(完整)因式分解专题3_用分组分解法(含答案)(1),推荐文档

1、4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式2a(a 2 + a + 1) + a 4 + a 2 + 1 分解因式，所得的结果为（）- 7 -

2、a. (a 2 + a - 1)2c. (a 2 + a + 1)2b. (a2 - a + 1) 2d. (a 2 - a - 1)2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解： 原式= 2a(a 2 + a + 1) + a 4 + a 2 + 1= a 4 + 2a 3 + 3a 2 + 2a + 1= (a 4 + 2a 3 + a 2 ) + (2a 2 + 2a) + 1= (a 2 + a) 2 + 2(a 2 + a) + 1= (a 2 + a + 1) 2故选择 c例 2. 分解因式x5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 1分析：这是一

3、个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5 - x 4 + x 3和 - x 2 + x - 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x5 - x 4 ， x 3 - x 2 和x - 1分别看作一组，此时的六项式变成三项式， 提取公因式后再进行分解。解法 1：原 式 = (x5 - x 4 + x 3 ) - (x 2 - x + 1)= (x3 - 1)(x 2 - x + 1)= (x - 1)(x 2 + x + 1)(x 2 - x + 1)解法 2：原 式 = (x5 - x 4 ) + (x 3 - x 2 ) + (x - 1)= x 4 (

4、x - 1) + x 2 (x - 1) + (x - 1)= (x - 1)(x 4 + x 2 + 1)= (x - 1)(x 4 + 2x 2 + 1) - x 2 = (x - 1)(x 2 + x + 1)(x 2 - x + 1)2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为 a、b、c，且满足a b，a 2 + c2 b 2 + 2ac证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：qa 2 + c2 b 2 + 2aca 2 + c2 - b 2 - 2ac 0a 2 - 2ac + c2 - b

5、 2 0，即(a - c) 2 - b 2 0(a - c + b)(a - c - b) a - c - ba - c + b 0，a - c - b c，a - b c即a - b c a + b以a、b、c为三边能构成三角形3. 在方程中的应用例：求方程x - y = xy 的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 x 与y，故可考虑借助因式分解求解解：qx - y = xyxy - x + y = 0xy - x + y - 1 = -1即x(y - 1) + (y - 1) = -1(y - 1)(x + 1) = -1q x, y是整数x +

6、1 = 1或x + 1 = -1y - 1= -1y - 1 = 1x = 0x = -2或y = 0y = 24、中考点拨例 1.分解因式： 1 - m2 - n 2 + 2mn =。解： 1 - m2 - n 2 + 2mn= 1 - (m2 - 2mn + n 2 )= 1 - (m - n) 2= (1 + m - n)(1 - m + n)说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式： x 2 - y 2 - x + y = 解 ： x 2 - y 2 - x + y

7、 = (x 2 - y 2 ) - (x - y)= (x + y)(x - y) - (x - y)= (x - y)(x + y - 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. 分解因式： x 3 + 3x 2 - 4x - 12 = 解 ： x 3 + 3x 2 - 4x - 12 = x 3 - 4x + 3x 2 - 12= x(x 2 - 4) + 3(x 2 - 4)= (x + 3)(x + 2)(x - 2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例 1. 分解因式： m2 (n 2 - 1) + 4mn - n 2 + 1解： m2 (

8、n 2 - 1) + 4mn - n 2 + 1= m2 n 2 - m2 + 4mn - n 2 + 1= (m2 n 2 + 2mn + 1) - (m2 - 2mn - n 2 )= (mn + 1) 2 - (m - n) 2= (mn - m + n + 1)(mn + m - n + 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 4mn 分成 2mn 和2mn，配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知： a 2 + b 2 = 1，c2 + d 2 = 1，且ac + bd = 0 ，求 ab+cd 的值。解：ab+cd= ab 1 + cd 1= ab(c2 +

9、 d 2 ) + cd(a 2 + b 2 )= abc2 + abd 2 + cda 2 + cdb 2= (abc2 + cdb 2 ) + (abd 2 + cda 2 )= bc(ac + bd) + ad(bd + ac)= (ac + bd)(bc + ad)qac + bd = 0原式 = 0说明：首先要充分利用已知条件a 2 + b 2 = 1，c2 + d 2 = 1 中的 1（任何数乘以 1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。例 3. 分解因式： x 3 + 2x - 3分析：此题无法用常规思路分解，需

10、拆添项。观察多项式发现当 x=1 时，它的值为0，这就意味着x - 1是x 3 + 2x - 3 的一个因式，因此变形的目的是凑x - 1 这个因式。解一（拆项）：x 3 + 2x - 3 = 3x 3 - 3 - 2x 3 + 2x= 3(x - 1)(x 2 + x + 1) - 2x(x 2 - 1)= (x - 1)(x 2 + x + 3)解二（添项）：x 3 + 2x - 3 = x 3 - x 2 + x 2 + 2x - 3= x 2 (x - 1) + (x - 1)(x + 3)= (x - 1)(x 2 + x + 3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试

11、拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1. 填空题：（1）分解因式：a 2 - 3a - b 2 + 3b =（2）分解因式：x 2 - 2x - 4xy + 4y 2 + 4y =（3）分解因式：1 - mn(1 - mn) - m3n 3 =2. 已知： a + b + c = 0，求a 3 + a 2 c - abc + b 2 c + b 3 的值。3. 分解因式： a5 + a + 14. 已知：x2 - y2 - z2 = 0，a是一个关于x, y, z的一次多项式，且x3 - y3 - z3 = (x - y)(x - z)a ，试求 a 的表达式。5. 证明： (a +

12、b - 2ab)(a + b - 2) + (1 - ab) 2 = (a - 1) 2 (b - 1) 2【试题答案】1. （1）解： 原式 = (a 2 - b 2 ) - 3(a - b)= (a + b)(a - b) - 3(a - b)= (a - b)(a + b - 3)（2）解： 原式 = (x 2 - 4xy + 4y 2 ) - 2(x - 2y)= (x - 2y) 2 - 2(x - 2y)= (x - 2y)(x - 2y - 2)（3）解： 原式 = 1 - mn + m2 n 2 - m3n 3= (1 - mn) + m2 n 2 (1 - mn)= (1 -

13、 mn)(1 + m2 n 2 )2. 解 ： 原 式 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + c(a 2 - ab + b 2 )= (a 2 - ab + b 2 )(a + b + c)qa + b + c = 0原式 = 0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3. 解 ： a 5 + a + 1= a 5 - a 2 + a 2 + a + 1= a 2 (a 3 - 1) + (a 2 + a + 1)= a 2 (a - 1)(a 2 + a + 1) + (a 2 + a + 1)= (a 2 + a + 1)(a 3 - a 2 +

14、1) 4. 解 ：qx 2 - y 2 - z2 = 0y 2 = x 2 - z2 ，z2 = x 2 - y 2x 3 - y 3 - z3= (x 3 - y 3 ) - z z2= (x - y)(x 2 + xy + y 2 ) - z(x 2 - y 2 )= (x - y)x 2 + xy + y 2 - z(x + y)= (x - y)x(x - z) + y(x - z) + (x 2 - z2 )= (x - y)(x - z)(x + y + x + z)= (x - y)(x - z)(2x + y + z)a = 2x + y + z5. 证明： (a + b -

15、2ab)(a + b - 2) + (1 - ab) 2= a 2 + ab - 2a + ab + b 2 - 2b - 2a 2 b - 2ab 2 + 4ab + 1 - 2ab + a 2 b 2= a 2 + b 2 - 2a - 2b - 2a 2 b - 2ab 2 + 4ab + 1 + a 2 b 2= (a 2 + 2ab + b 2 ) + (a 2 b 2 + 2ab + 1) - (2a + 2b) - (2a 2 b + 2ab 2 )= (a + b) 2 + (ab + 1) 2 - 2(a + b)(ab + 1)= (a + b) - (ab + 1)2=

16、(a - ab + b -1) 2= (a - 1)2 (1 - b 2 )= (a - 1)2 (b - 1)2“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can emplo