 = 0.971 6 3得到 x(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)t.12. 计算均差列给出xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1, 3)=61 + x 213.f(x)=,h= 2 = 0.25 分点8x0=1.0，x1=

16、1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0.函数值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f3(2.50)=2.69h2 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3f (x)dx = f (x ) + f (x )1208+ 2( f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) + f (x5 ) + f (x6 ) + f (

17、x7 ) (9 分 )0.25=1.414 2+3.162 3+2(1.600 8+1.802 8+2.015 62+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125(4.576 5+215.736 3)=4.506 114.设 x 为所求，即求 x2115=0 的正根f(x)=x2115因为 f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100115)20取 x0=11 有迭代公式xk+1=xkf (xk )x 2 - 115x115k= x- k= k +(k=0,1,2,)f (xk )2xk22xk11115x1= 2 + 2 11 10.727 3

18、x = 10.727 3 +11510.723 8222 10.727 3x = 10.723 8 +11510.723 8322 10.723 8x*10.723 8四、证明题(本题 10 分)15. 在子区间xk+1,xk上，对微分方程两边关于 x 积分，得xk +1ky(xk+1)y(xk)= xf (x, y(x)dx用求积梯形公式，有hy(xk+1)y(xk)= 2 f (xk , y(xk ) + f (xk +1 , y(xk +1 )将 y(xk),y(xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到hy(xk+1)yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1

19、,2,n1)2一、填空题（ 2+10 + 20 分）数值分析期末试题+ 15+（1)设 a + + 21+ 2+0+，则 a +13。+ 3+ 82 +0+2x1 + 5x2 +1+ 02.5+1（2)对于方程组 + 10x+ 4x2+3，jacobi 迭代法的迭代矩阵是 bj + +2.+ 。3 x*（3)的相对误差约是 x* 的相对误差的 1 倍。3xn + f ( xn )1 +（4）求方程 x + f ( x) 根的牛顿迭代公式是 xn+1 + xn +。f ( xn )（5）设 f ( x) + x 3 + x + 1 ，则差商 f 0,1,2,3 +1。（6） 设n + n 矩阵g

20、 的特征值是j,j,l,jn，则矩阵 g 的谱半径j(g) + max j i。+ i + n+10（7） 已知 a + +2+1+ ，则条件数cond+( a) +9+（8） 为了提高数值计算精度，当正数 x 充分大时,应将ln( x +x 2 + 1) 改写为+ ln( x +x 2 + 1) 。（9） n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 n + 1 次。（10）拟合三点( x1 , f ( x1 ) ， ( x2 , f ( x2 ) ， ( x3 , f ( x3 ) 的水平直线是 y +2x1 + x2 + x3 + 11 33+f ( xi ) 。1二、（10 分）证

21、明：方程组 + x + x + x + 1使用 jacobi 迭代法求解不收敛性。+ 123+x 1 + x2 + 2 x3 + 1证明：jacobi 迭代法的迭代矩阵为+ 0b + +10.50+ 0.5+1 +j+0.5 0.50 +bj 的特征多项式为det(j + bj ) +j1+ 0.5+ 0.5j1.25+ 0.50.51j+ j(j2 + 1.25)bj 的特征值为j1+ 0 ，j2 +收敛性。三、（10 分）定义内积1.25i ，j3 + +1.25i ，故j(bj ) +1，因而迭代法不试在 h1 + spa( f , g) + +x+, x+中寻求对于 f (x) +f

22、( x)g( x)dx的最佳平方逼近元素 p( x) 。解：j0 ( x) + 1 ，j1 ( x) + x ，1(j0 ,j0 ) + +0dx + 1 ， (j1 ,j0 ) + +01 xdx + 1 ，(j,j) +1 x 2dx + 1 ，11+2031212(j0 , f ) + +0xdx + 3 ， (j1 , f ) + +0 xxdx + 5 。法方程+1 + 2 +12 +c0 + 3 +11 +c + + 2 + 23+ 1 + +5+412解得c0 + 15 ， c1 + 15 。所求的最佳平方逼近元素为p( x) + 4 + 121515x ， 0 + x + 1四

23、、（10 分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解: y( x) + c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3+1 + 2 41 + 1 1+ 8+ 50100 + 1+a + +10+00 + ，+at a + +10034 +0+1111+100340 +0340130+1248 +at y + (2.9,4.2,7,14.4)t法方程at ac + at y的解为c0 + 0.4086 ， c1 + 0.39167 ， c2 + 0.0857 ， c3 + 0.00833得到三次多项式y( x) + 0.4086

24、+ 0.39167 x + 0.0857 x 2 + 0.00833 x 3误差平方和为j3 + 0.000194五. (10 分) 依据如下函数值表x0124f (x)19233建立不超过三次的 lagrange 插值多项式，用它计算 f (2.2) ，并在假设f (4) ( x) + 1 下，估计计算误差。解:先计算插值基函数l ( x) + ( x + 1)( x + 2)( x + 4)0(0 + 1)(0 + 2)(0 + 4)l ( x) + ( x + 0)( x + 2)( x + 4)1(1 + 0)(1 + 2)(1 + 4)l ( x) + ( x + 0)( x + 1

25、)( x + 4)2(2 + 0)(2 + 1)(2 + 4)(x + 0)(x + 1)(x + 2)x+ +13+ 7 x2+78+ 138+248 x3+ +133+ 5 x2+x41 x34121 xx2 x +xx + 1l ( x) +x +3(4 + 0)(4 + 1)(4 + 2)所求 lagrange 插值多项式为32481211345 21l3 ( x) + + f ( xi )li ( x) + l0 ( x) + 9l1 ( x) + 23l2 ( x) + 3l3 ( x) + +0f (2.2) + l3 (2.2) + 25.0683 。4 x+ 4 x +x +

26、 1 从而2据误差公式 r3 (x) +估计：f (4) (j)4!( x + x0 )( x + x1 )( x + x2 )( x + x3 ) 及假设 f (4) ( x) + 1 得误差f (4) (j)4!1r3 ( x) +(2.2 + 0)(2.2 + 1)(2.2 + 2)(2.2 + 4) + 0.9504 + 0.03964!六. (10 分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组+1 020+ +x1+ 5 +0 101x+ 3 + + 2 + + +1 243+x3+17+0 103x+ 7 +解 设+1 020+1+ + 4 +1+1020 +0 101luuu+ + +

27、21+222324 +1 243+l3l321+u33u34 +1+0103+l 41l42l431 +u44 +由矩阵乘法可求出 uij 和 lij+1+1+l1+0 1+ 21+ + +l31l+ 41l321l42l43+1 21+1+0101+1020 +1 020+uuu+101+222324 +u33u34 +21+解下三角方程组+u44 +2+1+y1 + 5 +y30 1+ + 2 + + +1 210 101+y3 +y+17+7+ 4 +有 y1 + 5 ， y2 + 3 ， y3 + 6 ， y4 + 4 。再解上三角方程组+1 020 +x1 +5+101 + x +3

28、+ 2 + + + +21 + x3 +6+24+ x + + 4 + +得原方程组的解为 x1 + 1 ， x2 + 1 ， x3 + 2 ， x4 + 2 。七. (10 分) 试用 simpson 公式计算积分+的近似值, 并估计截断误差。解：1e x dx+2 12 + 111e x dx +1(e + 4e 1.5 + e 2 ) + 2.02636f (4) + ( 1+ 12+ 36 +241)e xx 8x 7x 6x 5截断误差为max f (4) ( x) + f (4) (1) + 198.431+ x+ 2r2 +(2 +1)52880max f1+ x+ 2(4)(

29、x) + 0.06890xk + xk +1xk八. (10 分) 用 newton 法求方程 x + ln x + 2 在区间(2, +) 内的根, 要求+ 10+8 。解：此方程在区间(2, +) 内只有一个根 s ，而且在区间（2，4）内。设1则f ( x) + 1 +，xf ( x) + x + ln x + 2f ( x) + 1x 2newton 法迭代公式为+x+ xxk +ln xk +2 k +1k1 1 +xk xk (1 + ln xk ) ， k + 0,1,2,lxk + 1取 x0 + 3 ，得 s + x4 + 3.146193221 。九. (10 分) 给定数

30、表x-1012f (x)10141615f (x)10.1求次数不高于 5 的多项式 h 5 ( x) ，使其满足条件+h 5 ( xi ) + f ( xi ), i + 0, 1, 2, 3+ h ( x ) + f ( x ),i + 0, 2其中 xi +1 + i+5iii + 0, 1, 2, 3 。解：先建立满足条件p3 (x) + f ( xi ) ， i + 0,1,2,3的三次插值多项式 p3 ( x) 。采用 newton 插值多项式p3 (x) + f ( x0 ) +0 , x +x + x0) + 0 , x1 , x + x + x0 )( x + x1) +012+ 0 , x1 , x2 , x + x + x )( x + x )( x + x )1+ 10 + 4( x + 1) + ( x + 1) x +( x + 1) x( x